“雙減”背景下關注學生數學思維發展的練習設計

摘 要 練習作為小學數學教學有機體的一個重要組成部分，無論是新課教學還是復習教學都離不開一定數量和高質量的課堂練習。“雙減”背景下，我們有必要在教學中編制高效的數學練習，培養學生學習數學的興趣和數學情感，培養學生靈活地解決問題的能力和綜合運用知識的能力，發展數學思維能力。

關鍵詞 數學練習 思維發展 習題設計 說理思辨

作者簡介：林祎珣（1985— ），福建廈門人，廈門市集美區后溪中心小學一級教師，碩士研究生，研究方向：主要從事小學數學教育。

基金項目：本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“指向深度學習的小學生數學說題實踐研究”（立項批準號：FJJKXB20-848）的階段性研究成果。

2021年7月，國家出臺“雙減”政策，旨在減少學生作業負擔，提高學習質量。根據數學學科的特點，適當的數學練習是數學學習過程的重要組成部分。學生通過練習可以促進新知識的掌握，養成良好的作答習慣，鍛煉思維能力，提升數學學科素養。因此，數學練習的設計要有利于學生的發展，我們需要從學生的實際生活中挖掘素材，精心地設計每一次練習，讓數學練習豐富起來、活起來、生動有趣起來、開放起來、生活起來。教師要結合教學實際，設計貼近生活、富于思考的數學練習，讓學生在做數學課堂練習的過程中發展數學思維，感受到數學魅力[1]20。

一、“過程”練習，培養學生的推理能力

邏輯推理能力是數學思維能力的核心，簡單的數學結論的應用難以發展學生的邏輯推理能力。隨著課改的深入，學生的數學學習過程成為大家關注的焦點，新課程標準更是提倡“在書面檢測中，積極探索可以考查學生學習過程的試題”[1]23。何以如此重視學習過程呢？一方面，學習過程與學習結果存在必然的因果關系，學習過程決定學習結果；另一方面，學生的數學思維是在學習過程中發展的，數學情感是在學習過程中培養的。所以，教師要設計體現“過程性”的練習，落實“過程”目標。

（一）不問“結論是什么”而問“過程是什么”

習題1：小朋友們在探究三角形的面積計算公式時，想到了以下幾種方法。

（1）你覺得哪些小朋友的方法是能推導出三角形面積公式的？在名字旁邊的括號里畫“P”。

（2）在你認為正確的方法中，你最喜歡誰的推導方法？請你把這種推導過程寫清楚。

習題2：冰墩計劃5周跑步22.5千米，他平均每周跑多少千米？在計算“22.5 ÷ 5”時，甲、乙、丙三位同學運用了三種不同的方法，計算過程正確的有（? ? ）。

傳統的《三角形面積》新授課的課堂練習經常是讓學生熟記公式，然后在已知底和高的條件下求圖形面積，只需套用三角形的面積公式。而計算課的教學，也往往是教學豎式計算方法后讓學生重復機械的練習。以上兩道課堂練習題一改常態，不再只關注學習結果，更注重學生學習過程的體驗以及邏輯思維的培養。第一道習題中的四位小朋友的方法都能推導出三角形的面積公式，這樣的設計讓學生分析三角形面積的不同推導方法，在解答中自覺尋找原來三角形與拼成的圖形之間的各部分等量關系，深入體會三角形面積公式的推導過程，更能引導學生探尋公式推導的本質，感悟面積公式推導中的轉化思想。第二道題三種方法也都正確，甲同學借助計量單位的換算把小數除法轉化成了整數除法進行計算，乙、丙同學則是運用了“商的變化規律”，但兩位同學所使用的規律又有所差別，需要學生詳細辨析，而四個選項的設計正好可以暴露出學生的知識薄弱點，讓學生在糾錯中反思，在反思中成長，豐富數學的過程性學習。

（二）不問“列式是什么”而問“思路是什么”

習題1：媽媽買來9根10 m長的紅繩做中國結，做一個中國結要用1.8 m的紅繩。這些紅繩最多能做多少個這樣的中國結？（為了美觀，做中國結時紅繩不拼接）

亮亮的想法：10 × 9 ÷ 1.8 = 50（個）? ? ? ? ? 晶晶的想法：10 ÷ 1.8 ≈ 5.56（個）? ?5 × 9 = 45（個）

你認為誰的想法正確？請說明你的理由。

習題2：陽光小鎮滴滴車收費標準是：3千米以內13元；超過3千米的部分每千米2.5元，不足1千米按照1千米計算。林阿姨打車，行駛里程是7.8千米，應付多少元？

小雪的想法：13 + 2.5 ×（8-3）? ? ? ? ? ? ?小冰的想法：2.5 ×8 +（13-2.5×3）

你認為誰的想法正確？請說明你的理由。

此類問題的完成需要學生先觀察兩位同學的解答步驟，先求什么再求什么，找到不同列式中隱藏著的思考的“序”，厘清不同的解題思路，再判斷每一種解答過程的合理或者不合理之處。這樣的習題設計能有效考查出學生是否具備自主學習的意識和能力，較之“多少個”、“多少元”的問題更能引導學生主動學習、全面思考，既能防止學生只關注“列算式”和“蒙答案”的行為，又很好地關注了在問題解決過程中學生對得出結果的思維過程的考查，從只重列出算式得出結果轉向同時注重解題思路的分析、思想方法的感悟和自主學習能力的培養。

二、“變式”練習，培養學生的發散思維能力

思維是智力的核心，思維能力的培養對學生當前的學習和未來的發展均有重要的意義[2]。數學的課堂練習中，如果只是靜止地、孤立地解答一個題目，那么即使題目再好，充其量也只不過是解決了一個問題而已。而如果對其加以研究，通過一題多變，克服思維定式的影響，不局限于某一方面的思考，就有利于拓展學生的解題思路，培養學生思維的靈活性和深刻性，增強其應變能力，發散學生的思維。

（一）改變表達方式，變中不變

習題：一個圓柱體的體積是48立方厘米，與它等底等高的圓錐體的體積是（? ? ? ）立方厘米。

（根據等底等高的圓柱與圓錐之間的關系，學生很快就可以算出圓錐的體積是16立方厘米。）

變式題1：一個圓柱體的體積是48立方厘米，從這個圓柱體中切割出一個最大的圓錐體，這個圓錐體的體積是（? ? ?）立方厘米。

變式題2：切割完成后，剩下部分的體積是（? ? ?）立方厘米。

這是筆者在教學小學數學六年級《圓柱與圓錐的體積》時使用的一道課堂練習題，“圓柱中切割出的最大圓錐與這個圓柱等底等高”對于小學生來說不容易理解，以第一小題為鋪墊，通過這樣層層遞進的3道練習，變中有不變，加深了學生對等底等高圓柱與圓錐之間關系的理解，同時培養學生的觀察能力、辨析能力，提高學生思維的靈活性和廣闊性。

（二）改變提問對象，不變中變

習題：某基地派甲、乙兩架直升機去某山區執行搶救任務，基地與該山區的飛行距離是1200千米。甲直升機和乙直升機同時飛往該山區，甲直升機比乙直升機早1小時到達。甲直升機的速度是400千米/時，乙直升機的速度是多少？

變式題1：某基地派甲、乙兩架直升機去某山區執行搶救任務。速度為400千米/時的甲直升機和速度為300千米/時的乙直升機同時飛往該山區。甲直升機比乙直升機早1小時到達。基地與該山區的飛行距離是多少千米？

變式題2：某基地派甲、乙兩架直升機去某山區執行搶救任務，基地與該山區的飛行距離是1200千米。速度為400千米/時的甲直升機和速度為300千米/時的乙直升機同時飛往該山區。經過多長時間后兩機相距300千米？

本組習題雖然對調了題目中的已知條件和問題，但是題目中所隱含的等量關系沒變，只要學生能夠抓住這一點，便可以以不變應萬變。面對當前大題量的考試和較多的練習資料，選準例題，采用一題多變方法讓學生練習，并總結解題特征、解題方法，不但能夠幫助學生鞏固有關的基本概念，掌握各種題型的解題方法和技巧，而且能幫助學生把平時所學的知識進行歸納整理，學會同中求異、異中求同，有助于培養學生抽象概括能力，完成由例及類的學習，大大簡化了學習環節，真正實現減負提質。

三、“操作”練習，培養學生的思維實踐應用能力

知識的綜合對提高學生的綜合素質和解決實際問題的能力有很大幫助。知識的相互穿插、相互利用可以拓寬知識的范圍，發揮知識的遷移作用[2]，而數學的實踐活動能夠把抽象的綜合知識具體化，把數學知識和具體的切身體驗聯系在一起。

習題1：右圖是一個幾何體從上面看到的圖形，圖形上的數字表示這個位置上所用小正方體的個數。

（1）這個幾何體是由多少個小正方體搭成的？

（2）取走哪個小正方體后，從正面、上面、左面看到的圖形仍然保持不變？

習題2：聰聰為了測量一塊不規則石頭的體積，按如下步驟進行實驗：

（1）拿一個長方體的玻璃缸，從里面量長10 cm，寬6 cm，高8 cm。（2）倒入一部分水，水高度6 cm。

（3）放入石頭并完全浸沒水中，水溢出120 mL。（4）取出石塊后，水位下降3.5 cm。

根據以上信息，你能用兩種方法算出這塊石頭的體積嗎？

以上兩道習題均屬于“圖形與幾何”模塊，小學數學“圖形與幾何”的教學非常關注學生空間想象能力的培養。這兩道練習題對于空間想象能力還比較薄弱的小學生而言是有一定難度的，故而脫離實踐而一味強調空間想象能力的培養和鍛煉是比較不科學的，所以習題1中應該讓孩子們先根據題目所給俯視圖拼出對應的幾何體，給予充分的自由時空讓學生動手、動腦、動情地拼擺，完成知識的自我建構[3]。

針對習題2，讓孩子們拿一塊石頭在盛水的長方體玻璃缸中進行操作，可以促進他們對題目的理解，降低解題的難度。待練習完成后，還可以進一步鼓勵學生尋找各種各樣自己喜歡的玩具，比如瓷器玩偶、機器人、跳跳球等，放到盛滿水的長方體或正方體容器中，根據水面上升或者下降的高度來計算不規則物體的體積，讓學生在“玩”的過程中充分體會不破壞玩具就可以測出體積的轉化思想和數學智慧。筆者在這道練習中，給了孩子們充分的時間“自由發揮”，孩子們不僅掌握了兩種解決問題的方法，而且還有額外的收獲——并不是所有的物體都能夠沉入水中，比如乒乓球，它浮在水面上怎么辦呢？這一問題的提出和解決，不僅加深了學生對知識的理解，更促使學生獲得運用數學知識解決問題的思維方式，從而實現在觀察操作中發展空間想象能力。

四、“說理”練習，培養學生的思辨能力

思辨能力是什么？簡而言之，就是思考、分析、辨別的能力，具體指的是以獲取的信息為基礎，對問題進行仔細的推敲、透徹的分析、客觀的評測，最終形成解決問題的綜合能力。打個比方，小時候父母教育我們要誠實守信，卻不會告訴我們遇到危險的時候可以“不誠實”。許多結論都是有適用范圍的，考慮適用范圍的問題就是一種思辨的問題。思辨能力決定一個人的發展潛力。那么，如何通過數學的練習培養學生的思辨能力呢？我們以下面兩道說理題為例。

習題1：教練要從兩名運動員中挑選一名參加跳繩比賽，以下是這兩名運動員一分鐘的跳繩次數。

（1）如果你是教練，選誰去參加比賽呢？請說明理由。

（2）如果對手的平均成績是136下/分，該選誰？請說明理由。

（3）如果對手的平均成績是140下/分，該選誰？請說明理由。

習題2：“共享單車，綠色出行”，現如今騎共享單車出行不但成為一種時尚，也成為共享經濟的一種新形態。樂樂在“五一”假期的5月1—3日的上午分別調查了一些騎共享單車出行的市民：5月1日用了[4/3]小時調查了50人，選擇騎A品牌共享單車的有9人；5月2日用了[6/5]小時調查了45人，選擇騎A品牌共享單車的有10人；5月3日用了[7/6]小時調查了63人，選擇騎A品牌共享單車的有11人。

（1）樂樂在這3天中，哪一天調查用的時間最少？（請寫出比較過程）

（2）根據樂樂收集到的數據，比較一下，這三天A品牌共享單車被市民選擇的情況哪一天最好？哪一天最差？請說明理由。

什么樣的數學練習能夠幫助學生獲得真正的能力提升？是源自于學生生活的充滿挑戰性和思辨性的問題。“來源于生活”的信息學生容易理解，喚醒已知，才能有更多的未知被開啟。“思辨性的問題”易于激發起學生的作答興趣，引發學生主動思考，不斷探索。我們編制的習題要做到能引起學生的好奇心，習題1中的問題“你是教練，選誰去參加比賽呢？”就能點燃學生的好奇心，“如果對手……該選誰？”使學生重新審視原有的認知，開啟嶄新的思考。

習題2取材于生活中的共享單車，以共享經濟為背景設置了兩個問題，第一問是分子分母相差1的3個假分數的比較，比較的方法有很多，學生只要能夠自圓其說，“比”的過程有理就行。第二問具有一定的迷惑性和思辨性，“選擇A品牌的情況”中的“情況”不能簡單地理解為具體的數量。如果是具體的數量，那么調查的時間和人數選擇A的越多，數量可能就越多了。這時候需要學生仔細地推敲、透徹地分析，才能領會到這里的“情況”是指選擇A品牌的人數占總人數的幾分之幾。好的問題總是帶有啟發性。做這樣的習題時，我們可以組織學生進行課堂辯論，讓學生通過說理、傾聽、辯論，不斷地思考，啟發智慧，發現知識真理之所在。

總之，數學練習的使用是一門科學，充滿著藝術性。教師一定要精心編制數學練習，才能夠有效促進小學數學教學，打開學生心靈的窗扉，讓學生的思維能力得到發展，綜合能力得到全面提高，在掌握數學基礎知識，靈活運用基礎知識分析問題、解決問題的同時，領略到數學與其他學科不同的精彩。

[參 考 文 獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]陳彩治.建構小學生數學解題模型的策略研究[J].數學教學通訊，2021：61-62.

[3]陳鈺婷.小學數學“圖形與幾何”小組合作學習現狀與對策研究：以第二學段為例[D].揚州：揚州大學，2021：11.

[4]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學出版社，1984：35.

（責任編輯：楊紅波）