活用數(shù)學(xué)表征，提高小學(xué)生問(wèn)題解決能力的實(shí)踐研究

摘 要：文章以分析江蘇省蘇州市吳江區(qū)黎里小學(xué)在中低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的現(xiàn)狀為出發(fā)點(diǎn)，簡(jiǎn)要闡述了數(shù)學(xué)表征在助力學(xué)生解決問(wèn)題方面的作用，分析在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生靈活表征，使其順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)；數(shù)學(xué)表征；問(wèn)題解決能力

作者簡(jiǎn)介：顧亞金（1990—），女，江蘇省蘇州市吳江區(qū)黎里小學(xué)。

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，規(guī)范合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生找到解決問(wèn)題的路徑。而學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平能直接影響其解決問(wèn)題的效率。如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)表征經(jīng)驗(yàn)，助力其問(wèn)題解決能力的提升值得一線教師思索。

一、解析：學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)現(xiàn)狀

（一）學(xué)生只學(xué)其形，不得其理

筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在學(xué)會(huì)解一道題后，再遇到變式題，或隔一段時(shí)間再遇到同一類題目，仍舊會(huì)出錯(cuò)。究其原因，是這些學(xué)生在學(xué)習(xí)解題時(shí)只是機(jī)械地模仿教師的解題步驟，并未理解每一步背后的道理，因此，當(dāng)同樣的題目換了一個(gè)“殼子”后，學(xué)生就不能通過(guò)表征剝離其外殼，理解本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不理想。數(shù)學(xué)題雖千變?nèi)f化，然而變的是形，不變的是理，學(xué)生只有知形達(dá)理，方能做到融會(huì)貫通。

（二）教師追求速度，教法單一

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，教師應(yīng)重視課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，加強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，使其可以更好地理解與遷移知識(shí)。筆者所在的學(xué)校是一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)，部分教師教育理念滯后，在教學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)單純追求速度和正確率，往往遇一題講一題，未能幫助學(xué)生理清題目所涉及的已學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法將知識(shí)前后串聯(lián)起來(lái)。在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生所學(xué)的知識(shí)比較零散，不成體系，在遇到新問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就難以將其表征為已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而導(dǎo)致解題困難。

（三）教學(xué)未聯(lián)系生活，學(xué)生理解困難

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，在培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)注重將教學(xué)與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生能用習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。這對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)表征方面提出了更高的要求。學(xué)生能否順利將生活中的問(wèn)題表征為數(shù)學(xué)問(wèn)題直接影響其解題的正確率。但是部分教師缺乏生活化教學(xué)的意識(shí)，未能創(chuàng)設(shè)有效的生活化情境，降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的難度，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)用結(jié)合的能力比較低。

二、認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)表征教學(xué)的價(jià)值

表征是對(duì)信息的內(nèi)化理解，筆者在本文中提到的數(shù)學(xué)表征主要是指學(xué)生在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用一種或多種表征方式，明晰問(wèn)題中涉及的概念，理解題目中的關(guān)鍵信息，抓住內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系，從而正確分析問(wèn)題，確定解題思路。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力的目標(biāo)是使學(xué)生能夠根據(jù)具體的問(wèn)題情境，靈活采用表征方式，自主表征問(wèn)題，將復(fù)雜的、新學(xué)的問(wèn)題表征為簡(jiǎn)單的、已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而化繁為簡(jiǎn)，變未知為已知，順利解決問(wèn)題，提升解題能力［1］。

（一）幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)信息

正確表征題干信息是解決問(wèn)題的前提。適宜地進(jìn)行數(shù)學(xué)表征能夠幫助學(xué)生自主審題，正確理解題干中的信息并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，為正確解題做好準(zhǔn)備。

一年級(jí)數(shù)學(xué)問(wèn)題多采用圖形的方式呈現(xiàn)，學(xué)生若不能正確表征圖形中蘊(yùn)含的信息，理清題中的條件便無(wú)法順利解決問(wèn)題。例如，有這樣一道易錯(cuò)題：畫面左邊畫了2個(gè)蘋果，右邊有個(gè)帶問(wèn)號(hào)的盒子，畫面下標(biāo)了括線，括線下標(biāo)了個(gè)數(shù)字“7”。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤有兩種：第一種是進(jìn)行片面表征，看到括線就以為是求和問(wèn)題，直接列算式7+2=9；第二種是進(jìn)行混亂表征，即明白右邊盒子里有5個(gè)蘋果，但不能分清題中的已知條件和所求問(wèn)題，列出算式2+5=7。這兩種錯(cuò)誤都表明，學(xué)生在表征問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。教師在教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言表征，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：原來(lái)有7個(gè)蘋果，拿走了2個(gè)，盒子里還剩幾個(gè)蘋果？這樣表征可以將圖形轉(zhuǎn)譯為學(xué)生熟悉的文字，學(xué)生便可以有效解決問(wèn)題了。

（二）幫助學(xué)生明晰數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系是列式解題的基礎(chǔ)。恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行數(shù)學(xué)表征能夠幫助中低年級(jí)學(xué)生明晰題干中涉及的數(shù)量關(guān)系式，這不僅能夠幫助學(xué)生確定當(dāng)前問(wèn)題的解題思路，還能為他們進(jìn)入高年級(jí)后解決復(fù)雜的問(wèn)題打好基礎(chǔ)。

部分教師會(huì)教授學(xué)生解題技巧：看到“一共”用加法，遇到“還剩”用減法，“飛來(lái)”“拿來(lái)”表示增加，“飛走”“去掉”表示減少。這些技巧在一定程度上能提高學(xué)生做題的正確率，但題目的靈活性提高后，學(xué)生就難以利用這些技巧來(lái)解題了。例如，有一道題目如下：樹(shù)上原來(lái)有6只小鳥(niǎo)，第一次飛走了2只，第二次飛走了3只，一共飛走了多少只？學(xué)生在解題時(shí)容易出現(xiàn)兩類錯(cuò)誤：一類是看到“飛走”，認(rèn)為應(yīng)該用減法；另一類是看到“一共”，覺(jué)得應(yīng)該用加法。出現(xiàn)這兩類錯(cuò)誤均是由于學(xué)生沒(méi)有明晰題中的數(shù)量關(guān)系。教師在教學(xué)時(shí)可以采用操作表征的方法：用6根小棒代替小鳥(niǎo)，第一次拿走2只，第二次拿走3只。借助這樣的直觀操作，學(xué)生就能快速得出答案，繼而在直觀操作的基礎(chǔ)上反推出此題的數(shù)量關(guān)系式。

低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)重在幫助學(xué)生理解、積累相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式，而非一味要求學(xué)生規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行表述。教師只有幫助學(xué)生筑牢基礎(chǔ)、積累經(jīng)驗(yàn)，才能讓他們?cè)诟吣昙?jí)時(shí)靈活運(yùn)用知識(shí)，正確解題。

（三）幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)表征能夠幫助學(xué)生剝?nèi)?shí)際問(wèn)題的“華麗外殼”，露出問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生理解不同題目之間的相同本質(zhì)，將其統(tǒng)整為一類問(wèn)題，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

例如：“雞有8只，鵝有2只，雞比鵝多幾只？”“黃絲帶長(zhǎng)5米，紅絲帶長(zhǎng)3米，紅絲帶比黃絲帶短多少？”“哥哥今年7歲，弟弟今年4歲，哥哥比弟弟大幾歲？”……這些問(wèn)題看似不同，但教師借助表征明晰其中的數(shù)量關(guān)系后，就能讓學(xué)生明白它們都屬于“兩數(shù)相差多少”的問(wèn)題。教師在教學(xué)生解決這一類問(wèn)題時(shí)不能局限于讓學(xué)生正確列式解答，而應(yīng)引導(dǎo)其分析過(guò)程，進(jìn)行多元表征，幫助學(xué)生建構(gòu)“兩數(shù)相差多少”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，總結(jié)這一類問(wèn)題的解決方法，提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力。

三、實(shí)踐：培養(yǎng)學(xué)生靈活表征能力的教學(xué)策略探索

（一）日常教學(xué)重積累

數(shù)學(xué)表征方式不唯一，按抽象程度可以分為直觀表征和抽象表征。小學(xué)階段常見(jiàn)的有語(yǔ)言表征、操作表征、圖形圖表表征、圖式表征、符號(hào)表征等。培養(yǎng)學(xué)生的表征能力不是一蹴而就的，教師需要強(qiáng)化多元表征教學(xué)，以幫助學(xué)生積累表征方法，培養(yǎng)學(xué)生合理表征具體問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的表征水平。

1.新授課：多元表征助理解

針對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)，教師可以在常規(guī)新授課中進(jìn)行。例如，在教學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)線段”這一課時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)幫助學(xué)生掌握概念：動(dòng)手拉毛線（操作表征）—由毛線抽象出線段圖形（圖形表征）—說(shuō)線段特征（語(yǔ)言表征）—找生活中的線段（操作表征、語(yǔ)言表征）—折線段、比線段（操作表征、語(yǔ)言表征）。這些環(huán)節(jié)既能幫助學(xué)生正確、全面地理解線段的概念，還能讓學(xué)生經(jīng)歷操作表征、圖形表征、語(yǔ)言表征的過(guò)程，豐富學(xué)生的表征經(jīng)驗(yàn)。

2.習(xí)題課：一題多解散思維

在習(xí)題課的教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生思維的培養(yǎng)。以這樣一道題為例：圍棋盤有四條邊，在每條邊上放5顆棋子，最少要放幾顆？學(xué)生在解決這道題時(shí)容易直接列式4×5=20來(lái)解決問(wèn)題。如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形表征，畫簡(jiǎn)圖表示棋盤和棋子的擺放，再讓學(xué)生解題，不同的學(xué)生便會(huì)有不同的想法：有的學(xué)生直接數(shù)出棋子數(shù)；有的學(xué)生通過(guò)圈畫看成每條邊上有4顆棋子，共有4組，可列式4×4=16；有的學(xué)生先不看四個(gè)角上的棋子，看成每條邊上有3顆棋子，共有4組，最后再加上四個(gè)角上的4顆棋子，便可列式為3×4＋4＝16；有學(xué)生借助圖形發(fā)現(xiàn)算式4×5=20相當(dāng)于多算了角上的4顆，需要減去，修正算式為4×5-4=16。可見(jiàn)采取圖形表征將題意直觀且正確地進(jìn)行呈現(xiàn)后，學(xué)生個(gè)人的內(nèi)部抽象表征仍舊各不相同。因此，教師在習(xí)題課上應(yīng)為學(xué)生留出充足的時(shí)間，使其各抒己見(jiàn)，對(duì)題目進(jìn)行表征。這一過(guò)程一方面利于教師隨時(shí)了解學(xué)生的思維情況，以適時(shí)進(jìn)行糾正；另一方面有利于學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，積累經(jīng)驗(yàn)。

（二）不同學(xué)生有差異

學(xué)生的個(gè)體差異是客觀存在的，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力不能“一刀切”，對(duì)不同思維層次的學(xué)生，教師應(yīng)進(jìn)行差異化對(duì)待。不同年齡層次的學(xué)生對(duì)同一類問(wèn)題表征不同，教師應(yīng)該進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.同級(jí)生：允許慢一步

受身心發(fā)展、學(xué)習(xí)習(xí)慣等因素的影響，同一年齡層次的學(xué)生思維發(fā)展水平出會(huì)有所不同。這要求教師在授課時(shí)慢下來(lái)，對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行多元表征，由直觀表征逐步過(guò)渡到抽象表征，揭示問(wèn)題的本質(zhì)。這一過(guò)程能夠讓不同思維層次的學(xué)生以適合自己的表征方式解決問(wèn)題。在進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，特別是對(duì)后進(jìn)生進(jìn)行輔導(dǎo)時(shí)，教師不能要求過(guò)高，可以采用較直觀的表征方式，如操作表征、圖形表征，助力學(xué)生直觀理解題目，允許后進(jìn)生在表征上慢一步。這樣既有利于幫助后進(jìn)生打好基礎(chǔ)，又可以提升后進(jìn)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。例如，一年級(jí)學(xué)生常遇到這樣的排隊(duì)問(wèn)題：我的前面有4個(gè)人，我的后面有2個(gè)人，這條隊(duì)伍一共有多少人？對(duì)此，思維水平較高的學(xué)生可以直接進(jìn)行抽象表征，得出答案4+2+1=7；但是思維水平較低的學(xué)生單憑想象無(wú)法理解為什么還要加1人。對(duì)此，教師應(yīng)放慢腳步，首先采用操作表征的方式讓學(xué)生排一排、站一站，然后用圖形表征的方式，用黑白小圓圈代替人，畫一畫，最后進(jìn)行抽象表征。學(xué)生打好了基礎(chǔ)，再遇到此類問(wèn)題就能抽象出數(shù)學(xué)模型了。

2.異級(jí)生：需要邁一步

蘇教版數(shù)學(xué)課本的一個(gè)編排特點(diǎn)是知識(shí)呈螺旋上升，這意味著本質(zhì)相同的問(wèn)題在不同年級(jí)可能會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。但本質(zhì)相同的問(wèn)題在不同年級(jí)的呈現(xiàn)方式是不同的，這要求學(xué)生的數(shù)學(xué)表征水平要逐步提高。例如，在二年級(jí)，學(xué)生剛學(xué)乘法時(shí)，會(huì)遇到這樣的乘法問(wèn)題—每堆有3根胡蘿卜，有2堆，一共有多少根？教材多配有圖形，教師在教學(xué)時(shí)也會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形表征，讓其畫一畫，使學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)，即求2個(gè)3相加的和可用乘法計(jì)算。隨著年級(jí)升高，學(xué)生還是會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：新學(xué)期，學(xué)校要給三年級(jí)5個(gè)班更換桌椅，每個(gè)班有42人，一共需要多少套新桌椅？對(duì)于這樣的問(wèn)題，教師若采用圖形表征，讓學(xué)生畫一畫顯然不合適，此時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生往前邁一步，利用所積累的數(shù)學(xué)模型，直接進(jìn)行抽象表征：求幾個(gè)相同的數(shù)的和用乘法表示［2］。

（三）具體問(wèn)題活轉(zhuǎn)譯

1.化難為易，尋思路

問(wèn)題的呈現(xiàn)方式不同，解題的難度也不同。教師要培養(yǎng)學(xué)生靈活進(jìn)行數(shù)學(xué)表征的能力，使其可以將不熟悉的、難以解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)譯為熟悉的、容易找到突破口的問(wèn)題。例如：果園里種了3行桃樹(shù)和4行梨樹(shù)，桃樹(shù)每行有5棵，梨樹(shù)每行有7棵，桃樹(shù)比梨樹(shù)多了幾棵？這一實(shí)際問(wèn)題的條件較多，對(duì)于小學(xué)生而言，文字表征顯得混亂，教師可以引導(dǎo)學(xué)生列個(gè)簡(jiǎn)易表格，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)譯為圖表進(jìn)行表征，如此，學(xué)生就能更快地厘清思路了。再如，小紅有8盒巧克力，小紅給小麗2盒后兩人同樣多，小麗原來(lái)有幾盒巧克力？這一實(shí)際問(wèn)題對(duì)小學(xué)生的思維要求比較高，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫一畫，將其轉(zhuǎn)譯為圖形進(jìn)行表征，使學(xué)生理解其中的數(shù)量關(guān)系。針對(duì)具體問(wèn)題，靈活選用數(shù)學(xué)表征方式，化難為易，能更好地幫助學(xué)生獲得解題思路。

2.由繁轉(zhuǎn)優(yōu)，提能力

學(xué)生對(duì)同一題進(jìn)行不同的表征后，其解題思路也有所差別，出現(xiàn)一題多解，而比較得出最優(yōu)解可以提高學(xué)生的解題速度，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。例如：國(guó)慶期間要在馬路的一側(cè)掛上彩旗，第一面是紅旗，第二面是黃旗，第三面是藍(lán)旗，第四面是紅旗，第五面是黃旗，第六面是藍(lán)旗……照這樣掛下去，第10面彩旗是什么顏色的？第30面呢？若要解決這一問(wèn)題，學(xué)生可以通過(guò)去掛一掛（操作表征），或畫一畫（圖形表征）尋求答案，但這樣的解題方式都比較煩瑣，學(xué)生若能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，可采用算式進(jìn)行表征：10÷3=3（組）……1（面），30÷3=10（組）。如此，學(xué)生便能更快更簡(jiǎn)潔地解題，逐步提升自己的解題能力。

結(jié)語(yǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）為主。問(wèn)題解決能力作為“四能”之一，具有十分重要的作用，而數(shù)學(xué)表征作為解決問(wèn)題的重要策略值得教師重視。教師在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的表征能力，發(fā)展其思維，助力其問(wèn)題解決能力的提升。

［參考文獻(xiàn)］

［1］唐靜芳.個(gè)性化“草圖”表征在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值初探［J］.新課程研究，2021（19）：44-46.

［2］姜湘君.巧用數(shù)學(xué)表征 促進(jìn)問(wèn)題解決［J］.江蘇教育，2021（18）：75-76.