回歸教學(xué)起點(diǎn)，追尋高效課堂

嚴(yán)保靜

摘要：按照新課改的教學(xué)理念，結(jié)合“一元二次不等式的解法”這一課題進(jìn)行探究，采取師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作探究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高自主學(xué)習(xí)能力，以期達(dá)到“回歸教學(xué)起點(diǎn).追尋高效課堂”的效果.

關(guān)鍵詞：教學(xué)起點(diǎn)；高效課堂；一元二次不等式

在新課改背景下，教學(xué)的起點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)與督促學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)與合作探究，首先應(yīng)做好課程內(nèi)容解析與備課工作，在課堂上提出問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考，然后制定師生互動(dòng)與生生互動(dòng)的方案，以及歸納小結(jié)等，最后指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)典型題目，進(jìn)行課堂總結(jié)，實(shí)現(xiàn)高效率教學(xué).筆者基于此理念開(kāi)設(shè)了一節(jié)公開(kāi)課：《一元二次不等式的解法》.本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐體驗(yàn)談點(diǎn)思考，以就教于同仁.

1教學(xué)思考

《一元二次不等式的解法》是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容.在教學(xué)計(jì)劃中，這部分內(nèi)容占有兩課時(shí).老師往往會(huì)利用類比的方法，即將此部分內(nèi)容和初中所學(xué)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類比，這樣可以讓學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新內(nèi)容有延展性思考，新內(nèi)容的教學(xué)過(guò)渡也會(huì)表現(xiàn)地更加自然、流暢.類比是發(fā)現(xiàn)的引路人.鑒于新課程倡導(dǎo)“用教材教”的理念，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)沿著這一線索學(xué)習(xí)和思考.

在教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)目標(biāo)的明確對(duì)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)具有重要意義.在本節(jié)教學(xué)中，其主要目標(biāo)有三個(gè)，即：（1） 經(jīng)歷一元二不等式的抽象過(guò)程，在現(xiàn)實(shí)情境中理解一元二不等式的現(xiàn)實(shí)意義；（2） 了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、方程之間的聯(lián)系，借助二次函數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的整體性；（3） 能從函數(shù)的角度對(duì)一元二次不等式求解，并在一些實(shí)際問(wèn)題中完成一元二次不等式的求解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)操作素養(yǎng).

在備課過(guò)程中，有一個(gè)環(huán)節(jié)讓筆者備受困擾.初中雖然學(xué)過(guò)一元一次方程、一元一次不等式，但是是用一次函數(shù)的觀點(diǎn)去看的，應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生去思考將一元一次方程與一元二次不等式的求解相聯(lián)系.筆者使用了情境設(shè)置方法，即在情境中設(shè)置一個(gè)用一元一次不等式實(shí)例，并對(duì)其解法進(jìn)行分析.比如情境：我家離學(xué)校大約有7.5km路程，我明天早上擬6：30從家出發(fā)去學(xué)校，想在6：50之前進(jìn)入校門. 又知我上班全程行駛的市區(qū)地面道路限速均為50km/h. 請(qǐng)問(wèn)我明天早上駕車車速應(yīng)如何控制［1］？由一元一次不等式過(guò)渡到一元二次不等式，無(wú)論是從定義、一般形式還是解法、應(yīng)用都可以很自然的做類比和遷移.

2教學(xué)過(guò)程

2.1提出問(wèn)題

師：這一章是在研究不等式.本章對(duì)不等式的一些知識(shí)進(jìn)行了類比，比如初中學(xué)過(guò)的等式和方程.與用方程刻畫(huà)相等關(guān)系類似，用不等式刻畫(huà)不等關(guān)系.由等式的性質(zhì)類比出不等式的一些性質(zhì).學(xué)習(xí)這些不等式及其性質(zhì)有什么用呢？這些不等式為什么要研究呢？不妨先請(qǐng)同學(xué)們幫我解決一個(gè)問(wèn)題：我打算在綠地上種花，用圍欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的區(qū)域，……如果圍欄的長(zhǎng)度是20m2，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是多少米？圍成的長(zhǎng)方形區(qū)域的面積是20多米呢？生：設(shè)這個(gè)矩形的一條邊長(zhǎng)為xm，則另一條邊長(zhǎng)為（12－x）m.由題意得（12－x）x>20，其中x∈{x|0

（教師出示課件讓學(xué)生列式后然后回答.如果學(xué)生忘了自變量的取值范圍，老師們因勢(shì)利導(dǎo).）

師：我們就是這樣把一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題從數(shù)學(xué)的角度中抽象出來(lái)了.這個(gè)不等式只要解決了，問(wèn)題就解決了.

設(shè)計(jì)意圖：從生活實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，自然地引出本課研究的內(nèi)容，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系.

2.2制定方案

師追問(wèn)1：這個(gè)不等式與一元一次不等式相比，有哪些相同地方，又有哪些不同地方呢？？

生： 僅含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

師追問(wèn)2：按一元一次不等式的定義，這個(gè)不等式是否可以起名？并給出一般形式.

師總結(jié)：一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），那這個(gè)不等式怎么解呢？

學(xué)生思考，老師巡視，選出兩個(gè)有代表性的解法，請(qǐng)兩位學(xué)生在黑板板演.

設(shè)計(jì)意圖：求解一元二次不等式通常有兩種方法.一種是代數(shù)方法，先分解二次三項(xiàng)式式，把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，通過(guò)解一元一次不等式組，得到一元二次不等式的解法；另一種是函數(shù)方法求解一元二次不等式，它是借助一元二次函數(shù)圖像得到的.當(dāng)一道題有不同的解法時(shí)，就需要對(duì)這些方法分析、比較，選擇更廣泛的、能夠體現(xiàn)本質(zhì)的方法來(lái)解答.

師：第一個(gè)同學(xué)，是把一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，解得一元二次不等式；第二個(gè)同學(xué)，是借助直觀的一元二次函數(shù)圖像，解得一元二次不等式.你是怎么想出來(lái)的？

生：初中里學(xué)過(guò)的一元一次方程、一元一次不等式的解法，就是從一元一次函數(shù)的角度看的.

師：很好！這是一種類比的思想.下面我們考察一元一次不等式x2－12x+20<0與二次函數(shù)y=x2－12x+20之間的關(guān)系.

師生活動(dòng)：教師用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù)y=x2－12x+20的圖像，在函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)P（x，y），讓點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，學(xué)生觀察圖像，點(diǎn)P縱坐標(biāo)在變化過(guò)程中隨著點(diǎn)的移動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)什么特殊情況.

學(xué)生觀察思考后作答：當(dāng)點(diǎn)P移到x軸上時(shí)，其縱坐標(biāo)等于0，當(dāng)點(diǎn)P移到x 軸上方時(shí)，其縱坐標(biāo)大于 0，當(dāng)點(diǎn)P移到x軸下方時(shí)，其縱坐標(biāo)小于 0.

師追問(wèn)3：當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)怎么求？

生：解方程x2－12x+20=0.方程的根就是點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

師追問(wèn)4：一元二次方程的實(shí)數(shù)根與二次函數(shù)的關(guān)系是什么？

生：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是2和10，從函數(shù)的角度看，就是縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師追問(wèn)5：這個(gè)結(jié)論可以推廣到一般嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生得出這一結(jié)論可以推廣）

教師總結(jié)：對(duì)于二次函數(shù)y=x2－12x+20，它的零點(diǎn)就是使得函數(shù)值等于0的實(shí)數(shù)x，就是2和10.

師追問(wèn)6：二次函數(shù)y=x2－12x+20的兩個(gè)零點(diǎn)把x軸分成三段.每一段（不包含零點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像有什么特點(diǎn)？函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

生：當(dāng)x<2或x>10時(shí)，函數(shù)圖像位于x軸上方，此時(shí)y>0，即2

師追問(wèn)7：從函數(shù)圖像上能確定矩形的邊長(zhǎng)是多少米嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生從具體的二次函數(shù)圖像入手，了解一元二次方程的根與相應(yīng)的函圖像之間的關(guān)系，能根據(jù)圖像得到相應(yīng)的一元二次不等式的解集，體會(huì)函數(shù)在判斷方程根的情況和求不等式解集中的作用.

2.3歸納小結(jié)

師：求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），是否可以推廣以上方法呢？對(duì)于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0） 、一元二次不等式、ax2+bx+c>0（a>0）、ax2+bx+c<0（a>0）以及相應(yīng)的函數(shù) y=ax2+bx+c（a>0）之間是否也存在著類似的關(guān)系呢？每位同學(xué)先獨(dú)立思考，再分組討論，把紙上寫出討論的成果，時(shí)間大約5分鐘.

（教師各組巡視，了解討論情況，選擇有代表性的成果展示，交流.以下表格由師生一起完成.）

設(shè)計(jì)意圖：從具體的一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)的關(guān)系引申為概括性的結(jié)論.判斷一元二次方程的根，結(jié)合函數(shù)圖象，解一元二次不等式.學(xué)生在提升的過(guò)程中，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法、合作交流的學(xué)習(xí)方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

2.4典型例題

例1求下列一元二次不等式的解集.

（1） x2－5x+6<0；

（2） 9x2－6x+1<0;

（3） －x2+2x－3<0.

（（1） 師生共析，教師板書(shū)示范.（2） 學(xué)生自主想題，請(qǐng)兩位學(xué)生進(jìn)行板書(shū)表演）

師追問(wèn)8：如何求二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即a<0）的一元二次不等式的解集？

生：化系數(shù)為正.

師：其實(shí)對(duì)于一元二次不等ax2+bx+c>0，一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖象與x軸的位置關(guān)系，根據(jù)系數(shù)的不同，可以分為六大類（六種圖象通過(guò)投影的方式展示出來(lái)）.

對(duì)于一元二次不等式－x2+2x－3<0，為了求解根的方便，可以把二次項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎?

師追問(wèn)9：解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0（a≠0）的步驟是什么？

生：（1） 二次項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎╝>0）；

（2） 看能否因式分解，不能分解的計(jì)算判別式；

（3） 求出方程ax2+bx+c=0的實(shí)根；（畫(huà)出函數(shù)圖象）

（4） 寫出不等式的解集（結(jié)合函數(shù)圖象）.

設(shè)計(jì)意圖：以上是書(shū)中給出的例題，難度不大，能讓學(xué)生對(duì)一元二次不等式的解法熟悉.

師：有兩種方法可以解一元二次不等式，您會(huì)選擇哪一種？這兩種方法的共通性是都與一元二次方程的根有關(guān)，差異是函數(shù)方法考慮了變化規(guī)律.因此函數(shù)方法具有一般性.數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非.

類比以上函數(shù)方法，課后嘗試求解不等式（x－2）（x－3）（x－4）>0.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)兩種方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較，體會(huì)函數(shù)解法的優(yōu)越性，對(duì)其它類型不等式嘗試用這種方法進(jìn)行探討.

2.5課堂小結(jié)

下面我們就來(lái)回顧一下今天的學(xué)習(xí)情況，以下的問(wèn)題就一起來(lái)解答一下吧.

師：（1） 如何研究解一元二次不等式的？

生：從實(shí)際問(wèn)題入手，利用不等式、方程、函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的圖象，得到不等式的解法，由此推廣到一般的一元二次不等式的解法.

（2） 一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）和ax2+bx+c<0（a>0）與相應(yīng)的函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）之間有什么關(guān)系？

（3） 簡(jiǎn)單說(shuō)明如何求一元二次不等式ax2+bx+c>0？

設(shè)計(jì)意圖：由此及彼，舉一反三的拓展研究，擴(kuò)大了方法的價(jià)值和內(nèi)涵.從整體上促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解.

3教學(xué)反思

公開(kāi)課的表象是展示，本質(zhì)是研究.公開(kāi)課并非 “作秀”，可以像常態(tài)課一樣公開(kāi)地講.高中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)回歸教學(xué)起點(diǎn)，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從學(xué)生的角度出發(fā)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常龑?dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的精髓 ［2］.通過(guò)這節(jié)課，我覺(jué)得應(yīng)該從以下幾點(diǎn)來(lái)提高數(shù)學(xué)課堂的效率：

第一，教師應(yīng)吃透教材編寫者的意圖，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓.在本課的備課中，參考了蘇教版等教材，比較不同的編寫方式和文本表述方式.人教版對(duì)一元二次不等式的解法的推導(dǎo)過(guò)程的說(shuō)明詳實(shí)，深入淺出.讓學(xué)生感受方程、等式、函數(shù)之間的關(guān)系，深刻理解教材編寫者的編寫意圖，在教學(xué)設(shè)計(jì)中運(yùn)用“從特殊到一般”“類比推理”“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

第二，教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律.循循善誘，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，把他們?cè)鷳B(tài)的自然理念展現(xiàn)出來(lái).在比較不同解法的優(yōu)劣中激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突、以便選擇更優(yōu)化解法.這樣的教學(xué)有利于學(xué)生思維和科學(xué)精神的發(fā)展，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)培養(yǎng)意識(shí).

第三，教師應(yīng)設(shè)置問(wèn)題串的教學(xué)形式.黃桂君在《記一節(jié)函數(shù)應(yīng)用課中的“問(wèn)題串”》一文中指出，教學(xué)內(nèi)容要直觀化、本質(zhì)化，教學(xué)形式要簡(jiǎn)單自然.數(shù)學(xué)教學(xué)的重要的原則之一就是以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng).因此，筆者精心設(shè)置編擬問(wèn)題串，以追問(wèn)的形式將課堂連貫起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)不等式、方程和函數(shù)的關(guān)系，完成本節(jié)課的教學(xué).

第四在學(xué)習(xí)完特殊的一元二次不等式的求解后，通過(guò)設(shè)計(jì)表格化的問(wèn)題，放手讓學(xué)生去獨(dú)立思考、小組討論，再展示交流、總結(jié)提煉.學(xué)生不僅獲取了知識(shí)，還掌握了獲取知識(shí)的方法——類比法、圖象法.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 潘立方. 以圖為媒 突破定勢(shì) 促進(jìn)函數(shù)教學(xué)——以“函數(shù)觀點(diǎn)看待一元二次方程（不等式）”教學(xué)實(shí)踐為例［J］. 讀寫算， 2019（31）：156-158.

［2］ 秦勇. 高中數(shù)學(xué)與二次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題分析［J］. 科普童話， 2019（7）：132.