分類討論思想在初中數學解題中的應用

朱彥兵

摘 要：等腰三角形在初中數學學習中占據十分重要的地位，常常與多個問題相關聯，性質靈活多樣，且頂點、角、腰和底邊之間都存在極強的不確定因素.鑒于此，必須要融入分類討論思想，引導學生在討論中避免漏解的現象，真正提升學生的解題正確率.本論文就以此切入，結合常見考試題目，對分類討論思想的具體應用進行了詳細地探究，具備極強的參考價值.

關鍵詞：初中數學；等腰三角形；分類討論；解題

結合學習經驗可知，每一個數學結論都存在一個或者若干個成立的前提條件，每一種解決方法也有相應的適用范圍.在數學解題中，有些問題往往存在多個結論，必須要將其劃分為若干種情況，并隨即按照不同的情況進行探究、解答.這種解題方法在數學解題中尤為常見，即：分類討論思想；等腰三角形在初中數學學習中占據十分重要的地位，同時也是考查的熱點.但由于等腰三角形性質靈活多樣，且三角形的頂點、角、底邊和腰之間都存在極強的不確定性，致使學生在解題中，頻頻出現漏解的現象，嚴重影響了學生的解題效率.鑒于此，在加強等腰三角形解題教學時，就必須要融入分類討論的思想，引導學生在分類討論中，規避日常解題中常常出現的錯誤現象.

1 分類討論思想在等腰三角形解題中應用

1.1 在“等腰三角形邊”中的應用

在等腰三角形的一些題目中，常常給出了等腰三角形的兩條邊長，但卻并未明確指出哪條邊是三角形的腰，哪條邊是三角形的底邊.在這種情況下，如果學生想當然將某一邊作為腰長，或者將某一邊作為底邊長，就會導致解題時出現錯誤.鑒于此，必須要充分借助分類討論思想展開討論，并在此基礎上分情況作答.

例1 已知等腰三角形的底邊長和腰長是方程x2-6x+8=0的兩個根.那么，這一等腰三角形的周長是多少？

解析：這一問題將等腰三角形和二元一次方程進行了結合，難度系數比較低.但是學生在解答的時候，常常出現漏解的現象.根據二元一次方程解答得知，兩個根分別為x1=2，x2=4，但究竟哪個是腰長，哪個是底邊長并未明確給出來，則必須要展開分類討論：（1） 當底邊是2，腰長為4時，此時等腰三角形的邊長恰恰是4、4、2，符合三角形三條邊之間的關系定理，因此得出其周長為4+4+2=10；（2） 當底邊是4，腰長為2時，此時等腰三角形的邊長恰恰是2、2、4，不符合三角形三條邊關系定理，無法構成三角形.因此，這種情況應舍取.由此可見，在這一道數學題目中，學生解出方程兩個根之后，必須要基于題目的內容展開分類討論，并結合等腰三角形的性質，才能真正完成題目的解答.

1.2 在“等腰三角形角分類”中應用

這一類型的題目與“等腰三角形邊”同樣常見，在題目中常常只給出一個角的度數，但該角究竟是等腰三角形的底角還是頂角并未明確說明.在這種情況下，學生常常將自己算出來的答案，想當然地視為頂角，或者底角，致使學生解答出來的答案不夠全面.

例2 已知三角形ABC中，∠A為40°.當∠B是多少度的時候，該三角形是等腰三角形？

解析：這一道題目難度系數非常小，但卻是學生失分最嚴重的題目.在這一題目中，只給出了∠A的度數，但該角究竟是三角形的頂角，還是三角形的底角并未直接說明.鑒于此，必須要融入分類討論的思想：（1） 當∠A是頂角時，因為△ABC是等腰三角形，則∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=70°；（2） 當∠B是頂角時，因為△ABC是等腰三角形，則∠A=∠C=40°，因此，∠B=100°；（3） 當∠C是頂角時，因為△ABC是等腰三角形，則∠B=∠A=40°.可見，在解答這一類題目時，唯有融入分類討論的思想，才能避免漏解的現象［1］.

1.3 在“等腰三角形高”中應用

三角形的高通常是由三角形的形狀所決定的.對于等腰三角形來說，當頂角是銳角的時候，三角形腰上的高則在三角形內部；當等腰三角形的頂角為鈍角的時候，三角形腰上的高則處于三角形之外.鑒于此，在對這一類問題進行解答時，必須要融入分類討論思想進行解答.

例3 已知等腰△ABC，AB=AC，BD為三角形腰AC邊長的高.如果高BD與另外一個腰的夾角為50°，那么等腰△ABC的底角為多少度？

解析：學生受到慣性思維的影響，在解決這一問題時，常常會作出一個頂角為銳角的等腰三角形（如圖1所示），并未考慮頂角為鈍角的情況（如圖2所示）.但是符合題意的卻存在兩種情況，必須要展開分類討論：（1） 如圖1所示，當頂角為銳角時，根據題意得知∠ABD=50°，BD⊥AC，由此得出∠A=40°，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°；（2） 如圖2所示，當等腰△ABC頂角為鈍角的時候，根據題意得知∠ABD=50°，BD⊥AC，由于AC腰上的高BD位于三角形之外，得出：∠BAC=140°；又AB=AC，∴∠ABC=∠C=20°.由此可見，在對這一類問題的解答中，必須要擺脫定式思維的束縛，避免人為將等腰三角形設定為銳角等腰三角形，必須要結合題目的條件融入分類討論的思想，使得學生在分類討論中，對該題目作出全面的解答［2］.

1.4 在“等腰三角形垂直平分線”中應用

在等腰三角形類型題目解答中，由于其性質比較多，涉及的知識點也非常多.在諸多知識點中，三角形的垂直平分線常常是考查的重點，同時也是易錯點.尤其是在等腰三角形中，受到頂角大小的影響，一條腰上的平分線與另外一條腰的交點常常存在兩種不同的情況，唯有融入分類討論的思想，方能保障解題的正確性.

例4 已知等腰△ABC，AB=AC，且AB腰上垂直平分線與AB、AC分別相交于D、E點，且垂直平分線與AC腰所夾角的銳角為40°.求等腰三角形的底角為多少？

解析：在對這一問題進行解答的時候，由于題目中并未給出等腰三角形頂角的度數，致使其存在兩種可能（如圖3、4所示）.因此，必須要展開分類討論：（1） 當等腰△ABC頂角為銳角的時候，AB腰上垂直平分線與另外一腰相交于E點，且∠AED=40°.因此，根據題意得知∠A=50°，∴等腰三角形的底角為65°；（2） 當等腰△ABC頂角為鈍角的時候，AB腰上垂直平分線與另外一腰相交于延長線E點，且∠AED=40°.因此，根據題意得知∠A=130°，∴等腰三角形的底角為25°.

因此，在對這一問題進行解答時，唯有融入分類討論的思想，結合頂角大小進行分類，才能在解題的時候，避免漏缺的現象［3］.

1.5 在“等腰三角形存在性”中應用

在初中數學解題中，判定三角形是否為等腰三角形的題目比較常見，同時該題目也存在極強的融合性，具備一定的難度.按照常規的解題思路，學生在判斷等腰三角形時，需要對三角形的兩條邊、兩個角進行判斷，或者基于“三線合一”的逆定理展開判定.但是學生在解決這一類題目時，由于題目中并未給出到底是哪兩條邊或者哪兩個角相等，學生必須要融入分類討論思想，才能完成該題目的高效解答.

例5 如圖5所示，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，D、E分別是△ABC邊上的兩個動點，且不與三角形的頂點相重合.如果DE∥BC，則以DE為邊長，在△ABC內部作一個正方形DEFG，若△BDG為等腰三角形，那么AD的長度為多少？

解析：這一道題目難度系數相對比較高，將三角形、正方形融合到一起，具備一定的綜合性.同時，結合題意，在解答的時候，可采用逆推的方式，要想△BDG為等腰三角形，該三角形中必然要存在兩個相等的邊.但是結合題目中所給的條件，難以確定出究竟是哪兩條邊相等.鑒于此，必須要融入分類討論思想，才能對這一題目進行全面、正確地解答，即：當BD=DG；當BG=DG；當BD=BG.

2 分類討論思想在等腰三角形解題中應用價值總結

在初中數學學習中，分類討論思想的運用尤為常見，它不僅僅是一種重要的數學思想，也是一種常見的數學解題手段.具體來說，分類討論思想就是在解答數學問題之前，對所要解決的問題進行仔細地觀察和分析，如果無法借助統一的方式進行解答，就必須要采用分類討論的方式，對解決的問題進行劃分，對其各個擊破.因此，從這一角度上來說，分類討論思想屬于“化整為零”，各個擊破之后，再“積零為整”.

在等腰三角形的相關題目中，除了運用常規的思維進行解答，還應認真觀察圖形，及時融入分類討論思想.經過課堂教學實踐證明，將這一思想融入到等腰三角形解題中，不僅提升了初中數學解題效率和準確性，也在很大程度上培養和發展了學生的數學綜合素養.同時，分類思想的教學也有助于促使學生形成一定的數學運用能力.分類討論屬于一種非常有效的數學思想，將其應用到等腰三角形解題中，學生可通過定理推演求解、系統分析等，也實現化繁為簡，并借助形象的知識完成抽象概念的理解，在一定程度上發展了學生的數學運用能力；再者，學生在分類討論的過程中，思維也隨之發展，更加條理化.同時，在分類討論的過程中，學生也逐漸形成了系統化的知識體系，形成了一定的總結、概括和分析能力，真正落實了學科素養下的要求.

3 結束語

等腰三角形是初中數學學習的重難點，也是學生失分率比較高的一類題目.鑒于等腰三角形題目類型的特點，教師在引導學生進行解題的時候，必須要跳出傳統的“題海戰術”模式，不僅僅要引導學生運用常規的解題思路，還應在必要時融入分類討論思想，使其在全方位的分析和思考中，完成題目的全面解答.

參考文獻：

［1］ 田雯.利用分類討論思想研究二次函數與等腰三角形結合問題［J］.讀寫算，2022（11）：154156.

［2］ 榮慧英.提升初中生數學學習深度的研究——以“等腰三角形”為例［J］.數學教學通訊，2020（20）：1215+21.

［3］ 雷貴珍.分類討論思想在初中等腰三角形問題中的應用探究［J］.考試周刊，2019（A5）：8182.

［4］ 郭源源.巧構“010”分類 妙用“軌跡法”解題——談兩個頂點固定的等腰三角形分類問題［J］.中學數學教學，2019（5）：5255.

［5］ 董文峰.分類討論思想在數學解題中的應用——以二次函數中的圖形存在性問題為例［J］.數學之友，2023，37（5）：2830+34.