基于UbD理論的初中數學單元整體教學設計

何俊杰 孟志鑫

【課堂聚焦·教學設計】

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出單元整體教學的概念，明確要重視單元整體教學設計。UbD理論提出的逆向教學設計和“理解六側面”對單元整體教學設計有很強的指導作用。文章以人教版“一元二次方程”為例，結合教學設計案例，從單元分析、確定主題、設計目標、單元整體設計以及課時教學設計等方面闡述了應用UbD理論開展初中數學單元整體教學設計的具體步驟和策略。

【關鍵詞】UbD理論；初中數學；單元整體教學；教學設計；一元二次方程

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出要推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養。［1］如何整體分析數學內容的本質，并將促進學生對數學的理解真正融入教學活動中，是當前數學教學中值得思考的問題。在日常教學中，好的教學設計是提高教學質量的關鍵。理解為先的教學設計（Understanding by Design，UbD）理論和基于理解的逆向教學設計法［2］把學生的理解放在教學和教學設計的首位，符合新課標的要求。本文探討了基于UbD理論的初中數學單元整體教學設計，力圖通過優化教學設計促進學生核心素養的發展。

一、基于UbD理論的單元整體教學設計流程

（一）UbD理論

UbD理論的兩個重要思想是“理解”和“逆向”。基于這兩個思想，杰伊·麥克泰格和格蘭特·威金斯提出了有利于學生理解的逆向教學設計［3］18-19和用于評估學生是否真正掌握知識的“理解六側面”［3］94-95。逆向教學設計打破了常規的教學設計思路，先確定學生所要達到的課程目標，并制訂合適的評估標準，再進行教學過程的設計［4］。通過考慮“哪些表現說明學生已經理解了所學內容”和“哪些證據說明預期目標已經實現”等問題，確定恰當的評估證據，從而為教學過程設計提供依據，可以有效避免常規教學設計中因無法準確評估學生理解和掌握程度而導致的教學過程設計不合理的問題。“理解六側面”則給出了具體的評估證據：能運用概念、定理合理地說明某個事實，即解釋；能從具體問題中找出隱藏的有效信息，即闡明；能將知識應用于不同的具體情境從而解決新的現實問題，即應用；能從不同的角度批判性地看待他人的想法，即洞察；能根據自己的學習體驗感受他人的理解和情感，即神入；能認識到自己的優點和不足以更好地自我反思，即自知。

（二）基于UbD理論的單元整體教學設計流程

首先是進行單元分析并確定單元主題。具體來說，可從課標分析、教材分析、學情分析三個方面進行單元分析，找出需要學生理解的知識，進而抽象出單元的大概念即單元主題。單元主題可以是一個詞語、句子，甚至是一個問題，當然也可以用教材的單元名稱作為單元主題。

其次是設計單元目標。此環節不僅要關注學生數學知識的積累，還要注重培養學生的核心素養和能力，所以單元目標既要包含記憶、理解等低階思維，還要包括分析、評價等高階思維［5］。

最后是對單元整體進行結構化設計。先按“單元主題（大概念）—核心任務（大問題）—重要概念（分問題）—基礎概念（子任務）”的邏輯將任務活動化，給出單元整體教學設計。接著在進行課時教學設計時，須打破傳統的“確定教學目標—設計教學活動—教學評價”的模式，采用UbD理論倡導的“逆向教學法”進行設計，即“確定教學目標（預期結果）—設計教學評價標準（評估證據）—規劃教學過程（學習體驗）”。

在基于UbD理論進行單元整體教學設計時，應始終把“學生的理解”放在首位，充分分析教材，重視知識的整體性，使學生能夠將所學的知識聯系起來，形成清晰、系統的知識結構。

二、基于UbD理論的單元整體教學設計案例

為了更好地把單元整體教學設計的相關理論應用于實踐，下面以人教版九年級上冊第二十一章“一元二次方程”為例，給出基于UbD理論的初中數學單元整體教學設計案例。

（一）單元分析

1.課標分析

一元二次方程是義務教育數學學習中第四學段數與代數中的重要內容。新課標規定，學生需在實際問題情境中思考并理解一元二次方程在現實生活中的應用，能夠根據不同的具體問題列出相應的一元二次方程；在理解一元二次方程意義的基礎上，掌握解一元二次方程的方法，特別對配方法提出了理解并掌握其過程的要求；掌握根的判別式以便在不解方程的情況下準確描述方程的根的情況；了解根與系數的關系（即韋達定理），能應用數學知識解決實際問題，根據具體情境判斷根的合理性。可以看出，新課標要求學生能從數學視角發現生活中與一元二次方程相關的問題，掌握相應的解法，根據實際需要選擇運算結果。在此過程中，學生需形成一定的運算、推理和抽象能力，同時培養模型意識，初步掌握用數學語言表達現實問題的能力。在數學的價值方面，需讓學生內心充滿好奇心，增強對數學的興趣。

綜上所述，本單元以解答與一元二次方程有關的具體問題為主線，先引出一元二次方程的一般概念，再讓學生系統地學習如何解一元二次方程，最后回歸實際問題，讓學生在實際情境中檢驗根的合理性。具體見表1所示。

2.教材分析

（1）橫向分析。本部分知識在單元學習中包括一元二次方程的數學定義、一元二次方程求解的各種基本解法、方程根的三種基本判別式、韋達定理及證明方法、一元二次方程在生活中的基本應用，具體見圖1所示。

本章以人體雕像設計為實際問題引入，讓學生列出相應方程，引入一元二次方程的概念。在第一節中，基于引言的分析給出了一元二次方程的描述性定義，并設計了求解無蓋正方體底面積和排球賽兩類題目。學生分析思考這些實際數學問題中的數量關系，進而可列出相應的方程，通過對比得出一元二次方程的數學定義、相關概念及一元二次方程的一般形式。

在一元二次方程的解法方面，教材先講適用于一般方程的配方法和公式法，再講應用于特殊情況的因式分解法，從一般到特殊，加深學生對一元二次方程解法多樣性的認識，從而有利于學生選擇合適的方法去解決問題。具體來說，首先在具體情境中出示形如x2=p，（x+n）2=p的簡單一元二次方程，并探究p的不同取值情況下方程的解。在這個過程中，讓學生在“降次”中初步體會數學中的化歸思想。學習了兩種簡單的形式后，出示求解x2+6x+4=0這樣一般方程的問題。教材以框架圖的形式出示了配方法的具體步驟，要求學生在理解的基礎上掌握該方法。公式法則是以配方法為基礎，通過對一元二次方程的一般形式進行配方得到一般解法，即求根公式（有根的情況下）。在深入學習、分析一元二次方程的求根公式后，可歸納概括出求一元二次方程根的三種不同情況。同時，在推導歸納的過程中引入根的判別式Δ=b2-4ac，并指導學生完成對應的習題，以加強對求根公式的基本應用。在給出兩種通用方法后，給出方程10x-4.9x2=0，讓學生思考有沒有更簡單的方法求解，從而引出因式分解法，并在這個過程中讓學生體會一元二次方程求解方法的多樣性。

在學習一元二次方程的多種解法后，教材提出問題：根的和、積與系數有什么關系？通過這個問題引入了韋達定理。韋達定理在教材中雖然屬于選學內容，但卻有廣泛應用，所以可考慮讓學生理解并應用這一定理。

可以利用一元二次方程建立一些解釋實際問題中數量關系的數學模型。教材中給出了傳染源問題、增長率問題、為書設計封面等三個問題，讓學生感受一元二次方程在生活中的廣泛應用。

（2）縱向分析。一元二次方程屬于數與式中的方程部分的內容，學生在學習本單元知識前，已經系統學習了一元一次方程、二元一次方程組及三元一次方程組等相關知識，具體見圖2。

①一元二次方程與一元一次方程

教材中，七年級上冊呈現了一元一次方程，并要求學生能解決與一元一次方程相關的實際問題。在解方程方面，移項、合并同類項、系數化為1等方法對一元二次方程仍然是適用的。

②一元二次方程和二次函數

二次函數是人教版教材九年級上冊第二十二章中的內容，因此學習一元二次方程可以為學生下一步學習二次函數打下重要的數學基礎。一元二次方程的根實際上對應的是二次函數的零點，即函數圖象與x軸的交點橫坐標。此外，通過配方可求出二次函數的對稱軸、頂點坐標、最值。因此，一元二次方程的知識可以直接影響學生對二次函數的學習。

從以上分析可以看出，一元二次方程起到了承上啟下的作用，因此在教授一元二次方程時，教師要注意將新知識與學生已有的知識結構相結合，將新知識有機融入舊知識中。

3.學情分析

在記憶方面，初中生的記憶力相對較強，尤其是對于有情境的記憶往往比較深刻。在思維方面，邏輯思維得到了一定的發展，但是仍然需要具體形象思維的支撐。在學習興趣方面，對數學的學習有著比較濃厚的興趣，但是易受學習內容難度的影響，興趣相對不太穩定。在學習評價方面，缺乏對自身的深刻認識，主要通過他人的評價來逐步認識自己，并且比較關注他人對自己的看法，易受他人的影響。

（二）單元主題

經過以上分析，可以發現本單元的主要目的在于讓學生在具體情境中掌握解一元二次方程的方法，并根據實際情況檢驗所求方程的解是否合理。因此，一元二次方程的解法及應用即為本單元的主題。

（三）單元目標

通過單元分析和學情分析，可得到本單元的學習目標：

（1）理解配方法的過程，抓住配方法的關鍵；能從不同的解法中選擇合適的方法解一元二次方程。

（2）會應用根的判別式，即不用解方程就能準確地判斷并得出一元二次方程根的情況。

（3）了解根與系數之間的關系。

（4）能根據實際情況檢驗一元二次方程的解是否合理。

（5）能從要解決的問題中找出各種數量關系，根據所得關系列出求解方程，并能夠在此過程中建立求解實際問題的基本模型，培養學生的模型意識。

（四）單元整體設計

至此，可將本單元分為一元二次方程的定義、一元二次方程的不同解法及一元二次方程的應用，課時分配見表2。

1.階段一：確定預期學習結果

設計預期學習結果時可以從“理解意義”和“學會遷移”兩方面考慮。理解意義要求學生能用自己的話語對所學知識進行概括，能掌握之前不理解的知識。學會遷移則要求學生能夠把所學知識應用于具體的情境中。在學習完單元知識之后還可設計短期目標，可稱為“掌握知能”，是指通過單元學習希望學生掌握哪些陳述性知識和程序性知識，這是最低層次的學習目標。

新課標對本單元有具體的要求，筆者根據這些要求，設計預期的學習結果（表3）。

2.階段二：確定恰當的評估證據

確定了預期的學習結果之后，教師還需要思考什么樣的形式能夠評估學生對知識、技能的理解及掌握程度，即逆向教學設計的第二階段——確定恰當的評估方法。具體見表4。

3.階段三：規劃相關教學過程

首先通過前測掌握學生的已有知識水平，測試內容包括與本單元知識相關的方程、一元一次方程定義及解法等，然后按照五個教學任務分別規劃教學過程，具體見表5。

（五）課時教學設計

每個課時的教學設計也均采用逆向教學設計法，即在確定教學過程之前，先明確課時目標，再根據課時目標制訂合適的評估證據，最后有針對性地進行教學過程的設計。以第一課時“一元二次方程的定義”為例，教學設計見表6。

三、基于UbD理論的單元整體教學設計反思

本文運用UbD理論的逆向教學設計法，結合單元整體教學理念進行教學設計，并通過實踐證明了單元整體教學的優越性。

1.有利于縮短學生之間的成績差異

基于UbD理論的單元整體教學設計是基于學生的理解，通過對數學知識的分析，把相關數學知識進行重組、整合，這樣有利于學生在短時間內在頭腦中形成知識的結構，理清知識間的脈絡。這樣的教學對后進生的影響較為顯著，實踐研究證明，后進生的成績有所提高，縮小了班級學生數學成績之間的差異。

2.有利于學生深刻地理解知識

基于UbD理論的單元整體教學的目的是讓學生在學習的過程中達成真正的理解。通過問卷調查、課上對學生提問及課后習題的完成情況，發現學生不僅會用所學知識去解決問題，還能說出知識的來源及關聯性，實現了對知識的深層次理解。

3.有利于學生學習興趣的提高

基于UbD理論的單元整體教學設計從單元的角度分析，聯系舊知對整個單元的知識進行架構，加深知識之間的聯系，幫助學生形成完整的知識結構。整體性的設計不僅能完整地呈現單元的知識點，還能把知識點聯系起來，如有部分學生能夠把一元二次方程和之前的一元一次方程聯系起來，這種知識建構能力對之后學生學習二次函數也有很大助益。通過把前后知識聯系起來，學生發現自己在課堂上能夠聽懂了，對數學的學習也就越來越有興趣了。

總之，基于UbD理論的單元整體教學設計為核心素養導向的課堂變革提供了極具操作性的路徑，能夠指導教師在初中數學教學中開展單元整體教學，以更好地幫助學生梳理數學知識之間的內在邏輯關系，提高學生的學習興趣和學習效果，發展學生的數學核心素養。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022：86.

［2］李保勤. 學習科學到教學實踐變革的有效設計：UbD新的使命［J］. 教育理論與實踐，2021（31）：59-64.

［3］威金斯，麥克泰格. 追求理解的教學設計［M］. 2版. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學出版社，2017.

［4］李潤洲. 指向學科核心素養的教學設計［J］. 課程·教材·教法，2018（7）：35-40.

［5］張萍，白雪峰. 布魯姆教育目標分類理論與初中數學教學設計：以“平方差公式”一課的教學實踐與反思為例［J］. 華夏教師，2020（3）：32-34.

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】何俊杰，副教授，主要研究方向為應用數學與數學教育；孟志鑫，主要研究方向為數學教育。

【基金項目】2021年河南省高等教育教學改革研究與實踐項目（學位與研究生教育）“教育碩士專業學位研究生實踐創新能力培養研究與實踐——以學科教學（數學）領域為例”（2021SJGLX216Y）；河南省2023年度教師教育課程改革研究項目“卓越教師培養視域下數學師范生專業素養測評與提升路徑研究”（2023-JSJYYB-034）