初中數學滲透數形結合思想的策略

林勛

【摘? 要】數形結合思想遵循“數”與“形”相輔相成的原則，實現了抽象問題的具體化、復雜問題的簡單化，能夠切實幫助學生解決幾何圖形、函數方程、等式、代數式等方面的難點問題，訓練學生的抽象思維與實用技能。基于此，本文從“以形變數”“以數化形”“數形互變”三方面系統論述了數形結合思想在初中數學課堂中的滲透與應用策略，以期鍛煉學生的邏輯思維能力。

【關鍵詞】初中數學；數形結合；策略

數形結合思想滲透進課堂教學的本質在于融入學生頭腦中的知識組群，使其能夠在理解的基礎上靈活運用它解決數學問題。就學情而言，數形結合的思想存在眾多立足點，可以靈活切入數學課題，啟迪學生思維，從而提升學生的解題效率。因此，教師需要真正將“數”與“形”的概念引入教學點滴之中，塑造靈活的思維方式，繼而循序漸進地提升學生的數學核心素養。

一、以形變數，化繁為簡

“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”作為貫穿初中數學教學的一大思想，數形結合將“數”與“形”融為一體，形成了不可分割的內在聯系。通常而言，教師要想將數形結合思想深刻融入教學，就要尋找“數”與“形”相互銜接的切入點，從而實現思想的有效過渡。在實際教學過程中的數形結合點主要有以下兩種。

（一）用數值量化圖形

利用簡單數值量化幾何圖形是數形結合思想的典型體現，適用于較為基礎的幾何運算以及應用類問題，在學習八年級上冊關于三角形、軸對稱等知識的過程中，學生會遇到大量解析幾何的問題，如果熟練運用數值量化幾何圖形，并結合三角形的基本特性、特殊三角形的性質進行分析，可以使抽象的問題更加直觀化、具體化，提高學生解答問題的效率。以下題為例：

在正△ABC 的三邊 AB、BC、CA 上分別有點 D、E、F。若 DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB 同時成立，求點D在 AB 上的位置。

在審題的過程中，教師應有意識地指導學生自覺將文字內容轉化為具體的幾何圖形，以便提供直觀化的解題參考，培養學生良好的解題習慣。從整體上看，雖然這一題目并未明確指出正△ABC中各邊各角的量化關系，但最終卻要求學生指出“點D在 AB 上的位置”，即“線段AD與線段AB的量化關系”。由此可見，該題著重于考查學生對“數形結合”思想的掌握與運用情況。在講解該題目的具體過程中，教師一方面要循序漸進地引導學生發現“以形變數”思想的立足點，另一方面還要啟發學生利用已知的幾何條件建立起數量關系，從而真正實現“數”與“形”的結合。本題中，“正△ABC”意味著其三邊長度相等、三個內角度數均為60°，而題目中提供的三個垂直條件恰好將正△ABC分割成了三個直角三角形與一個小等邊三角形的復合圖形。在此基礎上，教師可以啟發學生將圖形中相關的線段設未知數，利用上述角度、長度等條件就可以慢慢推理出線段AD與線段AB之間的數量關系，得到準確的答案。如“根據直角三角形的特點和定義，‘30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可以假設線段BE的邊長是x，則線段BD的長度為2x。在經過三角形全等證明之后，可知AD=BE=CF，最后可得AD=x=1/3AB”。

（二）用幾何量化圖形

相比于數值，幾何量在呈現方式上更委婉含蓄，更傾向于考查學生對隱性條件的轉化與理解能力。在缺乏具體數據支撐、幾何量復雜多樣的解析幾何題目中，學生往往會因題目條件的冗雜而生畏，降低了原有的學習效能感。但事實上，面積、距離、角度等幾何量與分數、整數等數值并無本質上的差別，教師應幫助學生打破心理屏障，正確認識幾何量的本質，從而高效解答幾何難題。在學習九年級三角函數的相關內容時，學生通常會遇到“特殊角的三角函數”問題。例如，在一個直角三角形ABC當中，∠B為90°，AB邊的長為6，BC邊的長為2，要求出∠A的度數。在題目提供圖形信息的條件下，教師可以組織學生將題目所提供的數值信息標注在圖形對應的位置，從而形成直觀清晰的感官體驗。接著，教師應進一步啟發學生尋找解答該題的思路，并認真回想有關30°、45°、60°等特殊角的三角函數值，明確角度和邊長等各個幾何量之間的關系。最后，將圖形條件轉化為三角函數的計算公式，通過代數計算獲得正確答案。

二、以數化形，化抽象為具體

相較于直觀具體的圖形，數字的抽象性特點更為明顯，這恰恰為“數”與“形”的結合創造了優勢條件。于初中生而言，其抽象思維還未得到充分開發，面對復雜的數學列式，大部分學生的第一反應都是尋找可套用公式的切入點，接著利用熟練背誦的公式或模板解決問題。這一解題過程并不能有效鍛煉學生的抽象思維能力，相反會導致學生更加依賴于模式化的題目，若突然遇到形式新穎靈活的題目，學生往往會選擇蒙題、猜題甚至是逃避。要想消除這一依賴性，教師要引導學生在頭腦中構建“數”與“形”的橋梁，并學著從橋梁中抽象的一頭走到具象的一頭，如此學生才能夠摸清“以數化形”的內在機制。例如在學習不等式的相關內容時，其中涉及到了“以數化形，化難為易”的數學思想。面對較為復雜但又有內在規律可循的不等式，教師可以借助圖像幫助學生解題，將抽象化的式子轉化成坐標系中具體的函數圖像，從而更加直觀地推斷出不等式的解集。以下題為例，“已知直線y1=kx+b（k＜0）過A點（0，2），且與直線y₂=mx（m＞0）相交于點M（1，m），則不等式mx＞kx+b的解集是____”通過審題可知，這是一道關于x的含參不等式的問題，其中所含信息較為復雜，且參數數值不明，如果學生單純依賴于數值計算較難得出答案。在此情況下，學生應當重新尋找解題的方向。通過再次審題不難發現，題目中有關于“直線”“交點”“坐標”等信息無一不指向平面直角坐標系。因此，可以根據題目在坐標系中畫出相應函數的大致圖像，并將提供的條件標注在其中進行整體分析。事實上，這道題目的分析和解答是離不開圖形的，只有將圖像引入題目當中才會事半功倍，學生必須要通過觀察兩條直線交點以及直線的走向來判斷當y₂＞y₁時x的取值范圍。此解題過程體現出了幾何圖形運用于代數運算中的一個方面：借助數軸或平面直角坐標系賦予代數表達式幾何意義，通過構造直觀化的幾何圖形使代數運算簡單化，從而提高解題的效率和準確性。教師在輔助學生解題的過程中，應當教會學生尋找題目中的線索和暗示，大膽運用數形結合思想，從而避免走上思考的彎路。

此外，幾何圖形還可以運用于代數公式的記憶與推導層面上，如完全平方公式與平方差公式的幾何推理。由于代數公式的抽象性，大部分學生都難以準確記憶運算公式，導致做題效率大大降低。為打破這一學習瓶頸，教師可以從推導過程入手，借助幾何圖形的直觀性幫助學生深刻理解并準確記憶公式。以（a+b）²=a²+2ab+b²的幾何推理為例，已知一個邊長為a+b的正方形，其中包含兩個邊長分別為a和b的正方形以及兩個全等的長方形（短邊長為b，長邊為a）。因此，通過等面積法建立等式可知，大正方形的面積為（a+b）²，內部四個圖形的面積分別為a²，b²，ab，ab，列式為（a+b）²=a²+ab+ab+b²，即完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，由此完全平方公式便得以證明。記憶公式的本質不在于死記硬背，而是讓學生從推導的過程中真正感受數形結合思想的運用，使其邏輯思維能力得到進一步發展。

三、數形互變，化單向為雙向

數形互變在“以數化形”“以形變數”的基礎上實現了思維更高層次的靈活性和深刻性，是從單向過渡到雙向的重要途徑。這一思想不僅要求學生由考慮“形”的直觀性變為“數”的嚴密性，還要從“數”的嚴密性聯想到“形”的直觀性。在解決這類問題時，學生往往需要同時立足于已知條件與可能結論，認真挖掘“數”與“形”兩者間的內在聯系，實現數形的互通、互變。例如在以下應用題中便考查了數形互變的解題思想（如圖1）：

“低碳環保，綠色出行”的概念得到廣大群眾的接受，越來越多的人喜歡選擇騎自行車作為出行工具。小軍和爸爸同時騎車去圖書館，爸爸先以1500米/分的速度騎行一段時間，休息了5分鐘，再以m米/分的速度到達圖書館。小軍始終以同一速度騎行。兩人騎行的路程為y（米），與時間x（分鐘）的關系如圖1，請結合圖像，解答下列問題：

（1）填空：a=_____， b=_____， m=_____。

（2）若小軍的速度是1200米/分，求小軍第二次與爸爸相遇時距圖書館的距離。

（3）在（2）的條件下，爸爸自第二次出發后，騎行一段時間后與小軍相距1000米，此時小軍騎行的時間為_____分鐘。

通過審題，學生可以明確把握題目中的“數”與“形”，在頭腦中建立起基本的數形關系框架，但在真正的分析過程中，大部分同學卻難以將 “路程——時間”圖像中的數值信息充分利用起來，將數值與圖形真正融為一體。此時，為打破學生的單向思維定勢，教師不妨將題目中的文字敘述部分隱藏起來，在“路程-時間”圖像之中標注已提供的重點數值信息，并引導學生在仔細觀察圖像后用語言將“爸爸”和“小軍”的騎行過程描述出來。這一過程可以使學生從“形”中發現“數”，并從“數”中感受“形”，實現數形互變。除此之外，在處理本題的圖像問題時，教師可以借助發散思維鍛煉學生多樣化的數形互變能力。具體而言，若以“路程-時間”圖像為參考，學生可以從函數表達式的角度分別求出“爸爸”和“小軍”行駛路程與時間的關系表達式，并通過方程組求解答案；在此基礎上，教師可以變換圖像指標，引導學生將“路程-時間”圖像轉化為“速度-時間”圖像，啟發學生從圖形面積的角度求解本題，如此便能夠將幾何圖形面積求解的知識點融入進問題之中，活化學生的思維，深化數形互變思想。

綜上所述，深入剖析并挖掘數形結合思想在數學教學中的應用價值是每一位初中教師貫徹教書育人理念的基本職責，也是提高教學質量與效率的有效途徑。作為傳授系統知識、啟迪學生智慧的主力，教師應針對數形結合思想在教學中的滲透做出深刻的研究與實踐，將“以形變數”“以數化形”“數形互變”的思想扎根于學生的思維系統之中，促進數形結合與初中數學的深度融合。

【參考文獻】

[1]余云洲.相互滲透，交叉作用：初中數學教學中數形結合思想的應用探析[J].教育現代化，2019（6）：114.

[2]李春梅．數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].西部素質教育，2020（4）：230.