基于“數(shù)形結(jié)合”思想的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的探索

江露露

【摘要】如何讓小學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律，“數(shù)形結(jié)合”就是他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的支架。文章通過(guò)“以形助學(xué)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”的方法，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；“數(shù)形結(jié)合”；深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)，已經(jīng)成為課堂教學(xué)改革的主流。深度學(xué)習(xí)不但要求學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，知道是什么和為什么。然而，在教學(xué)實(shí)踐中，許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)只是求于表面，實(shí)際上并不知道概念的本質(zhì)屬性和公式、法則的來(lái)龍去脈。那么如何在有限的時(shí)間內(nèi)，讓小學(xué)生的學(xué)習(xí)更有意義呢？筆者近幾年的教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想不僅可以幫助學(xué)生形象理解，更能促進(jìn)學(xué)生思維的提升。

一、“以形助學(xué)”，讓學(xué)生深刻理解知識(shí)內(nèi)涵

在教學(xué)“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中，筆者嘗試?yán)谩皵?shù)形結(jié)合”的方法來(lái)解釋算理。此課作為小數(shù)除法的開(kāi)端課，在整個(gè)單元中有著重要的意義。對(duì)于“5.34÷3”該怎么計(jì)算，教材中通過(guò)單位轉(zhuǎn)化和小數(shù)的組成這兩種方法，將被除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，最后呈現(xiàn)豎式解法。在豎式中，學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方便是商的小數(shù)點(diǎn)的定位問(wèn)題。對(duì)此，筆者在兩個(gè)班級(jí)分別用了兩種不同的教學(xué)方式，第一個(gè)班根據(jù)教材編排進(jìn)行教學(xué)并設(shè)計(jì)了如下作業(yè)：

你能解釋一下為什么商是1.78，而不是178呢？

在這份作業(yè)中，66.7%的學(xué)生知道豎式中的“3”“21”和“24”表示的含義，46.7%的學(xué)生結(jié)合之前學(xué)習(xí)過(guò)的小數(shù)的意義和單位轉(zhuǎn)化來(lái)解釋小數(shù)除法中“商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”這一道理，17.8%的學(xué)生通過(guò)估算給出了解釋。但讓人感到困惑的是，班級(jí)中還有約三分之一的學(xué)生知其然，但不知其所以然。

為此，筆者通過(guò)對(duì)教材中的例題進(jìn)行適當(dāng)改編和補(bǔ)充，在另一個(gè)班級(jí)進(jìn)行了另一種教學(xué)方式：

1.出示情境：小胖、小巧、小丁丁想每人做一個(gè)手工送給小亞，現(xiàn)在一起買(mǎi)了一包5.34元的彩紙。如果3人平均攤（AA制），平均每人需要付多少元？

2.結(jié)合已有知識(shí)解決5.34÷3=（? ）。

（1）估算。

（2）小組討論：5.34÷3=（? ）。

（3）小組反饋。方法一：?jiǎn)挝晦D(zhuǎn)換；方法二：小數(shù)的組成；方法三：534÷3÷100。

（4）用小數(shù)的組成（方法二）試一試：完成課本P18。

①12.8÷8=（? ）。

12.8是（? ）個(gè)0.1，（? ）÷8=（? ），（? ）個(gè)0.1是（? ）。

②8.54÷7=（? ）。

（? ）是（? ）個(gè)（? ），（? ）÷（? ）=（? ），（? ）個(gè)（? ）是（? ）。

（5）說(shuō)一說(shuō)這些方法的共同點(diǎn)：都是將小數(shù)除法轉(zhuǎn)換成整數(shù)除法。

3.嘗試豎式計(jì)算并交流反饋：使用除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法算理。

4.小結(jié)歸納除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法。

在理解豎式算理時(shí)，媒體動(dòng)態(tài)演示將5個(gè)1、3個(gè)0.1、4個(gè)0.01平均分成3份（圖1）的畫(huà)面。首先，將3個(gè)1平均分成3份，每份即1個(gè)1。接著，將剩下的2個(gè)1轉(zhuǎn)換成20個(gè)0.1，與之前的3個(gè)0.1組合，即將23個(gè)0.1再次平均分成3份，每份是7個(gè)0.1。然后，將剩下的2個(gè)0.1轉(zhuǎn)換成20個(gè)0.01，并與4個(gè)0.01合并成24個(gè)0.01，每份又分得8個(gè)0.01。在具體情境中進(jìn)行了三次動(dòng)態(tài)的“分與合”，有效實(shí)現(xiàn)了豎式的意義建構(gòu)。

在這一學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生結(jié)合圖形的演示去理解小數(shù)除法的計(jì)算過(guò)程，理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式計(jì)算的關(guān)鍵。第一，當(dāng)整數(shù)部分有剩余時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)換為以0.1為計(jì)數(shù)單位的數(shù)，并將其與十分位上的數(shù)合并成幾個(gè)0.1，以此類推。第二，理解轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法本質(zhì)上就是將其轉(zhuǎn)換成整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算。第三，在圖形“分與合”的過(guò)程中，構(gòu)建了豎式與圖形之間的關(guān)聯(lián)，理解商的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字表示的含義，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的道理。

由此可見(jiàn)，“以形助學(xué)”能夠把看不見(jiàn)、摸不著的思維過(guò)程以畫(huà)面的形式呈現(xiàn)出來(lái)，不但能幫助學(xué)生深刻理解，更能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生興趣，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

二、“以數(shù)解形”，讓學(xué)生深度參與知識(shí)形成過(guò)程

“以數(shù)解形”主要借助于“數(shù)”的精確性、程序性和可操作性來(lái)闡明“形”的屬性及用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題等。

如在三年級(jí)第一學(xué)期“三角形分類”的教學(xué)中，出示以下6組小棒，哪一組的小棒可以圍成三角形？

（1）3cm、4cm、5cm（2）3cm、6cm、9cm

（3）5cm、5cm、5cm（4）4cm、4cm、9cm

（5）4cm、5cm、7cm（6）3cm、3cm、2cm

學(xué)生圍繞核心問(wèn)題：“怎樣的三根小棒才能圍成三角形”展開(kāi)活動(dòng)。在拼擺和觀察的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)能圍成三角形的只有第（1）、第（3）、第（5）組。另外三組，因?yàn)槟骋桓“糸L(zhǎng)度較短，所以不具備圍成三角形的條件。接著，引發(fā)了學(xué)生的猜想和思考“只有在每組中任意兩根小棒的長(zhǎng)度和大于第三根小棒長(zhǎng)度的前提下，才能圍成三角形”。為了驗(yàn)證猜想，學(xué)生再次聚焦這些數(shù)據(jù)，隨后例舉更多的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，最終歸納發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)。將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹皵?shù)”作為理論的有利支撐，為了讓論點(diǎn)更有說(shuō)服力，學(xué)生再次反向驗(yàn)證了另外三組不能圍成三角形的數(shù)據(jù)。最終得出結(jié)論：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。在拼擺、觀察、猜想、探究、驗(yàn)證的過(guò)程，用數(shù)發(fā)現(xiàn)三角形三邊之間的特殊關(guān)系，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、“數(shù)形互助”，讓學(xué)生自然分解難點(diǎn)

由于教師在教學(xué)時(shí)沒(méi)有凸顯“乘法分配律”與其他運(yùn)算定律的本質(zhì)性區(qū)別，導(dǎo)致學(xué)生越學(xué)越糊涂。筆者也在設(shè)想，能否借助學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試解釋其中的道理。基于以上思考，在教學(xué)本課時(shí)，以教材中的例題為背景，設(shè)計(jì)如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

出示例題1：植樹(shù)節(jié)到了，果園里要種一些蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)，每行種6棵，蘋(píng)果樹(shù)種了3行，梨樹(shù)種了2行，為了讓小朋友看得更清楚，老師將這些樹(shù)用點(diǎn)子圖來(lái)表示。請(qǐng)問(wèn)蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)一共有多少棵？如何列示？

1.通過(guò)點(diǎn)子圖驗(yàn)證

（媒體呈現(xiàn)樹(shù)圖—點(diǎn)子圖）

（1）展示方法。

方法一：（3+2）×6? 方法二：3×6+2×6

=5×6? ? ? ? ? ? ? =18+12

=30（棵）? ? ? ? ? =30（棵）

（2）交流反饋。生1：先算出有一共有3+2=5行，再乘6得到總棵樹(shù)。也可以分別計(jì)算蘋(píng)果和梨的棵樹(shù)，3×6是蘋(píng)果樹(shù)的數(shù)量，2×6是梨樹(shù)的數(shù)量，最后把它們合并起來(lái)得出總棵樹(shù)。生2：如果把一棵果樹(shù)想象成一個(gè)點(diǎn)，那么從點(diǎn)子圖上看到，每一行有6個(gè)圓，一共有這樣的5行，所以一共有5個(gè)6。第二個(gè)算式則是分開(kāi)計(jì)算的，紅圓有3個(gè)6，黃圓有2個(gè)6，3個(gè)6加2個(gè)6也就是5個(gè)6。

（3）小結(jié)歸納：借助點(diǎn)子圖，從幾個(gè)幾加幾個(gè)幾等于幾個(gè)幾的角度去分析，也能說(shuō)明兩種方法解決問(wèn)題都是正確的。

2.通過(guò)面積圖驗(yàn)證

出示例2：我校的花園是一個(gè)長(zhǎng)方形，原來(lái)長(zhǎng)6米，寬3米，擴(kuò)建后，長(zhǎng)不變，寬將增加2米，擴(kuò)建后的花園面積有多大？你能用兩種方法解答嗎？

（1）交流。生：（3+2）×6=6×3+6×2。

（2）思考：這兩個(gè)算式結(jié)果相等嗎，為什么？生：第一種算法，先求現(xiàn)在的寬，再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式求出擴(kuò)建后的花園面積。第二種分別求出原來(lái)花園的面積和增加部分的面積，最后求兩者之和，合并起來(lái)也是大長(zhǎng)方形的面積。

（3）追問(wèn)：如果將（3+2）×6這一算式進(jìn)行展開(kāi)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（4）結(jié)合媒體在方格圖上演示。

生1：（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）。

生2：（3+3+3+3+3+3）+（2+2+2+2+2+2）。

生3：6個(gè)3連加就是6×3，6個(gè)2連加也就是6×2。

（5）歸納小結(jié)：乘法分配律的特征以及字母表達(dá)式。

首先，通過(guò)具體的情境，從實(shí)物圖逐漸抽象成點(diǎn)子圖（圖2），讓“形”對(duì)“數(shù)”的實(shí)際意義給予了合理的解釋，為后續(xù)建立乘法分配律模型埋下伏筆。其次，通過(guò)面積圖讓學(xué)生在腦海中初步感受了乘法分配律的特點(diǎn)，并順勢(shì)將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬改為字母（圖3）。最后，再次回到乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，將面積圖與乘法意義建立聯(lián)系，感受乘法分配律的內(nèi)涵。在這一教學(xué)過(guò)程中，筆者利用幾何模型和數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)乘法分配律的特點(diǎn)，難點(diǎn)自然化解。

四、“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法

在幾何教學(xué)中，如何讓抽象的題干變得具體，這就需要學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”，利用直觀的圖示幫助其獲得學(xué)習(xí)的路徑，找到解決問(wèn)題的方法。學(xué)生在審題的過(guò)程中，逐步根據(jù)題目的信息畫(huà)出具體的圖示，讓復(fù)雜繁瑣的題目變成一幅清晰、簡(jiǎn)單的“圖示說(shuō)明書(shū)”，也讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有趣、更直觀。

例如五年級(jí)第二學(xué)期“體積與容積” 中有這樣一題：有一個(gè)長(zhǎng)12.5cm，寬10cm，高8cm的長(zhǎng)方體水缸，原來(lái)水面高度為6cm，放入一個(gè)棱長(zhǎng)為5cm的鐵塊后，現(xiàn)在水面高度是多少厘米？

兩位學(xué)生在草稿上給出了不同的圖示：

本題主要考察的是學(xué)生對(duì)于體積與容積的掌握情況，對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有一定難度。第一位同學(xué)是班上一位學(xué)習(xí)能力中等的孩子，對(duì)于此類較復(fù)雜的幾何題，她沒(méi)有直接寫(xiě)算式，而是在草稿上（圖4）分別畫(huà)了鐵塊進(jìn)入水缸前后的草圖。此同學(xué)根據(jù)所畫(huà)的兩幅圖，先算出了水缸中原有水的體積，再算出加入鐵塊后，水缸中物體的總體積，最后求得現(xiàn)在水的高度。第二位學(xué)生的草稿（圖5）與第一位同學(xué)不同的是，該學(xué)生只畫(huà)了一幅示意圖。在計(jì)算時(shí)，也并沒(méi)有算出水缸中現(xiàn)有物體的總體積，而是只求出了鐵塊的體積（水缸中物體增加的體積），最后根據(jù)體積公式，得出了水面上升的高度。

可以看到兩位同學(xué)雖然解題方法不同，但都是借助幾何圖形的直觀性，在頭腦中形成有關(guān)體積和容積的表象，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)換為形象的圖形表征，以“數(shù)形結(jié)合”的方式找到了學(xué)習(xí)路徑，從而作出準(zhǔn)確判斷。

相信教師在日常教學(xué)中經(jīng)常合理使用“數(shù)形結(jié)合”，孩子們會(huì)潛移默化地感受到“數(shù)形結(jié)合”的魅力，自覺(jué)地應(yīng)用到自己解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)習(xí)的主體性、能動(dòng)性、獨(dú)立性會(huì)不斷生成、發(fā)展和提升，實(shí)現(xiàn)主動(dòng)的深度學(xué)習(xí)。

總之，深度學(xué)習(xí)是一種浸潤(rùn)體驗(yàn)、建構(gòu)知識(shí)、反思消化的學(xué)習(xí)過(guò)程。在深度學(xué)習(xí)中，教師首先要轉(zhuǎn)變自己的教學(xué)觀念和教學(xué)行為，抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，把握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)合理的“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)內(nèi)容，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。只有師生的傾情投入，深度學(xué)習(xí)才能真正發(fā)生。

【參考文獻(xiàn)】

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