ChatGPT輔助設計 HPM課例 :嘗試與感悟

劉夢哲 孔雯晴 汪曉勤

摘要：設計《橢圓及其標準方程》HPM課例時 ，向 ChatGPT提出為何要用數學史、有何數學史、如何運用數學史三個方面的問題，并分析其回答 ，發現 ChatGPT在設計 HPM課例時表現出較大的局限性 ，對所提的問題沒有給出很好的回答。因此 ，使用 ChatGPT輔助設計 HPM課例需要注意 ：在批判中完善 ChatGPT給出的史料 ;在借鑒中創新 ChatGPT設計的教學。

關鍵詞 ：ChatGPT;高中數學 ;數學史 ;HPM;橢圓及其標準方程

作為信息技術的發展趨勢 ，人工智能技術已經對包括學校教育在內的各種傳統行業產生了重要而深遠的影響。[1]作為生成式人工智能的代表 ，ChatGPT一經問世 ，便以其友好的交互性和超強的學習能力 ，引起社會各界的廣泛關注。[2]教育界更是對 Chat-GPT在教育領域應用的利弊展開了廣泛的熱議。可以肯定的是 ，ChatGPT可以為教師提供豐富的教學資源和工具 [3]，ChatGPT的出現及其在教育領域的應用發展必將助推人工智能時代教育行業產生更新、更深遠的變革 [4]。

近年來 ，HPM（數學史與數學教學之關系）視角下的數學教學 （具體的指向是將數學史融入數學教學 ），因其新穎的理念、獨特的風格和顯著的成效 ，受到越來越多數學教師的關注。然而 ，數學教師在設計 HPM課例時，往往對融入數學史的內容和方式存在障礙。[5]對此 ，我們想到可以利用 ChatGPT來輔助完成 ，但不知效果究竟如何。于是 ，我們對《橢圓及其標準方程》一課進行了嘗試。

*本文系上海高校立德樹人人文社會科學重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目 “數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究 ”（編號 ：A8）的階段性研究成果。

一、ChatGPT輔助設計 HPM課例的嘗試數學教學需要解決好 “Why”“What” “How”的問題 [6]，HPM課例設計亦是如此。所謂 “Why”，即 “為何 ”要將數學史融入本節課的教學 ;所謂 “What”，即 “有何 ”與本節課有關的數學史 （素材 ）;所謂 “How”，即“如何 ”將數學史融入本節課的教學。設計《橢圓及其標準方程》HPM課例時 ，我們向 ChatGPT提出了這三個方面的問題 ，并分析了其回答。

（一）關于 “為何 ”

我們向 ChatGPT提出 “為什么要將數學史融入 ‘橢圓及其標準方程 ’的教學 ”的問題 ，得到如下回答 ：

1.提高學生的興趣和積極性。學生通常覺得數學難以理解和乏味 ，但當數學問題與歷史文化相結合時 ，學生的興趣和積極性通常會提高。因此 ，將數學史融入教學可以讓學生覺得數學不是一個枯燥的學科 ，而是一個積累知識與思考的深度學科。

2.激發學生的探究欲。數學問題存在于歷史和文化的背景中。將數學史的知識呈現給學生 ，他們會開始思考問題的背景和歷史文化對問題的影響 ，從而進一步探究數學問題的本質。

3.增加學生對數學概念的理解。融入歷史背景可以幫助學生更深刻地理解數學概念和規則。通過學習數學史 ，學生可以領略到一種全新的數學方法 ，更好地理解數學概念和規則 ，掌握數學的真諦。

4.引導學生發掘知識并解決實際問題。數學史融入教學 ，可以讓學生更好地了解數學背景和知識體系 ，從而引導他們從更深層次、更廣闊的視角探究知識 ，并更好地應用數學來解決實際問題。

ChatGPT給出了 4條理由 ，涉及興趣、動機、理解和應用四個方面 ，但這些理由并未與教學內容相結合 ：上述回答中未出現 “橢圓 ”二字 ，也未出現與本課題有關的字眼 ;上述回答通常以 “將數學問題與數學史結合 ，有助于……”的形式表述 ，但是并未對 “數學問題 ” “數學史 ”“結合方式 ”等內容作出詳細說明。

事實上 ，早在 1991年，英國數學史家福韋爾 （J.Fauvel，1951—2000）就總結出了在數學教學中運用數學史的 15條理由 [7]，如有助于學生對概念的理解、改變學生的數學觀、為學生提供探究的機會等。

在已有教學案例中 ，有教師通過折紙活動和 GeoGebra演示 ，讓學生發現折痕圍成的圖形是橢圓 ，由此抽象出橢圓中的定量關系 ，并總結出橢圓的定義 ，推導出橢圓的標準方程[8];有教師引領學生探究不同的動點軌跡 ，由此引出橢圓的定義 ，并引導學生合理選取坐標系 ，建立橢圓的標準方程 [9]。上述教學從不同的探究活動中引出橢圓及其標準方程，但是并未解決學生心中 “為什么將橢圓、雙曲線和拋物線稱為圓錐曲線 ”“橢圓的標準方程是否還有更簡便的推導方法 ”等困惑 [10]，不免使學生產生定義識記不清、方程記憶不準、運算能力不足等問題。實際上 ，當我們翻開歷史的畫卷 ，圓錐曲線的截面定義、旦德林雙球模型、標準方程的推導方法等史料無疑可以解答學生的困惑。若教師將上述史料融入本節課的教學 ，還可以幫助學生更好地認識橢圓、求解橢圓 ，經歷橢圓知識的發生發展過程 ，并在討論中化簡橢圓的標準方程 [11]，這恰好對應上述福韋爾給出的三條理由。

可見 ，ChatGPT只是泛泛地給出了數學史融入教學的價值 ，既沒有結合本課題作出具體分析 ，也沒有看到已有教學設計的不足。

（二）關于 “有何 ”

我們向 ChatGPT提出 “有什么與橢圓的定義和方程有關的歷史材料 ”的問題 ，得到如下回答 ：

橢圓是一種平面幾何圖形 ，其定義為到兩個定點 （稱為焦點 ）的距離之和等于定長 （稱為主軸長）的所有點的集合。橢圓在古希臘時期就已經被研究，但直到17世紀才被完整地描述和定義。

最早對橢圓的研究可以追溯到公元前 6世紀的希臘數學家阿波羅尼奧斯，他在研究橢圓的軸對稱性質方面作出了重要貢獻。公元2世紀的托勒密在其著作《天文學大成》（Almagest）中討論了橢圓的構造方法，但沒有明確給出橢圓的定義。

17世紀時，焦點和直線的幾何性質得到了深入研究。法國數學家勒內 ·笛卡兒和德國數學家約翰內斯·開普勒在描述行星運動時使用了橢圓軌道。英國物理學家艾薩克 ·牛頓在其著作《自然哲學的數學原理》中描述了橢圓的幾何性質和方程，并指出了它在行星運動中的應用。

橢圓的標準方程為：x222=1（其中，a2 +yba和b分別為橢圓的兩個半軸長度）。這個方程最早由德國數學家雅各布 ·伯努利提出，并被后來的數學家廣泛使用。

總的來說，橢圓的歷史可以追溯到古希臘時期，但其完整的定義和描述需要等到 17世紀才被建立。至今，橢圓在數學和物理學中仍具有重要的應用和意義。

仔細分析不難發現，ChatGPT搜集的史料有一些問題：

首先，數學史料的選取不符合融入數學教學的五項原則：科學性、人文性、有效性、可學性和趣味性。[12]一者不符合科學性。從 ChatGPT給出的回答中可以清晰地看到幾個科學性錯誤。如，阿波羅尼奧斯（Apolonius，約前 262—約前190）所處的年代是公元前3世紀—公元前 2世紀，不是公元前6世紀;托勒密（Ptolemy，約85—約165）撰寫的《天文學大成》中沒有討論橢圓的構造方法，等等。總之，ChatGPT只是將不同來源的內容綜合在一起，但內容的科學性有待考證。

二者不符合人文性和趣味性。ChatGPT的回答雖然提到了古希臘時期至 17世紀期間多位數學家對橢圓的研究成果以及橢圓知識在行星運動中的應用，試圖反映數學背后的人文精神以及數學與物理等學科之間的聯系，但是沒有對與之有關的研究成果或應用作出具體介紹。

三者不符合有效性和可學性。本節課的首要任務是“掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質”，但是，ChatGPT的回答僅提及橢圓的第一定義和標準方程，并沒有對橢圓的幾何性質、標準方程的推導方法等作出進一步討論。同時，ChatGPT面向的對象是個體，其難以選取出符合全班大多數學生認知基礎的史料。

其次，數學史料的呈現不完整。Chat-GPT的回答首先追溯到古希臘時期的阿波羅尼奧斯，介紹了圓錐曲線的起源，然后直接跳躍至17—18世紀笛卡兒（R.Descartes，1596— 1650）、開普勒（J.Kepler，1571—1630）等數學家對橢圓性質和應用的研究。可見，ChatG-PT僅簡單列舉歷史上幾位數學家在橢圓發展過程中的貢獻，對這一內容的數學史的介紹不完整。這里所說的 “不完整 ”有兩層含義：

從整體看，對歷史脈絡的介紹不完整。事實上，從公元前 4世紀人們開始認識圓錐曲線到橢圓標準方程的出現，時間老人走過了兩千多年[13]，其中，不同數學家對橢圓的定義、標準方程、性質的研究更是百花齊放，而 ChatGPT只展示了冰山一角。

從局部看，對某一數學家貢獻的介紹不完整。例如，阿波羅尼奧斯使用對頂斜圓錐來表示圓錐曲線，并在《圓錐曲線論》中給出并證明了橢圓的基本性質 ：從橢圓上兩點分別向直徑作兩條線段與共軛直徑平行 ，則兩條線段的平方比等于直徑上兩條相應線段乘積之比。[14]對該內容 ，ChatGPT只提及阿波羅尼奧斯研究了橢圓的性質 ，而未做詳細說明。于是 ，我們向其追問 “阿波羅尼奧斯對橢圓的研究 ”，得到如下回答 ：

阿波羅尼奧斯是一位古希臘的數學家和天文學家 ，著有《圓錐曲線論》等多部著作。在《圓錐曲線論》一書中 ，他詳細地研究了橢圓、雙曲線和拋物線這三種圓錐曲線。

具體來說 ，阿波羅尼奧斯在他的著作中對橢圓做了深入的探討 ，他提出了橢圓的定義，并且給出了橢圓的焦距定理 ，即一個橢圓上的點到兩個焦點的距離之和是定值。他還通過對橢圓的研究 ，發現了許多橢圓的性質和規律 ，如橢圓的面積公式等。阿波羅尼奧斯的這些成果對后世的數學研究產生了深遠的影響 ，橢圓也因此成為數學研究中的重要課題之一。

該回答依然是概述性地提及阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中的研究 ，并未展開說明橢圓的基本性質是什么以及如何證明。

最后 ，數學史料缺乏教育取向。教育取向的數學史研究需要從兩個方向展開 ：一是對概念的不同定義、定理和公式的不同證明或推導方法、法則的不同解釋、知識的不同應用以及數學史料的呈現方式、教育價值觀等進行分類統計 ;二是在研究對象所在的整個時間段內 ，分析不同定義、性質、方法、應用等的演變規律。[15]然而 ，從 ChatGPT的回答來看，其對橢圓的定義、方程推導方法的類別和演變只字未提 ，也未提及歷史材料在教學中可能的運用方式。

從現有情況可見 ，我們仍然需要完成史料搜集工作 ，可從原始文獻和二手研究文獻中搜集、整理出比 ChatGPT提供的更準確、更完整的歷史材料。

此外 ，ChatGPT只停留在史料搜集的層面，還沒有上升到整理、加工的層面。這也需要我們進一步完成。

（三）關于 “如何 ”

我們向 ChatGPT提出 “如何運用上述歷史材料設計融入數學史的 ‘橢圓及其標準方程’的教學 ”的問題 ，得到如下教學目標和教學過程 ：

【教學目標】

1.了解橢圓的定義和性質。

2.理解橢圓標準方程的含義和推導過程。

3.了解橢圓在數學史上的重要地位。【教學過程】

1.引言 （10分鐘 ）

簡單介紹橢圓的概念 ，并通過展示歷史上著名數學家如牛頓、開普勒等人在天文學中如何應用橢圓 ，激發學生的學習興趣。

2.學習橢圓的定義、幾何特征及參數方程（30分鐘 ）通過講解橢圓的定義和基本特征 ，引導學生掌握橢圓的基本概念。

通過參數方程 ，讓學生更深入地了解橢圓的長短軸、焦點、離心率等基本性質。

3.橢圓的標準方程及其推導 （40分鐘 ）

通過對牛頓、歐拉等數學家關于橢圓標準方程的研究成果進行講解 ，探究橢圓標準方程的來源和推導。

以橢圓的離心率為重點 ，讓學生通過講解離心率的定義、計算以及與橢圓形狀的關系，進一步理解橢圓的標準方程。

4.案例分析及實踐操作 （40分鐘 ）

精選實際問題 ，如利用橢圓建立地圖、利用橢圓計算天體軌跡等 ，進行案例分析 ，引導學生靈活運用所學的數學知識解決實際問題。

通過實踐操作，讓學生掌握橢圓圖形的繪制和計算、標準方程的運用等關鍵技能。

5.結語（10分鐘）

總結橢圓及其標準方程的學習內容和技能，鼓勵學生在實際生活中發掘更多橢圓的應用場景。

提醒學生學習數學不要忘記歷史，鼓勵他們將所學的數學知識運用到更多的領域。

首先，來看教學目標的設計。《普通高中數學課程標準（2017年版 2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）在“課程內容”中指出：了解圓錐曲線的實際背景和作用，經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程以及簡單幾何性質，了解橢圓的簡單應用。[16]從知識的層面看，ChatGPT給出的教學目標與課標中的要求基本契合：內容覆蓋了教材中 “橢圓及其標準方程”一節的知識點，對“了解”“掌握”等詞的使用也較為準確。

然而，從三維目標的角度看，ChatGPT沒有給出思想方法和情感態度層面的教學目標。例如，運用和差術與平方差法推導橢圓的標準方程，有助于培養學生的數學運算和邏輯推理素養;經歷橢圓概念的發生、發展過程，有助于學生感受數學文化，體會數學家堅忍不拔的探究精神，培養理性精神。事實上，知識背后蘊含著豐富的思想方法，這正是令學生終身受益（“帶得走”、素養性）的內容，也是培養創新性人才不可或缺的內容[17]。而 ChatGPT恰恰忽視了超越知識本身的內容以及其中人的因素給學生帶來的重要影響。

其次，分析教學過程的設計。數學史的教育價值包括知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效六類[18]，我們可以從這六大價值入手來分析。

第一，橢圓的定義包括截面定義、第一定義和第二定義，截面定義可以幫助學生解決 “為什么將橢圓、雙曲線和拋物線統稱為圓錐曲線”的問題，而旦德林雙球模型可以幫助學生建立截面定義和第一定義之間的聯系。 ChatGPT的設計僅運用了 17世紀以后的史料，而忽視了橢圓的起源。對此，我們向其追問，得到如下回答：

橢圓的歷史可以追溯到公元前 1500年左右的埃及，當時埃及人使用橢圓來繪制太陽在不同時期的軌跡。古希臘數學家阿波羅尼奧斯于公元前3世紀對橢圓進行了系統研究，并發現了橢圓具有一些特殊的性質。例如，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和是一個定值，橢圓的周長和面積也可以通過數學公式計算。在不久之后，古羅馬數學家埃拉托色尼也對橢圓進行了研究，將橢圓與拋物線、雙曲線一起稱為 “錐曲線”。這些研究為后來的代數幾何學和微積分學等學科奠定了基礎，而橢圓的運用也十分廣泛，比如在建筑、工程、天體力學、電磁場理論和密碼學等領域都有應用。

該回答依然沒有明確給出截面定義，只是提及 “錐曲線”，暗示橢圓、雙曲線、拋物線與錐體之間存在聯系，而且沒有指出用何種平面截圓錐可以得到三條圓錐曲線。基于如此內容的教學，并不能幫助學生構建知識之諧。

第二，歷史上推導橢圓標準方程的方法豐富多彩，包括居西尼 （N.Guisnée）的幾何法、洛必達（L..H.pital）的和差術、斯蒂爾（R. Stel）的三角法、賴特（J.M.F.Wright）的平方差法等。[19]然而，ChatGPT并未給出推導橢圓標準方程的多種方法。于是，我們向其追問，得到如下回答：

1.幾何法：根據已知的橢圓長軸和短軸，通過計算橢圓上的點到兩個焦點距離之和，并運用兩點之間距離公式，得到橢圓的標準方程。

2.向量法：將橢圓上的點表示為向量的形式 ，運用向量的性質和定義 ，建立橢圓的方程組 ，通過解方程組得到橢圓的標準方程。

3.解析幾何法

：利用橢圓的對稱性 ，將橢圓上的點表示為一般點 P（x，y），根據橢圓的定義 ，列出橢圓的方程 ，并通過配方法化簡方程，得到橢圓標準方程。

4.參數方程法

：根據橢圓的參數方程 ，將 x和y用參數 t表示 ，加以整理化簡 ，得到橢圓的標準方程。

5.矩陣法

：將點的坐標表示為矩陣的形式，運用矩陣的代數性質和橢圓的定義 ，建立橢圓的矩陣方程 ，并通過矩陣的運算 ，得到橢圓的標準方程。

這里 ，ChatGPT實際上只給出了一種方法：只有 “幾何法 ”對應于教材中的方法 ，其他方法都不具備可操作性。

同時 ，歷史上數學家給出的推導方法中蘊含著化歸、分類討論等思想方法。可惜的是 ， ChatGPT對各種推導方法一無所知 ，更談不上在教學中滲透思想方法。故而 ，ChatGPT設計的教學無法彰顯方法之美、實現能力之助。

第三 ，在已有的 HPM課例中 ，教師讓學生經歷 “旦德林雙球模型的建立 ”“橢圓標準方程的推導 ”的探究過程 ，由此串聯從截面定義到第一定義 ，再到標準方程的教學內容。[20]與之對比 ，ChatGPT已有將探究活動融入教學的意識 ，如探究標準方程的推導 ，但并不全面（如沒有提及旦德林雙球模型 ），因此 ，所謂的探究只能是紙上談兵 ，并不能為學生營造探究之樂。

第四 ，HPM課堂的數學文化內涵可以分為知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個方面。[21]ChatGPT在教學內容和設計中既提及了橢圓與天文學的聯系 ，又提及了橢圓在工程、建筑、航空等領域中的應用 ，從而關注了學科聯系和社會角色這兩個方面 ，但是沒有給出聯系與應用的具體內容。同時 ，ChatGPT也沒有關注到其他三個方面。例如 ，盡管在歷史素材中提及了橢圓從古希臘時期至 17世紀的研究 ，但是在教學設計中只字未提 ，因而錯失了呈現多元文化的好機會。可見 ，這一教學設計在文化之魅的展示上是有一定缺失的。

第五 ，數學史的德育價值可以分為理性、信念、情感和品質四個方面。[22]一方面 ， ChatGPT雖然介紹了不同數學家對橢圓這一課題的貢獻 ，但是并未點出數學家背后堅持不懈的探索精神 ;另一方面 ，ChatGPT沒有具體介紹橢圓與其他學科、實際生活之間有何聯系。這不免讓數學史的融入流于表面。可見 ，ChatGPT沒有充分關注到德育在數學教學中的重要性 ，設計的教學未能達成德育之效。當然 ，ChatGPT在結語中提及 “提醒學生學習數學不要忘記歷史 ”。這確實為學生指明了學習數學一條道路。

總之 ，ChatGPT不僅忽視了思想方法和情感態度在數學教學中的重要價值 ，同時 ，設計的教學過程在數學史六大教育價值的達成情況上也有所欠缺。

二、兩點感悟

綜上 ，我們看到 ChatGPT在設計 HPM課例時表現出較大的局限性 ，對為何要用數學史、有何數學史、如何運用數學史等問題沒有給出很好的回答 ，但是 ，ChatGPT仍然能夠為我們設計 HPM課例提供一些幫助。對此，我們需要注意 ：

第一 ，在批判中完善 ChatGPT給出的史料。面對海量的數學史料 ，教師往往難以從文獻中找到與所要設計的課例有關的史料。而 ChatGPT擁有強大的數據庫 ，它能根據輸入的關鍵詞快速輸出有關的史料。雖然 ChatGPT給出的史料在時間、人物、內容等方面會出現張冠李戴的情況 ，但這也為教師指明了尋找史料的方向。例如 ，上述教學設計中，回答 “有何 ”問題時 ，ChatGPT提及阿波羅尼奧斯、托勒密、開普勒等數學家研究過橢圓。由此 ，教師不妨系統閱讀與這些數學家有關的文獻 ，進而依據史料選取的五項原則 ，整理出準確的史料用以設計教學。

第二 ，在借鑒中創新 ChatGPT設計的教學。ChatGPT編寫教案的效率很高 ，提供的框架在數學內容方面也較為完整 ，但也存在形式較老舊、缺少個性化內容等問題。因此 ，教師在利用 ChatGPT輔助設計 HPM課例時，可以借鑒其給出的框架 ，并結合學生的認知基礎 ，加入具體的教學情境和個性化教學內容 ;結合已有的數學史料 ，融入思想方法、德育元素 ，盡可能地發揮數學史的六大教育價值 ;或重構式地設計教學 ;等等。

教育的本質是創新 ，教師與 ChatGPT最大的區別正在于創新。未來 ，教師也許可以將 ChatGPT視為自己的好幫手 ，借助這一工具更快地搜索到已有歷史研究和教學研究的內容。在此基礎上 ，教師要繼續思考如何有所突破 ，如搜集新的數學史料、重構式地設計教學等 ，并與 HPM專業學習共同體進行研討，才可能設計出好的 HPM課例。

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