2022年全國數學新高考Ⅰ卷的特色與啟示

陳香君 葉華明 趙思林

摘要：2022年全國數學新高考Ⅰ卷具有“五反”特色，這里的“五反”是指反“解題套路”、反“淺層教學”、反“低階思維”、反“童子功”差、反“機械刷題”．“五反”特色對引導教學和改進教學都有諸多啟示．提出了面向新高考的教學建議：發掘教材功能，淡化教輔資料；適當引入真題，培養思維品質；聚焦核心素養，發展創新能力．

關鍵詞：高考數學；新高考Ⅰ卷；創新能力；教學啟示

1新高考Ⅰ卷的“五反”特色及整體評價

2022年全國數學新高考Ⅰ卷（以下簡稱“Ⅰ卷”）是一套體現了“五反”特色的試卷，這里的“五反”是指反“解題套路”、反“淺層教學”、反“低階思維”、反“童子功”差、反“機械刷題”．這里的“五反”是對數學教學題型化、解題教學套路化、學生學習機械化、巨量刷題記憶化的一次成功阻擊．數學教育理論研究與教學實踐反復表明，采用題型套路、機械刷題、題海戰術的數學教學是培養不出數學創新人才的，更培養不出菲爾玆獎獲得者．因此，Ⅰ卷的“五反”特色是我國高考數學命題的一次有益探索，值得研究與教學反思．

教育部教育考試院的權威報告認為，2022年高考數學全國卷“深化基礎考查，突出思維品質，充分發揮教育評價育人功能和積極導向作用，服務‘雙減'工作落實落地，引導學生德智體美勞全面發展．”［1］教育部教育考試院還認為，2022年高考數學全國卷“試題設置反映我國優秀傳統文化、科技發展成果的真實情境，深化基礎性考查，注重數學的本質與創造性思維，深入考查核心素養和關鍵能力，發揮數學科考試的選拔功能”［2］，并“發揮高考對課程教學改革的導向和推動作用”［2］．其中的“注重數學的本質與創造性思維”“深入考查核心素養和關鍵能力”“發揮數學科考試的選拔功能”等評價對Ⅰ卷來說是很準確的，特別是“注重數學的本質”和“創造性思維”的考查是非常到位的．Ⅰ卷很多題目新穎獨特，如第4、5、7、11、12、14、18、20、22等題；一些題目的情境、問題與知識的組合搭配自然協調，如第4、9、10、11、12、14、18、20、22等題；一些題目的知識交匯和綜合方式新奇有趣，如第5、12、22等題；一些題目富含數學美育因素，如第6、8、9、10、11、12、14、17、18、20、22等題；“在考查內容的選取上更加全面和靈活”［2］，如第4、5、18、20、21題分別考查了一些比較冷僻的知識點如“棱臺的體積”“互質”“正切的半角公式”“條件概率”“雙曲線”；教育部高考全威專家提出：第7、12、18、20、22等題的解答需要學生具備創造性思維能力，這些題目充分體現了“考查創新能力是時代對高考的要求，是高考選拔性考試特點的重要體現，也是今后高考改革的重要內容［3］”的新時代訴求．

2“五反”特色及案例評析

2.1反“解題套路”

Ⅰ卷第7題“三數比較大小”，考生對此題型非常熟悉．但a=0.1e0.1，b=（1?9），c=-ln0.9三數形式各異，不能直接比較，由于b確定但a，c是涉及2種超越運算的非特殊數值，憑經驗可先采用“估算法”，與特殊值比較來試試，但估算發現三者均接近于0.1；直接通過作差（商）法比較大小，顯然也行不通，因此需另尋他法．構造函數求導、利用函數的單調性比較大小是第三種思路，但如何構造函數？回到a，b本身分析其結構：比較a=0.1e0.1與b=（1?9），即10a=e0.1與10b=（10?9）（化小數為整數），即lne0.1=0.1與ln（10?9）（同時取對數），又考慮0.1與（10?9）的關系，即比較0.1=1-（9?10）與ln（10?9）（消元），于是構造函數f（x）=lnx-（1-（1?x）），x>0．求導可知f（x）min=f（1）=0，所以lnx>1-（1?x），進而比較它們的大小．

回顧思路，已有經驗“頻頻失效”的原因在于，本題雖是常見題型，但解題思路是非常規的，其難度遠比平時做的題更難．“估算”，或“精算”，或直接作差（商）法等“套路”皆用不上；需要構造的函數也超乎尋常，如0.1、（1?9）、0.9三者之間的“函數關系”也不是顯而易見的．本題探尋函數結構的難點在于，幾個不同數值分別隱藏在指數、對數兩種超越函數中，用“化繁為簡”原則（即化小數為整數，取對數等）化簡后需比較0.1與ln（10?9）的大小，這是兩個離散的常數，需先變為連續的變量，于是將1-（9?10），ln（10?9）中的（10?9）看成x，得到函數f（x）=lnx-（1-（1?x）），這是“特殊→一般”的過程；由導函數性質知f（x）>0后得lnx>1-（1?x），隨之再代入x=（10?9）得到a，b的大小關系，這是“一般→特殊”的過程．整個解題的思維需經歷“特殊→一般→特殊”的過程，對思維靈活性、創新性提出了較高的要求．解答此題若缺乏創新思維能力，則是比較困難的．此題的思路寬，解法多達10余種，有利于考查學生的發散思維．因此，本題是一道考查創新思維能力的好題目．

2.2反“淺層教學”

Ⅰ卷第4題以水庫蓄水的實際問題為背景，學生需先抽象出其中的數學問題：求棱臺的體積．題目雖難度不大，但因近10年來全國卷鮮少考查“棱臺體積”，使教學與練習均成盲點，致使學生心理感到很別扭．這是典型的“若不考，則不教且不學”的“淺層教學”的真實表現．但需知道“棱臺體積公式”是“柱體體積公式”“錐體體積公式”的統一形式（統一美）．若只教“柱體體積公式”和“錐體體積公式”，學生則容易認為“柱體體積公式”和“錐體體積公式”是兩個沒有內在聯系的“孤魂野鬼”．那么，學生要理解“柱體體積公式”和“錐體體積公式”之間的內在關系就很困難了，可能只好“死記硬背”了．因此，只教“柱體體積公式”“錐體體積公式”而不教“棱臺體積公式”的教學是淺層教學．

又如，第18題是三角函數解答題，題干中（cosA?1+sinA）=（sin2B?1+cos2B）的分式結構在高考和教輔中都未出現過，其右邊是正切的半角公式模型，由正切半角公式可得（sin2B?1+cos2B）=tanB，但其左邊不能直接使用正切半角公式，需先用誘導公式變形再運用正切的半角公式可化為tan（（π?4）-（A?2））．從而得到，tan（（π?4）-（A?2））=tanB，進而得到（π?4）-（A?2）=B．得到了這個關系之后，解答就比較容易了．本題所涉及到的正切半角公式是源于人教A版教材“三角恒等變化”之“練習”中的第1題：證明tan（α?2）=（sinα?1+cosα）=（1-cosα?sinα）．如果對教材中這個特別的“練習”題采用深度教學，那么學生可能對這個18題的形式和其解答就不會感到生疏．

再如，第20題第二小問，要求證明條件概率相關公式再運算，出乎意料．

2.3反“低階思維”

Ⅰ卷第14題求圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的一條公切線的方程，首先計算兩圓心距離等于半徑之和，二者是外切關系，應有三條公切線，有以下思路：討論切線斜率是否存在，設出方程，通過圓心到切線距離為半徑求參數，即最易想到的“硬算”法；考慮到兩條外切線關于兩圓心所在直線對稱，結合直線的兩點式方程，采用“特殊點對稱”法；轉化過點的圓的切線，可采用“向量”法．以上思路易想到，但思維層次較低，運算量較大．試想：若本題變成求其兩條公切線的方程，那難度陡增．實際上，通過畫圖觀察就立刻得一條切線x=-1，不需計算；那第二條呢？兩相交圓的方程相減得到的是公共弦的方程，而“相切”是“相交”一種特殊形式，或者說是極限形式，因此，兩圓雖是外切關系，但相減仍能得“公共弦”，即兩圓的內切線3x+4y-5=0．由此，本題重在考察學生對于數學本質的深層理解而非計算能力．又如第15題，曲線y=（x+a）ex有兩條切線，求a的范圍，常規求導、設切點坐標（x0，（x0+a）ex0），由切線方程過原點得x20+ax0-a=0，再由Δ>0求a的范圍計算量較大．那能否優化呢？回到直線斜率的表示：兩點求斜率公式或求出導函數代入切點橫坐標，二者是等價的，即有（（x0+a）ex0-0?x0-0）=（x0+a+1）ex0，易得x20+ax0-a=0．

學生“拿到題就開始算”是常態，而“為什么這樣做”“有無更簡單的解法”這些直擊知識本質的問題易受忽略．新高考考查重深層思維，輕低階思維，要跳出“套路”，通過“多想少算”培養學生理解數學本質的高階思維，在復雜形式中能快速分析出問題的實質，是創新人才須具備的能力．

2.4反“童子功”差

數學運算素養被喻為數學的“童子功”（章建躍），不可謂不重要．但新課改實施之后，小學、初中和高中的數學教學目標都明顯降低了對數學“童子功”的訓練要求，從而導致很多學生對數學運算的實際狀況是不想算、不敢算、不會算，甚至是害怕算、算易錯等不良后果．2017年版的高中數學課程標準把“數學運算”作為六大核心素養之一，明確和強調“數學運算”的“童子功”作用是非常必要的．

Ⅰ卷第8題是正四棱錐的外接球問題，難度不大，其思路較為常規：首先運用直觀想象得到大致圖形，再借助勾股定理得到側棱l與高l1的關系，實現多元向一元的轉化，然后得到正四棱錐體積的一個三次函數，最后利用導數法或三元均值不等式求出函數的最值．整個解題過程對思維的靈活性、創新性要求并不是太高，學生的計算能力若能過關，則本題就能迎刃而解．第16題是圓錐曲線的常見題型，結合等邊三角形、垂直平分線的性質等表示出直線DE的方程，再與橢圓聯立化簡，利用韋達定理、橢圓的弦長公式，求出橢圓的標準方程，最后再根據橢圓的定義，即可求解．本題主要考查直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題，需要學生有較強的計算能力．第21題考查雙曲線相關性質，求直線l的斜率采用常規計算：顯然點A的坐標滿足雙曲線方程（x2?2）-y2=1，設l：y=kx+m（易見直線l的斜率存在），這兩個方程聯立后，根據直線AP，AQ的斜率之和為0，即可解出參數k．這個求解方法屬于通性通法，學生都很熟悉，但學生的運算能力若不過關則會出現“眼高手低”的失分實況．

2.5反“機械刷題”

中共中央國務院關于《深化新時代教育評價改革總體方案》提出：“改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和‘機械刷題'現象”［4］．死記硬背題型套路、“機械刷題”和機械學習是我國當下基礎數學教育的頑疾，很有必要好好“醫治”．針對第4、5、18、20、21題，這些考查比較冷僻的知識點如“棱臺的體積”“互質”“正切的半角公式”“條件概率”“雙曲線”的題目“靠死記硬背，靠刷題熟練”是不會奏效的；針對考查創新思維能力的題目如第7、18、20、22等題，“靠死記硬背，靠刷題熟練”更不會奏效．這些反套路設計的題目對反“機械刷題”是有效的和成功的，對中學教學有良好的導向作用．

3教學啟示

3.1發掘教材功能，淡化教輔資料

當下的數學教學，很多學校都以所謂的導學案為主甚至把教材放在一邊基本不用，師生過度依賴于所謂的導學案，忽視導學案所存在的“缺乏合法性、造成巨大浪費和環境污染、不完全符合‘立德樹人'的原則等深度問題”［5］，造成數學教學舍本逐末（舍課本、逐教輔）的不良傾向，造成師生負擔過重．所謂的導學案為了吸引眼球、博得賣點，東拼西湊一些偏怪難題，嚴重挫傷學生學習的自信心，學生學習特別是練習缺乏甚至沒有“成功體驗”；很多所謂的導學案的模式為：題型—方法（套路）—題目—答案—解析，缺乏對考點、背景、拓展等進行深層次分析與探究，讓數學核心素養的培養時機消失在“題型套路”和“題海戰術”之中．這就背離了“數學是學習、培養理性思維的一個主要途徑［6］”的教學理念．

科學知識向學科課程知識轉化，形成了“教材”，這是廣大學科專家和課程開發專家的努力結果［7］，具有很高的專業性、科學性．可以說，教材是“教學的心臟”．這一轉化為第二層轉化提供了載體和條件：把學科課程知識轉化為學生知識．這就依靠廣大一線教師，實際教學中脫離教材搞教學，以教輔資料為主要教學資源搞教學等不正常現象［8］應予以糾正，“快餐式”的教學使得學生的數學基礎知識和基本技能沒有打牢，數學思想方法、數學活動經驗未充分積累，“四基”尚未筑牢，何談能力、品質、素養等的生成．如上述的Ⅰ卷第4題類似于2019人教版高中數學教材A版必修2第120頁的第3題（如下），是第3題的一個“簡化版”．

如圖，一個三棱柱容器中盛有水，側棱AA1=8．若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好經過AC，BC，A1C1，B1C1的中點．那么當底面ABC水平放置時，水面高為多少？

隨著新教材出爐，各校的教師團隊應著力研究教材，進而研究教法，集中精力研究教材的脈絡，知識點，教學特別是新授課要多關注教材練習、習題，以科學、高效且不失“數學味”的方式幫助學生理解掌握，進而內化為自身知識，鍛煉數學能力，發展數學核心素養．

3.2適當引入真題，培養思維品質

培養學生優良的思維品質是數學教學的核心目標．而一些優秀的高考真題是培養學生優良思維品質的重要載體，這是由于一些優秀的高考真題是以考查學生的優良思維品質立意的．數學優良思維品質的外延包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、獨創性等品質［9］．如Ⅰ卷中的第7、8、12題考查了思維的深刻性，第5、14、16題考查了思維的敏捷性、靈活性，第9、11、22題考查了思維的批判性、獨創性．

新授課階段應以教材練習、習題為主，此時學生剛接觸新知，經歷認知的“同化”過程，教材習題于知識點而言有較強的針對性，能讓學生“即學即用”，且難度較小，學生易獲得很好的“成功體驗”，有信心開展后續學習任務．待學生已熟悉新學知識點和教材相關題目后，可稍引入一兩個難度較小的高考真題，讓學生感知本節知識點的重要程度及高考的常見考查方式．如第1、2、3、5、8、13等難度較低的題可在相應知識點學完后介紹給學生．由于高考真題具有新穎性、綜合性、獨創性等特點，因此在章節復習、期末復習或高三復習階段，可適當選擇一些富含數學思想方法和訓練思維品質的高考優秀真題，開展數學探究學習或研究性學習．如第1—6、8—12、14—18等題均可在復習課中使用．

3.3聚焦核心素養，發展創新能力

以數學核心素養立意，考查數學創新能力是今后高考命題的基本原則．由此，數學教學應牢固樹立“為數學核心素養而教”“為數學核心素養而學”“為數學創新思維而教”“為數學創新思維而學”的教育教學理念．數學核心素養是個體在理解數學、應用數學、思考數學、發現（創造）數學等活動中對數學感悟、反思和體驗的結果［9］，即學有所悟．“悟”的過程又需要學生具備一定的空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力及應用意識和創新意識．數學教學聚焦六大數學核心素養和七大數學關鍵能力的生成是重要的，因為數學知識和方法可以教會，但數學思想、數學創新能力和數學經驗等是不容易教會甚至是教不會的，它們更需要靠學生自己去“做”“會”“思”“悟”．學生通過“做”一道題，“會”一類題的數學方法，“思”隱藏在其中的數學本質和規律，“悟”蘊涵在其中的數學思想與智慧．從而，達到舉一反三、以一當十、以一當百、以一當千的高效學習效果，真正讓“雙減”政策落地．發展創新能力是數學教育培養學生核心素養的最高目標．特別是受當下我國“芯片”之痛和“搞芯片需要‘砸'數學家、物理學家、化學家和材料科學家（任正非語）”的雙重啟示，通過激發學生的數學創新意識、幫助學生掌握數學創新方法、提升學生創新思維能力、完善學生的創新人格來培養和發展學生的數學創新能力，是極其緊迫任務．高斯在高三時解決了正17邊形的尺規作圖（屬千年難題）、伽羅華大約在18歲時創立“群論”、華羅庚在18歲時寫出第一篇數學論文等事實均表明，高中學生蘊涵數學創新能力，因此數學教學如果真在聚焦了核心素養并采用單元整體教學，那么就可以節約出不少時間去培養和發展學生的數學創新能力．

參考文獻：

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