合理對待數學錯誤，培養學生學習習慣

劉紅久　劉忠華　周睿

［摘? 要］ 在數學教學中，教師要正確地對待學生的錯誤，要結合學生的錯解過程找到他們真正的錯因，從而通過針對性的引導及時幫助學生查缺補漏. 文章分析了學生學習過程中的一些典型錯誤及錯因，并指出充分發揮錯誤資源的“診斷”和“治療”作用，能有效降低學生再出錯的頻率.

［關鍵詞］ 糾錯教學；教學策略；學習習慣；錯誤資源

相信大多數教師都遇到過這樣的困惑：有些題目講了又講，練了又練，但是學生還是會犯錯. 雖然錯誤在學習過程中無法避免，但是學生若能正確地認識錯誤、合理地對待錯誤，就能有效避免再次出錯或降低錯誤再次發生的頻率. 在數學教學中，教師應充分發揮其引導者的作用，及時和有效地指導學生進行錯題管理，培養學生良好的糾錯習慣，同時采取多樣化的、有針對性的教學策略來提升教師的教學質量和學生的學習品質，有效避免“一錯再錯”［1］.

現狀分析

面對學生的錯誤，不同的教師有著不同的解決方式. 有的教師認為學生之所以會錯，是試題做得不夠多，因此常常選擇同類型的試題讓學生“反復刷，重復練”，以期降低學生出錯的頻率. 但是“反復刷，重復練”容易讓學生產生思維定式，這會嚴重影響學生解題的準確率. 有的教師認為錯誤是在所難免的，學生的學習過程和人的成長過程一樣，不可能一帆風順，所以對學生的錯誤常常聽之任之，這樣對待錯誤過分“寬容”了，學生再錯也就在預料之中了. 有的教師面對學生的錯誤顯得過于消極和急躁，不進行錯誤分析和引導，而是“一罵”了之，這樣不僅沒有有效地解決問題，而且容易讓學生對錯誤產生恐懼心理，這會嚴重影響學生學習數學的信心. 錯誤在學習過程中是不可避免的，產生錯誤的原因也是多種多樣的，師生只有正確認識錯誤，才能找準錯因，從而找到行之有效的解決策略，有效避免錯誤或降低錯誤再次發生的頻率.

錯誤是寶貴的教學資源，不過在實際教學中，錯誤的積極意義并沒有得到充分的肯定，因此關于錯誤解決策略的研究較少. 大多數教師僅僅“就題論題”式講解，這樣很難讓學生對自己的錯誤形成正確的認識，所以學生容易再次出錯. 為了改變這一現象，在具體的教學中，教師應該對常見的錯誤進行錯因分析，引導學生在失敗中吸取經驗和教訓，并提出一些“防錯”和“糾錯”的教學策略，以期借助多樣性、針對性的糾錯方法，提升數學教學成效［2］.

案例分析

糾錯在數學教學中是必不可少的，在此環節，教師需要分析并整理學生所犯的一些典型錯誤，并應用多樣的教學手段來消除學生對困惑或錯誤的認識，幫助學生建立正確的認識. 筆者結合教學實踐，總結、歸納了以下幾種典型錯誤，供參考.

1. 知識性錯誤

學生在解題中之所以會犯知識性錯誤，主要是因為他們對概念、公式等基礎知識掌握得不牢，如分不清考點，概念混淆，公式錯用，忽視自變量的取值范圍等. 對于此類錯誤，大體可以分為兩類，第一類是存在數學知識漏洞，如審題不清，考點分析不準確，認識問題不全面；第二類是知識點把握不到位，如概念混淆，記錯公式、法則，忽視公式的適用范圍等.

例1 若一元一次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常數項為0，則m的值是（? ? ）

A. 2 ? ? ? ? ? ?B. 1

C. 1或2 ? ? ?D. 不能確定

錯解 C

錯因分析 從表面上看，學生出錯的原因是審題不清，忽視了“一元一次方程”這一限定條件，加之對一元一次方程的概念比較模糊，并不知道二次項系數要為0. 因此，解題時根據“常數項為0”這一條件，得到m2-3m+2=0，然后直接得到答案C. 從本質上分析，學生在學習之初就沒有理解或重視概念，所以在審題時未能準確提煉出解題的關鍵信息，最終發生錯誤.

與此類似，學習一次函數y=kx+b時，學生容易忽視“k≠0”這一基本條件；學習分式時，學生容易忽視“分母不能為0”這一限定條件. 又如，對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）和反比例函數y=（k≠0），學生同樣容易忽視限定條件. 可見，此類問題是例1的延續，若教師在教學中不重視這類錯誤，僅進行簡單的講評，告知學生要好好審題，那么學生在解題時勢必會因存在知識漏洞而一錯再錯.

例2 ? 計算：

--3-（1+）0+.

錯解? 原式=-0+2=2.

錯因分析 出現以上錯誤，可見學生對零指數冪、負整數指數冪、絕對值等概念理解不清. 學習新知時，學生對這些特殊形式、運算法則了如指掌，但是時間久了出現了遺忘，所以他們就按照自己的理解去定義概念. 因遺忘而造成概念模糊在學習中最為常見，可謂是學生的“天敵”.

2. 方法性錯誤

在平時的學習中，部分學生由于對概念、定理等內容理解或掌握得不到位，所以常常在解題時因解題方法使用不當或解題方向出現偏差而出現錯誤.

例3 計算：2x（x-3）=5（x-3）.

錯解 原方程等價于2x=5，解得x=2.5.

錯因分析 解題時，學生直接將等式兩邊同時除以整式（x-3），因對等式的性質認識不清而造成失根. 解題時，部分學生圖省事，會忽視一些公式、定理、法則等成立的條件，從而使解題方向發生偏移，造成解題錯誤.

3. 邏輯性錯誤

學生解題時，常會出現一些如推理錯誤等邏輯性錯誤. 出現此類錯誤的主要原因是學生的思維、推理不夠嚴謹，平時沒有養成正確推理的習慣. 糾錯時，教師可以列舉一些簡單的符合邏輯規律的實例，讓學生意識到嚴謹在解決問題中的價值，以此培養學生的邏輯思維能力.

例4 在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度數（ ? ? ?）

A. 等于90° ? ? B. 小于90°

C. 大于90° ? ? D. 不能確定

錯解? A

錯因分析 學生之所以選擇A，是受思維定式的影響，默認為AD在三角形內部，由此得出∠BAC=90°. 但原題并未指明AD在何種位置，當高AD在三角形外部時，可得到∠BAC是銳角.

4. 運算類錯誤

談起運算類錯誤大家并不陌生，這是一個普遍存在的問題，很多人將其統一歸類為粗心造成的，不過仔細分析不難發現，其實大多數運算錯誤是因為學生對運算規律及概念理解不到位. 教師糾錯時，既要讓學生呈現思維過程，又要滲透解題技巧，讓學生感悟到運算的樂趣，從而培養運算興趣.

例5 解不等式：-≥x-.

錯解? 2（x-2）-3（3x+5）≥x-2-x?2x-4-9x-15≥-2?x≥-.

錯因分析 此題表面上看是因為去分母時出現了不等轉化所致，但仔細分析不難發現，學生在“系數化為1”這一步也出現了錯誤. 可見，學生既沒有建立解方程和解不等式的聯系，更不懂兩者的區別，不懂每步操作的原因和理由，因盲目生搬硬套而引發了錯誤.

5. 心理類錯誤

在每個班級都有這樣的學生，平時練習、考試都能取得很好的成績，但是在正式考試時卻屢屢失敗，這是由心理造成的. 對于此類問題，教師在平時的教學中要注意心理疏導，多給學生一些鼓勵，重視學生心理素質的培養，幫助他們形成良好的心態、健康的心理.

總之，在教學中，教師既要寬容地對待錯誤，又要對學生的錯誤進行細致分析. 要知道，每個錯誤都不是憑空產生的，只有找到問題的根源才能找到合適的應對策略，從而將錯誤資源轉化為優化學生認知結構、完善學生認知體系、促進學生發展的寶貴生成性資源，切實提高學生的學習品質.

實踐策略

錯誤雖然不可避免，但如果教師在教學中采取有效的解決策略，就可以避免或者減少類似錯誤的再次發生. 基于以上典型錯誤及錯因分析，筆者總結、歸納了如下解決策略.

1. 教師引導，樹立正確的“錯誤觀”

教師作為課堂教學的組織者和引導者，其對待學生錯誤的看法和態度將直接影響學生對待錯誤的看法和態度. 在教學中，教師要少一些批評，多一些鼓勵，寬容地對待學生在學習過程中出現的錯誤，并對學習中出現的錯誤給予積極的反饋，指導學生找到改正錯誤的方法，以此提高學生的認知水平，幫助學生樹立正確的“錯誤觀”.

在學習過程中，假如學生樹立了正確的“錯誤觀”，他們就能在面對錯誤時不膽怯，并擁有學習數學的信心. 另外，在日常教學中，教師切勿以偏概全，要善于捕捉學生錯誤中的閃光點，及時把握機會與學生進行有效溝通，了解學生的真實想法，展示學生的思維過程，幫助學生找到錯誤的根源，并給出一些針對性的改進建議，以此逐漸完善學生的認知結構，提高學生解決實際問題的能力.

2. 組內交流，培養學生的合作意識

糾錯時，教師可以將學生分組，發揮同伴互助的作用. 組內能夠解決的問題就在組內解決，組內不能解決的問題開展集體探究，這樣學生既能在他人的錯誤中吸取教訓，又能在互助中完善自己的認知，還能培養合作意識，發展分析問題的能力.

課堂時間和教師的精力都是有限的，而分組學習可以有效地打破這種局限，讓學生在互相糾錯的過程中獲得不同程度的成長. 需要注意的是，為了確保小組合作學習的質量，教師要對小組合作成果進行檢驗，并基于學情制定一系列獎勵措施，以充分發揮個體優勢，提高糾錯教學的有效性.

3. 選擇合理糾錯的方式，提升糾錯效率

在傳統的教學中，糾錯的方式比較單一，大多是以教師講授為主，即教師直接將正確答案講給學生聽，然后借助同類型的問題進行強化訓練. 這樣的教學從短期來看是高效的，學生通過模仿教師給出的標準解題過程就可以順利地解決問題，但糾錯是一個復雜的認知過程，通過“強塞”的方式幫助學生糾正錯誤，難以讓學生從根本上解決問題，很容易“一錯再錯”. 因此，在實際教學中，教師要改變單一的糾錯方式，通過方法的多樣性和針對性來提升糾錯效率.

（1）暴露學生的錯誤，激發學生改錯的自覺性

在糾錯教學中，教師可以挑選一些具有代表性的錯誤來展示，讓學生先獨立完成糾錯，然后師生互動交流. 在此過程中，教師要多問幾個“為什么”，引導學生進行錯因分析，并給出自己的修改意見，激發學生改錯的自覺性，培養學生的“防錯”和“改錯”意識.

（2）設計多樣性實踐活動，規避再錯風險

方式一，以學生活動為主線，引導學生通過獨立改錯、合作糾錯相結合的方式開展多樣性實踐活動，充分發揮學生的主體作用，讓學生在獨立思考和合作探究中探尋正確解法，優化認知.

方式二，以教師為主線，教師結合學生的反饋挑選一些出錯率高的問題進行重點剖析，充分發揮教師的主導功能，讓學生更加全面地認識錯誤、理解錯誤. 當然，出錯率較低的問題，教師也不能不講，不過可以采用課后輔導的方式進行單獨講解.

（3）優化批改方式，發揮作業價值

批改作業的過程是師生互動交流的過程. 此過程既要有教師“批”的過程，又要有學生“改”的過程. 不過，實際教學大多以“批”為主，忽視了“改”的過程. 筆者認為，教師應該重視作業的回批，要求學生及時地更改錯誤，并寫出完整的糾錯過程，如錯因分析、解題過程等，然后根據糾錯過程進行打分，并給予一定的獎勵，以此培養學生正確的糾錯意識. 同時，教師在批改時除了使用“√”“×”，還可以增加一些符號，如畫圈、畫波浪線等，通過有效提示，提高學生的糾錯效率.

4. 應用錯題本，培養整理歸納能力

錯題本是重要的糾錯工具. 在學習中，對典型錯誤進行整理和分析，有利于學生深化對問題的理解，有助于學生總結、歸納. 在錯題本的建立和應用中應注意以下幾點：（1）分類整理錯題本，如按章節分類，按錯因分類；（2）不斷補充錯題本；（3）經常閱讀錯題本；（4）交換閱讀錯題本；（5）教師指導和監督. 規范地整理錯題本，結合教師有效的指導與監督，能充分發揮錯題本的價值，減少錯誤反復發生的頻率.

總之，在教學中，教師既要重視錯誤，又要寬容錯誤，還要合理應用錯誤，為學生提供時間和空間去思考、去探究、去糾錯，以此達到鞏固知識、強化技能、完善認知、發展思維的效果，切實提高學生的學習能力.

參考文獻：

［1］黃玉芳. 淺論讓美麗的錯誤開出絢爛的學習之花——初中數學錯誤資源的有效利用［J］. 數學教學通訊，2019（26）：34-36.

［2］王樹林. 初中數學教學中錯誤資源的有效應用［J］. 中學課程資源，2018（12）：8-9+42.

基金項目：邵陽市教科院規劃課題“新背景下課堂教學中培養學生良好學習習慣的策略”（SYGH210）.

作者簡介：劉紅久（1969—），本科學歷，正高級教師，從事初中數學教學工作.