高校“離散數(shù)學(xué)”課程實踐教學(xué)探研

李凌

摘要：為適應(yīng)時代發(fā)展，滿足社會對應(yīng)用型人才資源的需求，各高校應(yīng)加大離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革力度，促使專業(yè)課教師優(yōu)化教學(xué)理念、教學(xué)方法，以學(xué)以致用為目標(biāo)，培養(yǎng)應(yīng)用型人才。在實際教學(xué)中，教師可嘗試將實踐教學(xué)貫穿始終，以此強(qiáng)化的學(xué)生知識應(yīng)用能力。文章在分析當(dāng)前離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀與離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革理念的基礎(chǔ)上，探究高校離散數(shù)學(xué)課程的實踐教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；實踐教學(xué)；生活實例；理實一體化；討論；以賽促學(xué)

中圖分類號：G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2023）20-0109-04

基金項目：本文系2022年度校級課程思政專項項目“課程思政融入《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容的研究與實踐”（課題編號：2022JY40）研究成果

離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍涉及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的諸多領(lǐng)域，因此，離散數(shù)學(xué)課程在高校的地位較高，其教學(xué)質(zhì)量也逐步提升。在高校計算機(jī)相關(guān)專業(yè)中，離散數(shù)學(xué)是關(guān)鍵的基礎(chǔ)性課程，對夯實學(xué)生的計算機(jī)知識基礎(chǔ)具有重要的價值、作用。基于離散數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性與重要性，當(dāng)前，高校離散數(shù)學(xué)課程的課時標(biāo)準(zhǔn)為72學(xué)時，以此保證各重點知識能講解透徹，促使學(xué)生真正掌握離散數(shù)學(xué)知識，并實現(xiàn)理論知識向?qū)嵺`的轉(zhuǎn)化，為學(xué)習(xí)高難度的計算機(jī)等知識奠定基礎(chǔ)。但實際情況是，有的高校對離散數(shù)學(xué)課程的課時設(shè)置并未滿足72學(xué)時，被嚴(yán)重壓縮。這樣，為將大量知識在有限的課時內(nèi)傳授給學(xué)生，有的教師就忽視實踐教學(xué)，重點講解理論知識，導(dǎo)致學(xué)生無法學(xué)以致用，綜合實踐能力不強(qiáng)。基于此，各高校要積極推進(jìn)離散數(shù)學(xué)課程革新，提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐教學(xué)占比及實踐教學(xué)質(zhì)量。

一、高校“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)現(xiàn)狀

目前，高校離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)存在以下幾點困境。第一，離散數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容較多，知識點比較抽象。在實際教學(xué)中，為保證學(xué)生吃透各重點知識，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識體系，實現(xiàn)各知識點的有效連接，教師不得不在有限的課堂時間內(nèi)花費大量時間完成概念、定義與定理證明的講解。這樣，實踐教學(xué)課時就被壓縮，有的教師甚至直接忽視實踐教學(xué)[1]。第二，雖然離散數(shù)學(xué)課程的地位較高，是計算機(jī)相關(guān)課程的基礎(chǔ)，但計算機(jī)各專業(yè)涉及的課程內(nèi)容多，為確保學(xué)生扎實掌握專業(yè)知識，有的高校對離散數(shù)學(xué)課程的重視度下滑，如離散數(shù)學(xué)課程的教案中缺乏完善的實踐教學(xué)大綱，也未對實踐教學(xué)的具體內(nèi)容與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行明確規(guī)定，導(dǎo)致實踐教學(xué)質(zhì)量無法得到保證。此外，有的高校對離散數(shù)學(xué)課程的考核，仍然采用單一的試卷考核方式，并側(cè)重于學(xué)生對理論知識的掌握，不注重考查學(xué)生的實踐能力。第三，部分教師對離散數(shù)學(xué)課程中實踐內(nèi)容的忽視，也影響到學(xué)生對離散數(shù)學(xué)課程的看法。有的學(xué)生認(rèn)為離散數(shù)學(xué)是一門理論課程，掌握理論知識最為重要，實踐可有可無。基于這種錯誤認(rèn)識，部分學(xué)生對離散數(shù)學(xué)中的實踐內(nèi)容缺乏學(xué)習(xí)主動性與積極性，這樣，就不能將理論知識轉(zhuǎn)化為實操，導(dǎo)致綜合能力提升受限。第四，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師不注重發(fā)揮學(xué)生的主體作用，且缺乏理論聯(lián)系實際的實踐教學(xué)環(huán)節(jié)。第五，高校離散數(shù)學(xué)實踐教學(xué)的有效開展需要專業(yè)教學(xué)設(shè)備的支持。但實際情況是，有的高校的離散數(shù)學(xué)實踐教學(xué)條件較差，其不僅缺少實踐教學(xué)場地，還缺少專業(yè)實驗設(shè)備[2]。

二、高校“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)改革思路

筆者以“你認(rèn)為離散數(shù)學(xué)課程是否有用”為主題，對開設(shè)離散數(shù)學(xué)課程的相關(guān)專業(yè)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解其對離散數(shù)學(xué)課程的真實看法。整合信息與計算科學(xué)專業(yè)、計算機(jī)科學(xué)專業(yè)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的反饋后發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生認(rèn)為“離散數(shù)學(xué)課程有用，但不會用”，另一部分學(xué)生認(rèn)為“離散數(shù)學(xué)課程無用”，只有少數(shù)學(xué)生表示“離散數(shù)學(xué)課程有用且懂得如何運用”。由此可見，離散數(shù)學(xué)雖然是高校計算機(jī)相關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)性課程，但學(xué)生對該課程的重視程度并不高，而這一情況與學(xué)生不會運用離散數(shù)學(xué)知識有關(guān)。因此，開展離散數(shù)學(xué)的實踐教學(xué)具有非常強(qiáng)的緊迫性與必要性。教師要認(rèn)識到離散數(shù)學(xué)中實踐教學(xué)的重要意義，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，重新設(shè)計離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方案、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容，提高實踐教學(xué)占比，從學(xué)以致用的視角出發(fā)，將提升學(xué)生的實踐應(yīng)用能力作為教改重點，以此讓學(xué)生真正掌握離散數(shù)學(xué)知識且能夠運用知識解決實際問題。在此要求下，教師要確定離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革框架，完善離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)體系。離散數(shù)學(xué)課程的主要教學(xué)模塊為理論知識教學(xué)、編程應(yīng)用教學(xué)、創(chuàng)新實踐教學(xué)。這其中，在理論知識教學(xué)模塊，教師應(yīng)以構(gòu)建高品質(zhì)課堂為著力點，設(shè)計高質(zhì)量的教學(xué)方案，以提高課堂教學(xué)效率為著力點，融入教學(xué)案例，增強(qiáng)趣味性，以此強(qiáng)化學(xué)生對離散數(shù)學(xué)知識的理解[3]。在編程應(yīng)用教學(xué)模塊，教師可將編程思想融入教學(xué)中，將抽象知識具體化，保證學(xué)生真正掌握相關(guān)知識。在創(chuàng)新實踐教學(xué)模塊，教師可設(shè)計實踐教學(xué)環(huán)節(jié)，運用問題教學(xué)法、小組討論法、案例教學(xué)法等提高學(xué)生的問題探究能力、問題分析與解決能力、創(chuàng)新能力等。在此教學(xué)環(huán)節(jié)，教師還可基于“以賽促學(xué)”的教學(xué)理念，利用各項競賽活動進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新實踐應(yīng)用能力[4]。

三、高校“離散數(shù)學(xué)”課程開展實踐教學(xué)的策略

1.以生活實例開展教學(xué)，將抽象知識具象化

離散數(shù)學(xué)課程的邏輯性、抽象性較強(qiáng)，其包含大量抽象概念，通過字面意思，學(xué)生根本無法理解。因此在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可運用案例教學(xué)法來開展實踐教學(xué)[5]，以此將抽象的知識向具象化轉(zhuǎn)變，加深學(xué)生的理解。

例如，開展“蘊含式A→B的真值賦值”教學(xué)時，為讓學(xué)生明晰“A為0，B為0時，A→B的真值為1；A為0，B為1時，A→B的真值為1；A為1，B為0時，A→B的真值為0；A為1，B為1時，A→B的真值為1”等知識內(nèi)涵，掌握數(shù)理邏輯，教師可基于生活實例進(jìn)行講解。例如，假設(shè)“今天電影院有新電影上映，同學(xué)A準(zhǔn)備請同學(xué)B看電影”。根據(jù)該假設(shè)，可能出現(xiàn)四種情況。一是“如果電影院沒有新電影上映，同學(xué)A沒有請同學(xué)B看電影，那么同學(xué)A未違反約定，則真值為1”。二是“如果電影院沒有新電影上映，但同學(xué)A因為其他原因請同學(xué)B吃飯，那么同學(xué)A未違反約定，則真值為1”。三是“如果電影院有新電影上映，但同學(xué)A沒有請同學(xué)B看電影，那么同學(xué)A違反了約定，則真值為0”。四是“如果電影院有新電影上映，且是同學(xué)A喜歡的類型，因此同學(xué)A高興地請同學(xué)B看電影，雙方均很滿意，則真值為1”。通過生活實例講解，學(xué)生就能掌握“蘊含式A→B的真值賦值”的相關(guān)知識，且看電影是高校學(xué)生課余生活的內(nèi)容之一，此教學(xué)情境能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生沉浸在上述邏輯關(guān)系講解中，充分理解上述四種情況之間的邏輯關(guān)系。

2.理論與實踐一體化教學(xué)，提高學(xué)生解決實際問題的能力

基于實踐教學(xué)的重要作用，教師要重新規(guī)劃離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方案，增加實踐教學(xué)環(huán)節(jié)，以理實一體化的方式提高學(xué)生解決實際問題的能力。在實踐教學(xué)中，教師可根據(jù)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)任務(wù)，設(shè)置驗證層實驗、綜合應(yīng)用層實驗和課程設(shè)計實驗三個模塊。該教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點是因材施教。學(xué)生的離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力存在差異性，若教師采取統(tǒng)一的教學(xué)方案，會導(dǎo)致學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生跟不上課程進(jìn)度，也無法滿足學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。而同時設(shè)計驗證層實驗、綜合應(yīng)用層實驗和課程設(shè)計實驗內(nèi)容，能夠滿足不同學(xué)習(xí)能力學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，逐步提升實踐教學(xué)質(zhì)量。

例如，教師可整合信息與計算科學(xué)專業(yè)、計算機(jī)科學(xué)專業(yè)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)對離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)要求，制訂離散數(shù)學(xué)教學(xué)計劃，并根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力將學(xué)生劃分為一級、二級、三級三個等級。對于一級學(xué)生，可主要開展驗證層實驗教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)理論知識完成簡單的編程設(shè)計，以此讓學(xué)生熟練掌握并運用基礎(chǔ)知識，進(jìn)而為后續(xù)綜合應(yīng)用層實驗教學(xué)奠定基礎(chǔ)。對于二級學(xué)生，應(yīng)以綜合應(yīng)用層實驗教學(xué)為主。此環(huán)節(jié)對學(xué)生的綜合能力要求較高，主要培養(yǎng)學(xué)生將離散數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識結(jié)合運用的能力，教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用理論知識去解決比較復(fù)雜且難度較大的實際問題，在提高學(xué)生實踐能力的同時，還可促使學(xué)生實現(xiàn)不同學(xué)科知識之間的有效連接，是實現(xiàn)學(xué)以致用教學(xué)目標(biāo)的重要舉措。三級學(xué)生對離散數(shù)學(xué)知識掌握得比較扎實，可以自主運用基礎(chǔ)理論知識完成相關(guān)實踐操作。基于此，教師可在實踐教學(xué)中以課程設(shè)計實驗為主，指出一些實驗方向，或設(shè)計一些實驗主題，如線路規(guī)劃實驗，要求學(xué)生根據(jù)該實驗要求自主設(shè)計課題、建立模型與完成實驗，并生成實驗報告，以此進(jìn)一步提升學(xué)生的創(chuàng)新能力、問題探究能力與實踐能力。

3.基于互動討論教學(xué)法，構(gòu)建高品質(zhì)離散數(shù)學(xué)課堂

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，為保證在有限的課堂時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，有的教師會采取填鴨式的單純講授法開展教學(xué)。這雖然能完成教學(xué)任務(wù)，但對學(xué)生而言，其長期處于被動角色，只能一味地接受知識，對于課堂而言，只有教師一人進(jìn)行知識輸出，課堂會日益枯燥，最終導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣下降，在課堂上不主動跟隨教師學(xué)習(xí)相關(guān)知識，離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量將因此下降。在強(qiáng)調(diào)實踐教學(xué)的教學(xué)改革背景下，教師可將互動討論教學(xué)法引入離散數(shù)學(xué)課堂，以此構(gòu)建高品質(zhì)課堂，提升學(xué)生的知識應(yīng)用能力。

例如，在實際教學(xué)中，教師可提出相應(yīng)討論問題，要求學(xué)生進(jìn)行自主探究或小組合作討論。學(xué)生可充分利用課件、網(wǎng)絡(luò)課堂等找尋答案，且在找到一定思路后與其他學(xué)生一起討論，通過思維碰撞找出最佳的解決問題辦法。互動討論教學(xué)法的運用不僅能促使學(xué)生在已有知識體系下實現(xiàn)學(xué)以致用，完成問題解決，進(jìn)而提高自身的實踐能力，還能使學(xué)生在激烈的互動討論中串聯(lián)知識，從而加深對相關(guān)知識的記憶與理解，并能熟練運用知識解決問題。此外，互動討論的開展還可營造積極的課堂氛圍，讓學(xué)生了解多維度的問題解法，拓寬自身的知識視野，并吸取其他學(xué)生身上的優(yōu)點。

4.基于“以賽促學(xué)”理念，將數(shù)學(xué)建模競賽納入實踐教學(xué)

隨著教育改革的深入，為切實提高學(xué)科教學(xué)質(zhì)量，諸多先進(jìn)教學(xué)理念被提出，并被廣泛應(yīng)用在教學(xué)實踐中。這其中，“以賽促學(xué)”理念與離散數(shù)學(xué)的實踐教學(xué)相結(jié)合，可以拓寬實踐教學(xué)路徑，強(qiáng)化實踐教學(xué)質(zhì)量[6]。基于此，為保證離散數(shù)學(xué)的實踐教學(xué)成效，教師可基于“以賽促學(xué)”理念，將數(shù)學(xué)建模競賽納入實踐教學(xué)。數(shù)學(xué)建模作為離散數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是解決實際問題的重要數(shù)學(xué)工具，也是高校離散數(shù)學(xué)實踐教學(xué)的重點，能夠加強(qiáng)學(xué)生運用離散數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。對此，教師可將近幾年全國性競賽中的數(shù)學(xué)建模問題整理出來，并篩選出具有一定應(yīng)用意義的試題，如“最短路徑、線性規(guī)劃”等，應(yīng)用于實踐教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探究。

例如，教師可組織班級數(shù)學(xué)建模競賽，首先根據(jù)班級人數(shù)合理地將學(xué)生劃分為若干小組，每組3名學(xué)生，要求每個小組在3天內(nèi)通過計算機(jī)編程完成“城市的旅游路線規(guī)劃”。對于學(xué)生3天后上交的實驗報告，教師要認(rèn)真批閱，選出最優(yōu)的三個小組。在此期間，為保證學(xué)生高質(zhì)量完成報告，教師可要求小組之間進(jìn)行相互監(jiān)督，保證競賽的公平與公正，同時可設(shè)置精神、物質(zhì)獎勵，激發(fā)學(xué)生的參與積極性。當(dāng)學(xué)生在班級數(shù)學(xué)建模競賽中積累一定經(jīng)驗后，教師可鼓勵表現(xiàn)突出的學(xué)生參加省級、國家級數(shù)學(xué)建模競賽。大型且規(guī)范的競賽有助于學(xué)生了解自身存在的不足，從而在今后的學(xué)習(xí)中有針對性地進(jìn)行完善，另一方面能使學(xué)生進(jìn)一步積累競賽經(jīng)驗，掌握競賽規(guī)則，在今后的競賽中更加得心應(yīng)手，避免出現(xiàn)緊張等情緒影響競賽成績。教師還可將歷年數(shù)學(xué)建模競賽題目作為課后作業(yè)布置給學(xué)生。題目設(shè)置要具有多元性與豐富性，不僅包含數(shù)學(xué)建模競賽題目，還可包括延伸性題目，如將“城市的旅游路線規(guī)劃”延伸為“針對旅行者不同的需求，設(shè)計不同的旅游路線”等，以供學(xué)生選擇。教師可在此基礎(chǔ)上構(gòu)建線上交流學(xué)習(xí)平臺，鼓勵學(xué)生將實驗過程中遇到的困難與同學(xué)、教師交流。將數(shù)學(xué)建模競賽納入實踐教學(xué)，將數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)與編程能力培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合并作為離散數(shù)學(xué)實踐教學(xué)的重點，不僅有利于提高離散數(shù)學(xué)的實踐教學(xué)效率，還有利于推動離散數(shù)學(xué)課程改革。

5.線上線下教學(xué)的有機(jī)融合

針對離散數(shù)學(xué)課時被壓縮的情況，如何在有限的課時內(nèi)完成理論知識教學(xué)與實踐教學(xué)，并保證教學(xué)質(zhì)量，是教師思考的重點。現(xiàn)代信息技術(shù)的高速發(fā)展為離散數(shù)學(xué)課程改革提供了新思路、新方向，教師可在實際教學(xué)中將線上線下教學(xué)進(jìn)行有機(jī)融合，借助線上教學(xué)資源，完成實驗教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生及時鞏固課堂知識，從而突破時空限制，有效延伸課堂。例如，對于離散數(shù)學(xué)課程總課時為48課時的高校，其可合理規(guī)劃，用24課時開展線上教學(xué)、24課時開展線下教學(xué)。需要注意的是，在實際教學(xué)中不可先完成全部的24課時線下教學(xué)，再陸續(xù)開展24課時的線上教學(xué)，而應(yīng)將線上與線下教學(xué)進(jìn)行融合，根據(jù)教學(xué)任務(wù)與教學(xué)目標(biāo)合理搭配線上與線下教學(xué)[7]。

例如，集合論內(nèi)容分布在多門課程中，且該模塊知識比較簡單，因此學(xué)生對這部分知識掌握得比較好。基于此，在實際教學(xué)中，教師可以線上教學(xué)為主，在線上利用5課時講解相關(guān)概念與重難點知識，并要求學(xué)生在線上利用微課、網(wǎng)上教學(xué)資源等鞏固課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容。然后，教師可在線下教學(xué)中開展課外討論活動，了解學(xué)生對集合論知識的掌握與實踐應(yīng)用情況。又如，代數(shù)系統(tǒng)知識相較于集合論，比較抽象，且難度大，因此在進(jìn)行線上與線下融合的教學(xué)設(shè)計時，可適當(dāng)增加線下教學(xué)課時，如設(shè)計線上4學(xué)時、線下6學(xué)時。線上與線下的融合可有效改善目前高校離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的困境，使教師與學(xué)生能夠在不同時空進(jìn)行教與學(xué)，從而保證教學(xué)任務(wù)的順利推進(jìn)。基于線上線下融合的教學(xué)優(yōu)勢與應(yīng)用價值，高校可在今后的離散數(shù)學(xué)課程改革中將其作為重點內(nèi)容加以推進(jìn)。

四、結(jié)語

綜上所述，隨著計算機(jī)等相關(guān)行業(yè)的高速發(fā)展，其對專業(yè)人才的要求越來越高。為滿足社會發(fā)展對應(yīng)用型人才的需求，高校在開展離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)時，應(yīng)提高對實踐教學(xué)的重視程度，并積極推進(jìn)離散數(shù)學(xué)實踐教學(xué)改革。在具體教學(xué)中，教師可基于離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)現(xiàn)狀與離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革理念，明確離散數(shù)學(xué)課程的實踐教學(xué)策略。可通過生活實例教學(xué)將抽象知識具象化，通過理論與實踐一體化教學(xué)提高學(xué)生解決實際問題的能力，基于互動討論教學(xué)法構(gòu)建高品質(zhì)離散數(shù)學(xué)課堂，基于“以賽促學(xué)”理念將數(shù)學(xué)建模競賽納入實踐教學(xué)，通過線上線下的有機(jī)融合延伸課堂，以此提高離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量，促使學(xué)生扎實掌握理論知識，并實現(xiàn)理論知識的實踐轉(zhuǎn)化。

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Research on Practical Teaching of"Discrete Mathematics" Course in Colleges and Universities

Li Ling

（Wuchang Institute of Technology， Hubei Province， Wuhan 430033， China）

Abstract： In order to adapt to the development of the times and meet the demand of the society for applied talent resources， colleges and universities should strengthen the teaching reform of discrete mathematics courses， promote professional course teachers to innovate， optimize teaching concepts and teaching methods， and cultivate applied talents with the goal of learning for application. In practical teaching， teachers can try to integrate practical teaching throughout， in order to strengthen students knowledge application ability. Based on the analysis of the current teaching situation of discrete mathematics and the teaching reform concept of discrete mathematics， this paper explores the practical teaching methods of discrete mathematics in colleges and universities.

Key words： discrete mathematics； practical teaching； life examples； integration of theory and practice； discussion； promoting learningthroughcompetition