無字證明在數學教學中的應用*

劉倩雯 汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

無需語言的證明又稱無字證明(proof without words,簡稱PWW),本質上是一種數學語言,形式上是隱含數學命題或定理的證明的圖象或圖形,可能包含數學符號、記號、方程,但不附帶文字[1]．事實上,無字證明并非新概念,它擁有豐厚的歷史,可追溯到古希臘與古代中國時期[2],如 圖1是中國古代數學家劉徽(約220—約280)關于直角三角形內切圓半徑的無字證明的現代版演繹,圖中僅有圖形、符號與方程,卻隱含著關于直角三角形內切圓半徑的證明．

圖1 直角三角形內切圓半徑的無字證明

雖然無字證明能否被視為有效正式的證明方式一直備受爭議,但是有學者提出,無字證明在教學中是強大的工具,可以幫助任何水平的學生構造出證明[3]．以色列學者馬克(Marco)認為,無字證明是能夠喚起學習者數學行為的學習資源.馬克等學者圍繞“無字證明是否能夠促進中學生的證明建構”及“哪些設計原則能夠幫助無字證明促進學生的證明建構”兩個問題對144名10年級學優生進行了實證研究．研究發現,大多數學生都能夠成功發現無字證明的中心思想并基于此建構證明.同時該研究總結出五項關于無字證明的設計原則[4]．

本文認為,在高中數學教學中融入無字證明是富有意義的．首先,《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)要求著力發展學生數學核心素養[5],而無字證明憑借其形數結合、以形證數、隱含證明中心思想的特點為提升學生直觀想象、數學抽象與邏輯推理的核心素養提供了一種途徑,且已有研究表明,在中學課堂中實施無字證明活動能夠有效培養學生的推理能力[1,3,6-7]．其次,無字證明作為一種證明材料,需要學生在意義建構過程中對其感知到的空白添加信息,因此無字證明本身即為學生留白,而適當的空白可以刺激學生在證明構造中的數學參與[8],調動學生思維的主動性與積極性,讓學生基于自己的理解構建認知結構,幫助學生形成自己的認知策略,培養學生的創新能力[9]．此外,無字證明是有線索的留白,它暗含著中心思想的提示,故而在教學中融入無字證明可以在控制證明難度的同時培養學生的發散性思維,明確學生在課堂中主體地位的同時提高課堂的教學效率．

2 無字證明的設計

無字證明的現有素材極其豐富.一方面,目前已有的無字證明數量及種類眾多;另一方面,新的無字證明在持續不斷地涌現．但是,并非所有的無字證明都適合在教學中直接使用．部分無字證明為了幫助讀者快速地理解證明思路,盡可能地顯性化所有證明過程,故而給予過多的提示．此類無字證明雖然能夠降低讀者證明理解的難度,但若直接作為教學素材,便容易導致學生思考的機會較少,補白的空間不足．也有部分無字證明給予的線索過少或過雜,若不加以提示、修改,而直接將其作為課堂教學素材,則對學生的思維能力要求較高,且容易造成課堂教學效率不高的問題．數學教育家張奠宙指出,數學課堂教學的優劣,自然應該以學生是否能夠學好“數學”為依歸,教育手段必須為教學內容服務[10]．因此,為了更好地將無字證明融入教學,教師有必要對已有的無字證明進行重新改編、二次設計．已有研究在教學實驗中提出五項關于無字證明的設計原則[4],下文將以正余弦和角公式、均值不等式、數列求和為例具體闡述如何根據五項原則設計無字證明．圖2-圖4分別給出了各主題的一種無字證明．

圖2 正余弦和角公式的PWW 圖3 均值不等式的PWW

圖4 一種數列求和的PWW

2.1 中心思想的可發現性

為了增強證明的可行性,無字證明需要提供必要的、能夠體現中心思想的信息．事實上,無字證明本身便隱含著證明的基本思想,因此在不修改無字證明時,學生也能夠填補中心思想之白[4]．教師若需要對無字證明進行重新設計,則要注意保留學生能夠發現中心思想的信息,同時也要避免給予過多相關信息而剝奪學生自主探究、自主發現的機會．

正余弦和角公式無字證明的中心思想為,通過對直角三角形中直角邊的兩種不同表示方式來建立等式．為了體現中心思想,教師可以對直角三角形填充陰影,并對兩直角邊繪制箭頭與問號,以此幫助學生聚焦于此三角形思考直角邊的線段長度該如何表示,如圖5所示．由于該直角三角形的斜邊長為1,其中一銳角的大小為(α+β),學生容易表示出兩條直角邊的長度分別為sin(α+β)與cos(α+β)．結合待證命題,學生不難聯想到需要找出另一種表示直角邊的方式來建立等式．因此,相較于原無字證明(圖2),教師可以選擇抹去此提示,在圖5中不直接展示出直角邊的另一種表示方式,給學生留下中心思想之白,留出思考探究的空間．

圖5 重新設計的正余弦和角公式PWW 圖6 重新設計的均值不等式PWW

圖7 重新設計的一種數列求和PWW

2.2 條件已知與未知的可區分性

大多數無字證明并未區分不同類型的條件,如原正余弦和角公式的無字證明(圖2).對于不同類型的條件,包括:給定的條件如角α,β與線段長度為1,可以推導出的條件如矩形的寬為 cosαcosβ,以及因構造而產生的條件如過點作垂線段等,無字證明的原設計者都采用相同的方式將它們展現于圖2中．然而,中學生接觸的大多數幾何證明題,其配圖直接顯示的信息為給定條件,故而原始的無字證明很可能會給學生帶來困擾,即讓學生誤認為所有在圖中標出的信息都是給定條件．已有研究表明,在利用不同的作圖方式來區分不同類型的條件以后,學生容易產生更嚴格的證明[4]．因此,教師可以通過不同作圖方式來區分無字證明展現的條件．

在正余弦和角公式的無字證明(圖5)、均值不等式的無字證明(圖6)、數列求和的無字證明(圖7)中,教師可以用實線印刷體表示給定條件,虛線表示因構造而產生的條件,手寫體表示可以推導出的條件,以此促進學生正確理解條件．

2.3 構造的可視性

若不考慮圖形是如何產生的,則無法將結論推廣至一般,而當無字證明呈現更多構造信息時,學生更容易產生對圖形構造過程的思考[4]．大多數無字證明直接呈現出圖象的最終形式,這種方式雖然簡潔,但是卻容易讓讀者忽略對圖形存在性的思考,即這樣的圖形究竟如何被構造出來．

在均值不等式無字證明中,構造方式并不唯一,圖6展示了其中一種思路．首先,通過實線表示給定條件,即已知圓O與一條弦．再通過“虛線-點”線條表示構造過程,即過圓心作弦的垂線交弦于一點．而后,通過虛線表示因構造而產生的條件,即過弦上交點再作一條弦,弦兩段分別為x與y,再分別連接端點．

2.4 圖形性質的內隱性

已有的無字證明多會呈現并標記出圖形性質,包括已知性質或需要經歷推導而得的性質．由圖2可知,原始無字證明直接呈現出一些學生能夠發現的線段長度與角度,如sinβ,cosβ, cosαcosβ等,這將不利于培養學生“自發”的智慧[11]．且已有研究證實,當無字證明減少圖形性質的呈現時,學生在證明過程中會更容易產生疑問,從而促進自身構造子證明去填補空白、解決疑問[4]．因此,教師在重新設計無字證明時,可以考慮隱去學生能夠從圖中已給條件推導得出的信息,如圖5的線段長度與角度,同時,教師也可以考慮隱去學生能夠根據構造過程得到的結論,如圖6中的半弦長度．特別地,在對正余弦和角公式的無字證明進行修改時,因為圖5中已增加了確定直角頂點的過程,學生能夠從圖中的構造過程得到直角的結論,所以也同時隱去直角標記．總而言之,通過上述隱藏圖形的性質的設計,充分為學生留下圖形性質之白,促進學生發現并填補圖形性質之白,培養學生推理的核心素養．

2.5 包含人為痕跡

已有研究表明,抽象的、缺少人為痕跡的呈現方式會降低學生學習數學的興趣,而包含人為數學痕跡的圖更容易激發學生的數學參與[12]．因此,教師在圖5—圖7中增加了人的數學活動形式.具體而言,在對三個無字證明進行修改時,可以通過添加作圓的痕跡、手寫的角度、手寫的箭頭與問號等方式使無字證明顯得更為生動、自然、有趣,進而拉近無字證明與學生的距離．

3 基于無字證明的教學建議

當教師在課前完成對無字證明的二次設計后,如何在課堂中基于修改后的無字證明具體展開教學是值得我們思考的問題,本文結合已有文獻提出如下教學建議．

3.1 分組研討,組內補白

《課標》提出普通高中的培養目標包括使學生具有自主發展能力與溝通合作能力[5],傳統的講授式教學難以滿足上述要求.而當課堂采取分組研討的形式,圍繞無字證明讓學生以小組為單位主動思考、主動發現、主動討論、主動論證,便能夠在此過程中較自然地發展學生的自主探究與合作交流的意識與習慣．同時,無字證明對學生的個人要求較高,分組研討能夠幫助降低無字證明活動的難度,提高課堂的教學效率．

3.2 小組展示,分享論證

當學生完成組內補白后,教師可以讓小組上臺展示,分享論證結果．王建磐提出,在中小學生的數學學習中,有兩樣東西非常重要:一個是學會理性思維;另一個便是學會精確表達[13]．此環節能夠鍛煉學生的語言表達能力,同時能夠培養學生的數學自信,更能夠引導學生養成傾聽他人的習慣,由此發揮數學課堂的育人價值．當小組上臺展示后,教師還可以引導學生開展組內自評與組間互評,讓學生在相互交流、相互質疑、相互鼓勵的過程中樹立理性精神．更為重要的是讓學生真正成為課堂的主人,激發學生數學學習的樂趣,讓學生真正愛上數學學習．

3.3 教師點撥,二次補白

已有研究表明,學生能夠自主填補無字證明的中心思想之白、部分圖形性質之白與部分構造之白,但學生難以發現并填補一般化之白,即解釋基于這個特定圖形的證明是否可以得到一般性的結論證明[4]．對于學生在證明中忽略的空白,教師可以發揮引導作用,通過設問追問的形式讓學生意識到忽略的空白,激發學生對證明的再思考,再補白,最終形成嚴密完整的證明．通過“問題引領”,不僅能夠實現教師主導、學生主體的“雙主體”[14],還可以幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理的思考,并由“理性思維”逐步走向“理性精神”[15]．以正余弦和角公式為例,教師可以通過問題“在已給的無字證明中,正余弦和角公式是否對任意范圍的角度都成立?”引導學生發現一般化之白,再通過設問“由無字證明得到的正余弦和角公式能否推廣至任意角度?”,啟發學生思考并與學生共同填補一般化之白．此外,當學生在論證過程中產生科學性錯誤或遇到困難時,教師應及時指出并糾正,進行適度的干預,避免產生“留白”變“白留”的問題．同時教師也要注意及時評價,恰當理答,培養學生提出問題的積極性,幫助學生真正做到“敢問、愛問、會問”[14]．

4 結語

在如今人工智能技術高速發展的背景下,學生不僅要掌握知識,更要學會如何學習、如何思考、如何創新.教師在課堂上充分留白,可以為學生提供思考創造的時間與空間,因此開展留白式教學是極其必要的．本文介紹的無字證明是一種特殊的留白形式,是留有線索的白,是聚焦的留白．而基于無字證明的留白教學本質上即是學生根據無字證明提供的線索自主探究,教師引導學生不斷補白的過程．當然,實施基于無字證明的留白教學需要一定的條件．

首先,教師需要學習無字證明,具體包括了解無字證明的含義,尋找并積累適合中學階段教學的無字證明．其次,教師需要將無字證明轉化為教學材料,例如,可以利用本文所述的五項原則對無字證明進行修改再設計,使之成為適合課堂教學的有效工具．同時,教師需要不斷提升專業技能,在留白課堂中,學生開放性的思考結果需要教師及時給予正確的反饋與評價,因此留白式教學對教師的專業能力要求較高．此外,教師需要塑造留白教學的信念,“滿堂灌、一言堂”“刷題式”教學可能在短期內能使學生成績提升,但長遠來看,其不利于學生的全面性發展．學生的潛能是無限的,學生的智慧也是無窮的,教師要敢于在課堂上留白,善于在課堂上留白,為學生創造補白的機會,讓學生在補白過程中發散思維,創新創造,樹立自信,激發興趣．