高中數學解題教學中證明題的解題技巧

方亮

【摘要】在高中數學解題中，證明題是重要的題型，也是學生解題中的難點，主要考查學生邏輯思維能力和分析能力.在證明題解題中，如果缺少合適的解題方式，會使得解題陷入困境.因此，作為高中數學教師，應當傳授學生證明題解題技巧，幫助學生明確解題思路，提高學生解題效率，進一步提高學生數學成績.本文分析高中數學解題中證明題的解題技巧.

【關鍵詞】高中數學；證明題；解題技巧

在高中數學證明題解題教學中，教師應幫助學生牢固掌握與透徹理解數學規律、定理、公式與概念等理論知識為前提，教授給他們一些常用的、有效的做題方法，使其形成清晰、簡潔的證明思路，掌握科學的證明方法.

1 運用綜合法求解數學證明題

在高中數學解題教學中，證明題是一類典型的綜合性題目，涉及的知識方面可謂是相當廣泛，解答證明題時學生應具備較為全面的知識體系，只有這樣才能完美地解決證明題.因此，高中數學教師首先可以指引學生運用綜合法求解數學證明題，根據題目中提供的已知條件展開順向推理，使其通過一系列推導得出結論，讓他們證明結論的可靠性與真實性［1］.

例1 已知x，y，z是三個不全部一樣的實數，請證明x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）.

根據不等式定理可以得到x4+y4≥2x2y2，x4+z4≥2x2z2，z4+y4≥2z2y2，

又因為x，y，z是三個不全部一樣的實數，所以上述三個式子必然有一個無法取等號，

所以得到x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，

因為x2y2+y2z2≥2xy2z，x2z2+y2z2≥2xyz2，x2y2+x2z2≥2x2yz，

所以不等式x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）成立.

2 采用分析法求解數學證明題

在高中數學解題教學中，分析法是求解證明題的常用方法之一，屬于逆證法的一種，學生需要體驗從未知到已知的整個過程，對他們的邏輯思維能力有著較高要求.簡單來說，使用分析法時，學生應當先假設題目中所證明的結論是正確的，再推理出可以確保這一結論充分成立的結果，而且這些結論肯定是已知的定理，已證明過的命題或者題設中的已知條件.

例2 已知a大于0，請證明a2+1a2－2≥a＋1a－2.

解 要想證明式子a2+1a2－2≥a＋1a－2成立，只需要證明式子a2+1a2＋2≥a＋1a＋2成立即可，由于a大于0，所以又能夠推理出只需要證明式子a2+1a2＋22≥a＋1a＋22成立即可，把式子化簡、整理以后能夠得到4a2+1a2≥2a2+2+1a2，觀察這一式子能夠發現a2+1a2≥2，故說明上面不等式成立.

3 利用歸納法求解數學證明題

歸納法主要用來證明同正整數n相關的數學命題，這種證明方法有固定的流程，有著較高的識別度，通常是由一系列有限的特殊事例得出結論的推理方法.在高中數學證明題解題教學中利用歸納法時，教師應讓學生清晰地意識到驗證在整個證明過程中起著基礎條件的作用，關鍵是對式子展開推理，使其在推理中精準找到遞推關系，助推他們順利證明結論［2］.

例3 請證明式子（3n+1）×7n－1可以被9整除.

解 當n＝1時，原式等于4×7－1＝27，27÷9＝3，說明能夠被9整除，初步證明命題成立；假設當n＝k時，命題成立，原式等于（3k＋1）×7k－1可以被9整除；當n＝k＋1時，原式等于（3k＋4）×7k+1－1＝［（3k＋1）×7k－1］＋18k×7k＋27k×7k，根據歸納假設（3k＋1）×7k－1可以被9整除，由于18k×7k＋27k×7k也可以被9整除，故（3k＋4）×7k+1－1同樣可以被9整除，所以當n＝k＋1時，該命題也成立.

4 應用函數法求解數學證明題

函數法顧名思義是采用函數方面的知識進行證明的一種解題方法，需發掘出研究對象中所包含的函數關系，結合函數概念、性質、基本規律與圖像等相關知識深入分析與轉化數學問題，最終實現證明結論的效果.對此，高中數學教師應引導學生認真閱讀題目信息，仔細解讀題干內容，使其從中找到相應的函數關系，讓他們把原題轉化成函數問題后加以證明.

例4 已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，請證明1x＋1y≥3＋22.

解 根據x＞0，y＞0，x＋2y＝1，能夠得到y＝12（1－x），且x∈（0，1），這明顯是一個函數，據此可知1x＋1y＝1x＋21+x，要想證明1x＋1y≥3＋22，只需要證明函數f（x）＝1x＋21+x的最小值是3＋22即可，這樣就把這道證明題轉變成求解函數最小值的問題，假定z＝1x＋21+x，這時能夠把其轉化成有關x的二次函數，且其在x∈（0，1）范圍內有解，然后結合二次函數的性質與數形結合思想能夠便捷地求解出其最小值是3＋22，由此題設得以證明.

5 使用反證法求解數學證明題

針對高中數學證明題解題教學來說，以上幾種解題技巧都屬于正向思維的運用，但是有的證明題較為特殊，雖然也能夠基于正向視角展開證明，不過過程復雜，思路容易混亂，很難順利地證明出來.這時高中數學教師可以引領學生使用反證法來求解證明題，使其假設題設中給出的結論不成立，然后往回推理，推導同已知條件相矛盾，間接證明結論的成立［3］.

例5 已知a，b，c都位于區間（0，1）里面，請證明（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a中，最少有一個小于或者等于14.

解 根據0＜a＜1可以得到1－a＞0，然后利用不等式結論能夠得到（1－a）+b2≥（1－a）b＞14＝12，而針對b與c，采用同樣的方式能夠得到一樣的式子，將三個式子相加將會得到32＞32，這明顯是個矛盾，由此原命題成立.

6 總結

證明題作為高中數學解題教學中一類比較常見的題型，同其他題目類型相比解題難度較大，除掌握穩固的數學基礎知識以外，還應具備較強的思維能力，高中數學教師在平常的解題訓練中應給予高度重視，專門開設證明題專題訓練，指導學生根據具體題目靈活選用綜合法、分析法、歸納法、函數法與反證法等解題技巧，提升他們的解題水平.

參考文獻：

［1］陳羿霖.高中數學證明題解題思考［J］.科幻畫報， 2019（01）：89+91.

［2］周煊程.淺談高中數學證明題的解題思路［J］.中外企業家， 2018（15）：131.

［3］王立振.構建解題思路 反思課堂教學——一類二元變量證明題的解題策略［J］.中學數學教學，2021（02）：43-45.