體會乘法運算本質的一致性

王加林

摘要：在小學數學總復習教學中，設計并實施《乘法運算總復習》一課，一步步地引導學生打通整數乘法、小數乘法、分數乘法算法上的關聯，體會乘法運算算理上的一致性，把握乘法運算的本質：計數單位與計數單位相乘得到新的計數單位，個數與個數相乘得到新的個數。具體教學環節有：復習舊知，梳理乘法運算的知識體系；明確算法，初步感受乘法運算的相通之處；分析算理，充分體會計數單位及其個數的關鍵作用；提煉本質，真正理解乘法運算的一致性。

關鍵詞：小學數學；總復習；乘法運算；一致性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）更強調“課程（教學）內容的結構化”。［1］對此，新課標特別提出，在小學數與代數領域的教學中，要引導學生感悟數的概念本質上的一致性，體會數的運算本質上的一致性。［2］為此，新課標強調了計數單位的概念。如：“通過數的認識和數的運算有機結合，感悟計數單位的意義，了解運算的一致性。”［3］“通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性。”［4］“在理解整數、小數、分數意義的同時，理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。”［5］

根據這樣的要求，筆者在小學數學總復習教學中，設計并實施了《乘法運算總復習》一課，一步步地引導學生打通整數乘法、小數乘法、分數乘法算法上的關聯，體會乘法運算算理上的一致性，把握乘法運算的本質：計數單位與計數單位相乘得到新的計數單位，個數與個數相乘得到新的個數。

一、復習舊知，梳理乘法運算的知識體系

師今天，我們要復習乘法運算。首先，請大家回憶一下：小學階段，我們學過哪些乘法運算？

（在學生回答的基礎上，梳理形成如圖1所示的板書。）

師（出示圖2—圖7）下面，請同學們看一下教材中的幾個情境與例題，想一想怎么列式，說一說算式的意義。

（學生依次回答問題。）

師整數乘法、小數乘法、分數乘法分別有什么意義？是怎樣計算的？

生整數乘法的意義是求幾個相同加數的和，如13×24就表示24個13或13個24相加，計算方法是：先用13乘24中的4，再用13乘24中的20，最后把兩次計算結果相加。

師小數和分數是整數的擴充，整數乘法的意義就是乘法的基本意義。這里需要注意：用13乘24中的4和20也分別是分為幾步的哦。

生（補充）先用13中的3乘4，再用13中的10乘4，最后把兩次計算結果相加……

生小數就是分母為10、100、1000……的分數，小數乘法的意義和分數乘法的意義一樣。小數乘法的計算方法和整數乘法差不多，不同之處在于：計算后數一數乘數中有幾位小數，就在積的末尾數出幾位，點上小數點。

生分數乘法的意義是求一個數的幾分之幾，計算方法是：分子乘分子，分母乘分母。

師分數乘法的意義可以這樣理解，但是沒有說到本質上，還沒說出與整數乘法意義的相通之處。這正是我們本節課要重點解決的問題。讓我們從三種乘法的算法開始探索。

乘法運算的有關知識幾乎貫穿于小學六年的數學學習中。因此，課始，筆者引導學生全面回顧小學階段乘法運算的有關知識，分整數乘法、分數乘法、小數乘法三類，梳理相應的知識體系。特別地，筆者利用學生熟悉的教材情境與例題，更好地喚醒與激活學生的記憶，引導學生回憶各種乘法運算的意義及算法，適度激發認知沖突，為后面探索乘法運算的一致性打好基礎。

二、明確算法，初步感受乘法運算的相通之處

師老師準備了幾組乘法運算的習題，我們來具體地看一看乘法是怎么運算的，它們有什么共同點。（出示三組算式，如圖8）你是怎么計算的？

生第一組的2×30，我是這樣計算的：先計算2×3＝6，再在得數后面添上１個“0”。20×30也是先計算2×3＝6，再在得數后面添上2個“0”。

生第二組的2×37可以看成21×37，積的分子是2×3＝6，分母是1×7＝7，得數是67。25×37的計算方法是一樣的，都是分子乘分子，分母乘分母，得數是635。

生第三組的2×03和02×03的計算方法一樣，都是先按整數乘法計算，再確定積的小數位數。

師同學們，三組算式的計算方法看起來并不相同，它們之間有沒有聯系呢？

生每個算式的計算都含有2×3＝6這一步。

在小學六年的數學學習中，學生積累了大量的運算經驗。尤其是算法，因為反復使用，所以掌握得比較牢固。由此出發，筆者設計三組關系密切的整數乘法、小數乘法、分數乘法算式，通過具體的算式，幫助學生明確算法。在此基礎上，筆者引導學生發現共同的計算步驟“2×3＝6”，初步感受各種乘法運算的相同之處，從而為后面分析算理，明白一致性的根源（運算的本質）做鋪墊。

三、分析算理，充分體會計數單位及其個數的關鍵作用

師為什么會這樣呢？我們嘗試用畫圖的方法分析背后的道理，即算理。你會畫圖表示2×30嗎？（出示圖9）誰來解釋一下？

生根據這幅圖，我們可以把一行10個小方格看成一個計數單位“十”，那么，30就是3個十，2×3＝6說明有6個十，也就是60。

師不錯。認識數，學習計數法（數的組成）時，我們就強調過，整數其實是由計數單位及其個數組成的。以此為基礎，這里的2×3＝6其實就是個數相乘得到新的個數。用完整的計算過程說明算理，就是2×30=（2×3）×10=60。那20×30呢？（出示圖10）誰來解釋？

生這里，我們把十行十列（10×10）100個小方格作為一個計數單位“百”，那么2行、3列，2×3=6，一共有6個百。用完整的計算過程說明算理，就是20×30=（2×3）×（10×10）=600。

師剛才的計數單位“十”是由計數法直接得到的，這里的計數單位“百”又是怎么得到的？為什么要得到這個新的計數單位？

生這里的“百”是由20的計數單位“十”和30的計數單位“十”相乘得到的。看方格圖可以發現，該式的計算結果用“十”作為計數單位來計數太麻煩了，用“百”作為計數單位更方便。

師如果是200×300呢？畫圖應該怎么表示？用完整的計算過程說明算理呢？

生200×300=（2×3）×（100×100）=60000。

師剛才，我們用畫圖的方法理解了2×30、20×30、200×300這些整數乘法的算理。那么，分數乘法的算理你會畫圖分析嗎？

生（展示畫法，如圖11）37的計數單位是17，37中有3個17，2×3=6說明有6個17。用完整的計算過程說明算理，就是2×37=（2×3）×17=67。

師那25×37呢？

生（展示畫法，如圖12）計算25×37，可以把25的計數單位15和37的計數單位17相乘，也就是“分母相乘”，得到135，作為結果的計數單位，也就是圖中的一小格；2×3=6即“分子相乘”，說明有6個135。用完整的計算過程說明算理，就是25×37=（2×3）×15×17=635。

師再來看小數乘法的算理。

生我們可以根據小數和分數的關系，把小數看作分數來理解算理。（展示畫法，如圖13）比如2×0.3，把0.3看作310。用完整的計算過程說明算理，就是2×0.3=（2×3）×0.1=0.6。

生（展示畫法，如圖14）同理，0.2×0.3=（2×3）×（0.1×0.1）=0.06。

相對而言，學生對算理比較生疏——除了新授課探索算法時需要理解算理，后續的具體計算中主要是在運用算法。而算理決定算法，是算法的本質，故探索乘法運算的一致性，主要是分析算理，回歸運算的基本意義，發現不同運算根本上的相通之處。因此，筆者借助方格圖，引導學生分析三組乘法算式算法背后的算理，尋找共同的計算步驟“2×3＝6”出現的根本原因。在多次探索算理的過程中，學生能夠體會到乘法運算其實就是計數（數方格），其關鍵就是數概念中的計數單位及其個數。此外值得一提的是，筆者在引導學生畫圖分析整數乘法算理的基礎上，有意識地讓學生自主畫圖分析分數乘法和小數乘法的算理——一來體現整數運算的基礎作用，二來培養學生的關聯遷移（舉一反三）能力。

四、提煉本質，真正理解乘法運算的一致性

師剛才，我們通過畫格子圖，理解了整數乘法、分數乘法和小數乘法的算理。現在，你有沒有進一步發現這三種乘法運算之間的共性呢？

（教師集中出示圖9—圖14和6個完整的計算過程。）

生我發現，6個式子中的2×3=6其實都是在算計數單位的個數，只不過6個式子算出的計數單位不一樣。

生我覺得，乘法運算的算理都可以理解成兩個乘數的計數單位相乘得到新的計數單位，計數單位的個數相乘得到新計數單位的個數。

生我覺得，乘法作為加法的簡便計算，其實也是在計數，只不過為了方便，我們會根據算式中的乘數來選擇合適的計數單位，然后用乘法來算計數單位的個數。

師同學們總結得非常好！乘法運算的本質就是計數，也就是計數單位的累加。乘法運算可以統一表達為：計數單位與計數單位相乘得到新的計數單位，個數與個數相乘得到新的個數。（稍停）復習到此，與以前相比，你對乘法運算有了什么新的理解？還有什么問題？

生我有個問題：上課開始有同學提到的13×24，怎么用今天學習的知識理解？

生我知道，可以利用數位分解和乘法對加法的分配律把13×24拆開來，也就是13×24=10×20+10×4+3×20+3×4。這樣，就能用今天學習的知識理解了。

在對具體乘法算式明確算法、分析算理的基礎上，筆者進一步引導學生比較歸納，提煉出乘法運算的本質，從而真正理解乘法運算的一致性。特別值得一提的是，最后兩位學生的問答很好地補充了筆者教學設計的不足，關注了多個計數單位累計的數（可以分解成幾個單一計數單位累計的數）的乘法，進一步豐富了乘法運算一致性的內涵。

參考文獻：

［1］ 趙鴻，趙瑞生.“內容結構化”，更好地實現“學生主體”——以“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”的教學改進為例［J］．教育研究與評論（小學教育教學），2022（12）：63.

［2］［3］［4］［5］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：18，22，25，85.