指向深度學習的深度教學

劉璇燕

數學深度教學是幫助學生“通過數學會思維”，學會總結反思和“再認識”，強調通過“聯系的觀點”幫助學生更好地學會學習，深入學習，從而真正成為學習的主人的教學.單元復習教學中，圍繞教學中的重難點，通過對相關題目的背景分析、解法思考等追溯題目的根源，變式拓展探尋題目本質內涵，找尋學生解題能力生長的軌跡，是很好的復習策略.本文以圓錐曲線定義法求最值問題為例，談談自己對“深度教學”的感受和思考.

1 問題呈現

例1 拋物線y2=4x的焦點為F，定點Q2，1，P為拋物線上動點，則PF+PQ的最小值為＿＿＿.

分析：本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質和數形結合思想，是一道基礎題.由點Q在拋物線內側，作圖（略），把拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，但是在課前練習中只有一半的學生能夠求出正確答案3.分析作業情況主要原因有三個：缺乏數形結合意識，沒有判斷定點與拋物線的位置關系；不能靈活運用拋物線定義進行轉化；對于能夠運用拋物線定義轉化寫出正確答案的部分學生，問其思路原因時，都說是印象中就是這樣解題的，但卻不清楚為什么要進行轉化.針對這種情況，筆者進行了以下的變式練習探尋題目本質內涵.

變式1 拋物線y2=4x的焦點F，定點Q3，4，P為拋物線上動點，則PF+PQ的最小值為＿＿＿.

分析：定點Q在拋物線的外側，焦點F在拋物線的內側，作圖（略），當動點運動到三點共線時和最小，所以PF+PQ≥QF=25.

設計意圖：由例題出發，改變點Q的位置，定點Q在拋物線的外側，焦點F在拋物線的內側，不需要通過定義轉化，可以直接求解；與例1形成對比，引起認知沖突，揭示學生學習中的問題，引導思考例1用定義轉化距離的原因，是因為求動點到兩個定點距離之和最小值時，需要把同側距離（定點在動點的同側）轉化為異側距離（定點在動點的異側），然后利用三角形的兩邊之和大于第三邊，當三點共線時距離之和取得最小值，提升數形結合思維.

變式2 拋物線y2=4x上一動點P到直線x=-1的距離為d，定點Q1，1，則d－PQ的最大值為＿＿＿.

分析：定點Q在拋物線的內側，直線在拋物線的外側，作圖（略），運用拋物線定義將點到準線的距離轉化為到焦點的距離d=PF，d－PQ=PF－PQ≤QF=1.

設計意圖：例1和變式1都是求距離之和最小值問題，變式2引出了求距離之差的最大值問題，需要把異側距離轉化為同側距離，然后利用三角形中兩邊之差小于第三邊，當三點共線時同側距離之差取得最大值，激發逆向思維.

2 變式探究

教師提問1：以上是關于拋物線上的動點到定點或定直線的距離之和（差）的最值問題，同學們能否小組合作，探究在其他的曲線上是否也有這種最值問題呢？

學生探究1：其他圓錐曲線上的動點到定點的距離之和（差）的最值.

教師請學生上臺展示探究結果，整理如下：

3 教學反思

在單元復習教學中，從某個小知識點切入，通過改變題目條件，暴露學生解題中的疑惑點和易錯點，尊重學生的認知規律，順應學生的思維，通過教師的引導逐步深入，學生參與變式探究，對題型不斷深入挖掘，追根溯源，促進學生深度學習能力，鞏固和創新教學方法，有助于減輕學生的解題負擔，激發學生的探究興趣.

（本文系廣州市教育研究院2021年度科研課題：基于核心素養的高中數學深度教學策略研究（課題編號：21BJXP2147）和廣州教育學會2022年度科研課題：基于核心素養的高中數學單元教學設計研究（課題編號：202215082）階段性成果.）