小議數學探究能力的培養在教學中的體現

張小敏

【摘要】探究活動是實現學生全面發展的一項教學活動，從課本基礎知識、定理公式、課本例題習題等問題出發，引導學生對某些數學問題進行深入的探索與研究，培養學生的數學探究能力.

【關鍵詞】探究能力；中學數學；教育教學

學習是學生的主要任務.學校、家庭和部分社會活動是學生開展學習活動的主要場所，而教師的探究性教學自然分為課內和課外兩種形式.不能僅僅以為探究活動就是把學生分成小組，通過做實驗、相互討論、查閱資料、整理數據等，最后形成初步結論.很明顯，這只是課外探究活動的方式之一，這種探究方式需要做大量的準備工作，操作過程也費時費力.課內探究側重于對教學內容的思考和探究，對解題方法的反思.無論是對中學生的年齡，智力，心理因素，還是中學生的閱歷，最有益的其實是課內探究.在課堂上有老師的引領，它不僅可以發展學生的數學能力，還能使學生對所學內容的本質、變式以及拓展形式有更加深刻的理解，達到靈活運用知識、促進學生數學思維能力發展的目的.因此，數學探究活動應體現在數學課堂中.課堂中的探究活動大致體現在以下幾個方面：

一、數學定義、性質的探究

萬丈高樓從“基”起，數學的基石就是定義和概念，定義和概念也是數學的精髓，是對數學現象的高度抽象和概括.學生的數學學習過程就是對數學概念的理解應用并形成數學能力的過程.準確深刻地理解概念，是正確運用概念的前提，而實際上中學生對數學概念掌握情況不盡相同，有的死記硬背，有的半知半解，有的全然不知.因此，在數學概念教學時，教師就必須對它的形成、內涵進行深入的探究，為學生準確理解和應用數學概念打下堅實的基礎.

例如，教師在北師大教材選修2-1雙曲線的概念教學時，可按如下流程進行：

①給出雙曲線定義：平面內到兩定點距離之差的絕對值為常數的點的軌跡是雙曲線.（兩定點間距離為2c，常數記為2a）

②讓學生進行以下探究：

1）雙曲線與橢圓定義的異同點；

2）雙曲線定義中“絕對值”的含義是什么？去掉這三個字會產生什么結果；

3）分別探討當2a>2c，2a=2c，2a<2c時軌跡的變化情況，并說明各自的軌跡圖形；

③根據以上探究，談談你對雙曲線的理解.

學生可類比橢圓的定義方法，結合課本中的小實驗，預先準備一條拉鏈，在老師的引導下分組做一個簡單的實驗，要求學生拉開拉鏈的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在兩點，把筆尖放在拉鏈的咬合處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖就畫出一條曲線.在演示實驗的過程中引導學生充分體會點的特征，體會雙曲線的形成，更能深刻理解雙曲線定義的幾個限定條件.再試著用語言文字描述點所滿足的條件，從而概括出雙曲線上點的幾何性質，歸納出雙曲線的定義，體現了探究性的思維活動.學生從具體事例中概括出數學概念，既符合具體到抽象的認識規律，更容易發現概念的本質屬性，理解概念的內涵，把概念納入已有的認知結構中.

再例如，教師在教學古典概型時，可以通過有趣的，貼近學生生活的素材，激發學生學習數學的熱情和興趣.于是設置了這樣的問題：甲、乙兩人賭博，各自下注1000元，他們約定先勝3局者可以把2000元賭注全拿走.假設這兩個人的賭博技術相差不多，他們賭了三局，甲以2∶1暫時領先.此時，由于不可抗力的原因賭局被迫中止.兩人需要分賭本，那么這時候怎么分這2000元的賭本才能使兩人心服口服？教師可引導學生討論，質疑，并提出分配方案.同學A的分配方案：因為沒有賭完，所以各自拿回自己的1000元.同學B的分配方案：因為甲多贏一局，所以全歸甲.同學C的分配方案：按贏得比例分配，甲拿三分之二，乙拿三分之一.那么這一簡單直觀的分賭注問題產生了這么大的分歧，到底該怎么分配呢？

公說公有理，婆說婆有理，這就導致了概率論的誕生.從這個具體事例中讓學生感受古典概型的客觀存在，自然而然引出古典概型，既激發了學生探究的欲望，又起到介紹數學史的作用.學生通過參與這一問題的探究活動，由消極、被動的接受式學習變為積極主動、探究交流式的探究性學習.選擇學生所感興趣的，樂于探究的，易使學生興奮的問題作為中心，使學生自覺自愿的參與其中，領會理論與實踐既對立又統一的辯證思想，再結合具體問題的現實意義，培養學生勇于探索，善于發現的合作精神.

二、數學公式、定理的探究

數學命題中經過論證是真命題的，在數學中稱為“定理”，經過數學推理成立的量與量的關系式稱為“數學公式”，它們是高中數學的重要組成部分，是數學推理、論證、計算的依據和工具.要讓學生知道它們的產生背景，掌握它們的推理過程和論證方法，熟悉它們的結構形式，更重要的是要探究、挖掘拓展及更廣泛的應用.

例如，在學習兩角和的正切公式時，如果教師只是簡單的推導而不對推導過程中所體現的數學思想（齊次式）予以提煉，學生就不可能領會教材意圖———過程中掌握數學思想方法.所以，授課時教師可引導學生做如下探究：

問題7：仿照兩角和的正切公式推導方法推導兩角差的正切公式？

每一個數學公式都蘊含著一定的數學思維過程，在課堂教學中，教師要力爭再現發現、推導它們的情境，引導學生思維進入到當時的情境中去，使其與此結論蘊含的思維過程同步，讓學生參與到知識的發生、發現過程中去.通過對公式的一步步探究，既能增強學生對兩角和、差的正切公式的理解，又能從中體會“齊次式”及其變形手法.既推導出了公式，又掌握了弦化切的常用方法，使學生體會到聯想轉化的數學思想，培養學生大膽猜想，勇于探索，嚴謹求實的科學態度.

再例如，在學習微積分基本定理的過程中，教師如果不讓學生自己探究推導定理的內在，只是給出定理的內容，直接運用定理計算積分值，那學生就體會不到微積分定理的巨大威力和廣泛應用.所以教師教學中可以這樣設置問題：

1）先通過學生熟悉的案例出發，根據路程和時間的解析式s=s（t），可以求得從時刻a到時刻b，物體走過的路程為s（b）-s（a）.這個問題學生在定積分的背景下已經研究過，對學生而言，不是一個新問題，因此探究起來較為容易.

2）接著從另外的角度分析如何求物體走過的路程，即如果知道在一定的時間段，物體運動的速度與時間的解析式v=v（t），就知道如何求物體走過的路程.

3）引導學生按照定積分的定義“分割—近似—求和”的思想試一試，采用分割時間段，近似求各個時間段的路程，再求和的方法也可以得出物體走過的路程也趨于s（b）-s（a）.這樣自然就利用了微積分的基本思想，自然過渡到在給定區間內函數與導函數的關系.

4）在此基礎上通過學生的分析討論，歸納概括出微積分的基本定理，使得求定積分的問題變得簡潔.而正是由于微積分定理的發現，使微積分作為一個整體成為研究宇宙萬物運動性質的最有力的工具.同時學生也就對微積分基本定理有了更深層次的理解和認識，從而運用到定積分的計算應用中.展現數學定理的發生發展過程，重視學生的數學學習過程，是新課程改革所倡導的教學理念.要做到重視過程，必須先還原數學定理的原始發現過程，再還原學生的思維過程，即讓學生親身參與到數學知識的產生過程，而不是老師直接印證，學生被動接受理解.

三、課本例題、習題的探究

教材是編者智慧的結晶.教材的例題都是編者精心選編且具有示范性的典型題目，其類型和解法都有一定的代表性，是為了幫助學生鞏固所學知識、掌握所學方法而設置的習題和練習.教師要挖掘各種題目中的探究因素，如解題方法，解題思路，變式結構等等.以教材中的例題、習題和練習為原材料，引導學生在常規解法的基礎上做進一步的探究，尋找題目的其他解題途徑或思路.

教師可結合實際精心設計容易使學生產生情感共鳴的問題情境，讓學生親身體驗，主動探究，發現數學價值，從而構建“有效課堂”.

1分配問題：

問題1：你們班有a人，國家教育基金分給你們班學生生活費b（b>a）元，平均每人多少元？

問題2：你們班新增加m人，國家教育基金給你們班也增加了m元，平均每人多少元？

問題3：每人分得的平均值發生了怎樣的變化？

問題4：你能得出怎樣的數學結論？

2.比值問題：

問題1：已知直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（b>a），a邊所對角的正切值是多少？

問題2：給兩條直角邊長都增加m，所得直角三角形中a+m邊所對角的正切值是多少？

問題3：正切值發生了怎樣的變化？

問題4：你能得出怎樣的數學結論？

一道數學題，思考的角度不同，得到的思路也不同，在學生充分思考，討論的基礎上，師生共同尋求多種解法，探究解題思路，發展觀察，想象，探究能力.對①②中探究所得的數學結論，在學生充分思考、討論之后，教師可以引導學生就不等式證明的幾種基本方法（比較法，分析法，綜合法，反證法）共同尋求結論的證明方法，探究論證思路，發展學生的觀察、想象、探究能力.

學生興趣濃厚，思維處于活躍狀態，對所得不等式的幾種基本證明方法：作差法，分析法，綜合法，反證法進行獨立證明，熟練掌握.而還有些方法需要教師進行點撥，如：作商法，放縮法，函數法，增量法，斜率法等.所以教師要深入到學生中去，和他們一起討論證明，最后總結”.

學生體驗了證明的過程，在實踐中獲得到解決問題帶來的愉悅感，雖然課堂教學時間畢竟有限，不能充分展示每一位同學的探究過程，但是只要他們能主動參與，發揮主動性，就提高了學習數學的興趣.不同的學生有不同的數學能力、認知結構和思維品質.對待數學學習的目的和要求也不盡相同，他們的數學天賦也有一定的差異.所以可以采取分組討論，取長補短，只要是學生經過探究，交流得到的結果，教師都應該給予鼓勵和表揚，使其興趣和探究的積極性得以保護，這樣才能使所有學生都有不同程度的提高.

四、閱讀與思考的探究

新課程教材中設置了較多的探究性內容，如“案例分析”“思考交流”“閱讀材料”“動手實踐”“課題學習”“探究活動”等拓展性欄目，給學生提供了探究性學習的素材.在課堂教學中，教師要利用這些素材引導學生在課內或課外展開數學探究，使得課內探究自然地延伸到課外，達到課內探究與課外探究有機結合的目的.

例如，教師在北師大版數學課本必修4講完任意角三角函數概念后，課本設置了“思考與交流”，讓學生探究角的終邊分別落在第一象限、第二象限、第三象限以及第四象限時，三角函數值符號的變化規律.這個問題是學生在處理三角函數問題時最容易出錯的問題，對學生形成“符號看象限”很有幫助.所以教師要引導學生對三角函數符號問題做進一步的探究.

問題1：各三角函數的定義是什么？其中各字母的含義是什么？

問題2：試分析三角函數的定義，探求什么是確定三角函數符號的主要因素？

問題3：四個象限點的坐標符號怎么確定的？

問題4：試探求x軸上方點的坐標符號特征，x軸下方點的坐標符號特征，y軸左側點的坐標符號特征，y軸右側點的坐標符號特征？