高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中數(shù)列試題的解題技巧

李冬梅

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要知識內(nèi)容，數(shù)列題型具有復(fù)雜性和綜合性，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的解題能力.為了幫助學(xué)生更好地解決數(shù)列問題，教師需要根據(jù)數(shù)列題型特點(diǎn)，選擇合適的解題方法和技巧，幫助學(xué)生突破解題困境.在日常教學(xué)中，教師除了傳授學(xué)生知識內(nèi)容，還需要結(jié)合數(shù)列題型，傳授學(xué)生解題技巧，提高數(shù)學(xué)數(shù)列問題解題能力.本文分析高中數(shù)學(xué)求解數(shù)列試題的技巧，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題技巧

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程體系中的重點(diǎn)與難點(diǎn)部分，試題內(nèi)容復(fù)雜多變、較為抽象，對解題有著較高的技巧性要求，致使不少學(xué)生望而生畏，他們極易陷入困境，使其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心明顯受到影響.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，針對數(shù)列試題主要涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列與混合數(shù)列等題型，教師需帶領(lǐng)學(xué)生著重剖析一些經(jīng)典例題，了解題型特點(diǎn)，使其學(xué)會根據(jù)不同題目類型選取不一樣的解題方法，從而幫助他們掌握更多解決數(shù)列試題的技巧.

1 利用基本概念解決數(shù)列試題

在高考數(shù)學(xué)試題中，有很多和數(shù)列基本概念相關(guān)的題目，涉及基本的概念和原理，因此，教師應(yīng)當(dāng)要求學(xué)生熟練掌握數(shù)列基本概念等基礎(chǔ)知識，并且靈活利用這些基本知識解題.在高中數(shù)列教學(xué)中，一些數(shù)列試題具有模式化的特點(diǎn)，學(xué)生只需要利用公式套入，就可以得出準(zhǔn)確答案，對于此類數(shù)列試題，學(xué)生需要做到仔細(xì)、認(rèn)真，不能因為題目簡單而馬虎大意，遺漏重要條件，導(dǎo)致試題解答錯誤失分.

例1 已知等差數(shù)列 an的前n項和是Sn（n為正整數(shù)），如果a3=5，S10=100，求S5的值.

解 在等差數(shù)列an中，假設(shè)數(shù)列的首項是a1，公差為d，所以a3=5=a1+（3－1）d，S10=100=10a1+10（10－1）2d，得出a1=1，d=2，所以S5=25.

2 運(yùn)用公式法解決數(shù)列試題的技巧

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，不少知識要點(diǎn)都會涉及相應(yīng)的公式，公式法是處理本知識點(diǎn)試題的基本技巧，可以用來處理不少基礎(chǔ)性試題，有著廣泛的適用范圍.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題教學(xué)中自然也是如此，教師首先可指引學(xué)生運(yùn)用公式法進(jìn)行求解，根據(jù)題目實(shí)際情況選取相應(yīng)的數(shù)列公式，使其結(jié)合題干信息直接套用公式就能夠求出結(jié)果，提高解題效率［1］.

例2 已知在數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+2n+1，數(shù)列bn滿足bn=2log2（an+1－n），那么數(shù)列bn的前n項和Sn是（? ）

（A）n2.???? （B）n2－n.

（C）n2+n.? （D）n2+n+1.

解 根據(jù)an+1=an+2n+1，能得到an+1－2n+1=an+2n+1－2n+1=an－2n+1，則（an+1－2n+1）－（an－2n）=1，由于a1=2，則a1－2=2－2=0，那么數(shù)列{an－2n}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，即為an－2n=n－1，an=2n+n－1；根據(jù)bn=2log2（an+1－n）可得bn=2log2（an+1－n）=2log2（n－1+2n+1－n）=2n，則Sn=b1+b2+…+bn=2（1+2+…+n）=2×n（1+n）2=n2+n，故正確答案是選項（C）.

3 采用分組法解決數(shù)列試題的技巧

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題訓(xùn)練中采用分組法時，通常按照以下步驟進(jìn)行：第一步，定通項公式，即為根據(jù)題目中提供的已知條件求出數(shù)列的通項公式；第二步，巧拆分，根據(jù)通項公式的特征將其分解為幾個能夠直接進(jìn)行求和的數(shù)列；第三步，分別求和，需分別求出各個數(shù)列的和；第四步，組合，就是將拆分后每個數(shù)列的求和組合到一起，就能求得原數(shù)列的和.

例3 已知數(shù)列an是3＋2－1，6＋22－1，9＋23－1，12＋24－1，……，那么數(shù)列an的通項公式是什么？求出其前n項和Sn的值.

解 結(jié)合題意可得數(shù)列an的通項公式是an=3n+2n－1，則Sn=a1+a2+a3+…+an，把a(bǔ)n=3n+2n－1代入后加以整理，可變形為（2＋5＋8＋…＋3n－1）＋（2＋22＋23＋…＋2n），由此實(shí)現(xiàn)分組，分成前后兩個部分，前者是一個公差是3的等差數(shù)列，后者是一個公比是2的等比數(shù)列，分別代入相應(yīng)的公式可得Sn＝n（2+3n－1）2＋2（1－2n）1－2＝n2（3n+1）+2n+1－2.

4 使用相減法解決數(shù)列試題的技巧

在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題教學(xué)實(shí)踐中，相減法是一種使用頻率較高的解題技巧指引，一般指的是錯位相減，當(dāng)遇到等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的求和問題或者等比數(shù)列求和問題時，就能夠使用這種解題技巧.高中數(shù)學(xué)教師需引導(dǎo)學(xué)生先在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比，再把兩個等式相減，然后運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行求和，讓他們順利解題［2］.

例4 已知通項Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n－1）xn－1，其中x≠0且x≠1，求該數(shù)列的前n項和公式.

解 對題目中的等式Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n－1）xn－1兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比x，可以得到xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n－1）xn，然后把原式同該式相減，能夠得到（1－x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn－1－（2n－1）xn，接著，使用等比數(shù)列的求和公式能夠得到（1－x）Sn=1+2x×1－xn－11－x－（2n－1）xn，

所以Sn＝（2n－1）xn+1－（2n+1）xn+（1+x）（1－x）2.

5 利用并項法解決數(shù)列試題的技巧

在處理一些比較特殊的高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題時，有時無法使用錯位相減法，這時可以根據(jù)具體題目內(nèi)容轉(zhuǎn)變解題思路，像求解方向、已知條件、題目公式的內(nèi)部規(guī)律等，假如發(fā)現(xiàn)這些項和特殊項之間有所聯(lián)系，就能夠使用并項求合法，就是根據(jù)具體數(shù)列的特征，把題目中一些有所關(guān)聯(lián)的數(shù)列合并起來，使之具備某一特殊性質(zhì)，然后把它們放到一起進(jìn)行求和［3］.

例5 已知Sncos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°，求Sn的值.

因為cosn°=－cos（180°－n°），所以Sn=（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+…+（cos88°+cos92°）+cos90°=0，即Sn的值是0.

6 應(yīng)用函數(shù)法解決數(shù)列試題的技巧

函數(shù)與數(shù)列本身就存在著特殊的關(guān)系，基于函數(shù)視角來看，數(shù)列就是一種特殊的函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)采用常規(guī)方法很難求解時，教師就可以提示學(xué)生應(yīng)用函數(shù)法，主要是借助函數(shù)思想的優(yōu)勢找到解題的突破口，特別適用于處理部分求最值類的數(shù)列題目，學(xué)生應(yīng)從函數(shù)角度展開分析與思考，使其找到相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，讓他們輕松完成解題.舉例略.

7 結(jié)語

數(shù)列是高考中的一個高頻考點(diǎn)，教師在平常解題訓(xùn)練中需給予高度重視，專門圍繞數(shù)列知識設(shè)計專題訓(xùn)練，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體題目靈活采用公式法、分組法、相減法、并項法等多種多樣的解題技巧，使其找到最佳的解題思路與方法，讓他們高效解決數(shù)列試題.

參考文獻(xiàn)：

［1］張潔.芻議高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧［J］.試題與研究（教學(xué)論壇），2021（13）：1.

［2］陸鈺.高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧［J］.數(shù)理化解題研究，2021（33）：34-35.

［3］郭嫣然.高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧探究［J］.數(shù)字化用戶，2019，25（04）：214.