前后一致 邏輯連貫：“數據的分析”單元設計

岳紹杰 于彬 王鳳欣 蔣立國

［摘? 要］ 文章以“數據的分析”一章為例，在“內容及其解析、教學目標及其解析、教學問題診斷分析、教學支持條件分析”的基礎上給出單元整體設計，并指出：單元整體設計應該體現知識的系統性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，因此教學中教師應力求將所學內容統一在具體情境中，引導學生經歷數據的收集、整理、分析、判斷和選擇整個過程.

［關鍵詞］ 概率與統計；數據分析；數據觀念；平均數；方差

數學教育承載著立德樹人根本任務、實施素質教育的功能. 義務教育數學課程應使學生通過數學學習，形成和發展面向未來社會和個人所需的核心素養. 核心素養是在學習過程中逐漸形成和發展的. 對單元內容進行分析、整合、重組，形成相對完整的教學結構單元，開展單元教學，可以體現整體性、連貫性、結構性、遞進性，有助于提高教學效率［1］.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標2022》）將義務教育階段的數學內容分為四個領域，分別是數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐［2］. 其中，統計與概率領域由統計和概率兩部分組成，統計是概率學習的基礎，概率是統計學習的延伸，統計部分主要由數據的收集、整理、分析、表達等幾部分內容構成，概率則由初步認識和進一步認識兩部分內容構成.

《課標2022》對義務教育階段的數學核心素養進行了系統闡述. 與“統計與概率”領域對應的核心素養是數據觀念，主要是指對數據的意義和隨機性有比較清晰的認識. 本環節內容的學習是小學階段數據意識素養的延伸，更為高中階段數據分析素養的達成奠定堅實的基礎.

以魯教版教材為例，數據的收集和整理位于六年級下冊，數據的分析位于八年級上冊，在主體內容學習過程中滲透數據的描述，以及利用各種統計圖表刻畫數據，進而展現在圖表觀察和精準計算的基礎上做出判斷的數據觀念形成的完整過程，側重于對數據意義的理解，而對隨機性的認識則在概率的學習過程中漸次形成.

教材整體結構如圖1所示.

內容及其解析

1. 內容

“數據的分析”是魯教版教材八年級上冊第三章的教學內容，主要由平均數（2課時）、中位數與眾數（1課時）、從統計圖分析數據的集中趨勢（1課時）、數據的離散程度（2課時）、回顧與思考（1課時）構成，共計5節7課時.

2. 內容解析

“數據的分析”是數據收集和整理過程的延續，是后續做出判斷和對數據進行表達的關鍵環節，更是數據觀念形成的重中之重. 教學中教師務必引導學生經歷數據的收集、整理、分析和表達的整個過程，為數據觀念核心素養的培育貢獻一分力量.

第一節“平均數”由兩個課時構成，第1課時通過具體的例子，使學生在小學階段平均數認識的基礎上，初步感知學習加權平均數的必要性；第2課時，通過具體的實例進一步感受加權平均數在現實生活中應用的廣泛性，同時感受“權”對數據分析（做出判斷）的重要影響.

第二節是“中位數與眾數”，這節課在第一節初步感受刻畫數據集中趨勢（平均數）的基礎上，通過實例進一步感受中位數和眾數在描述數據集中趨勢過程中所發揮的重要作用. 同時，結合具體實例感受三個統計量的典型特點.

第三節“從統計圖分析數據的集中趨勢”是前兩節內容的延續，前兩節內容重在通過精準計算得到數據的平均數、中位數和眾數來判斷數據的集中趨勢，本課時則是在觀察各種統計圖表的基礎上，結合三個統計量的典型特點，進而做出判斷，體現了數形結合的重要思想.

第四節“數據的離散程度”有兩個課時，本節內容融統計圖觀察和數據精準計算于一體，在觀察中發現刻畫數據離散程度的統計量，在計算中感受極差、方差和標準差的合理性，進一步完善學生數據分析的知識儲備和相關能力，為后續準確表達數據、做出判斷奠定基礎.

第五節是“回顧與思考”，這里以問題串的形式幫助學生構建整章的知識體系，繪制知識網或知識樹，引導學生將本章內容納入原有知識體系，形成完整的數據收集、整理、分析和表達的過程，從而很好地培育學生的數據觀念素養.

本章內容整體結構如圖2所示.

數形結合是本章滲透的一個重要數學思想. 學生首先通過觀察統計圖表初步感受數據的集中和離散趨勢；然后通過具體的數據，結合具體的公式，獲得相應統計量的準確數值；最后將觀察獲得的結論和計算獲得的結論進行比較，感受“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的精妙所在. 所以本章知識是滲透數形結合思想的良好載體，教師教學時應引起足夠的重視.

本章需要學生在對紛繁復雜的數據收集和整理的基礎上進行分析，進而做出判斷，這對培育學生理性精神和嚴謹態度起著重要的作用. 為此，教學中需要教師提供真實的情境和數據，引導學生經歷知識發生和發展的整個過程，引導學生在分析問題和解決問題的基礎上提出問題和發現問題，從而實現“兩能”到“四能”的重大突破.

通過上述分析可將本章的教學重點確定為：

在問題解決過程中感受平均數（算術平均數和加權平均數）、中位數、眾數、極差、方差、標準差等統計量對數據集中趨勢和波動程度的刻畫，并掌握各種統計量的典型特點.

教學目標及其解析

《課標2022》對本章的要求如下：理解平均數、中位數、眾數的意義，能計算中位數、眾數、加權平均數，知道它們是對數據集中趨勢的描述. 體會刻畫數據離散程度的意義，會計算一組簡單數據的離差平方和、方差. 與《義務教育數學課程標準（2011年版）》相比，增加了對中位數和眾數意義的理解；增加了計算一組數據的離差平方和，這些變化可以感受到《課標2022》對本章內容提出了更高的要求，以適應大數據時代對學生提出的更高要求.

1. 單元目標

通過上述分析，可確定本單元的教學目標為：

（1）結合具體情境，在前期數據收集和整理的基礎上，經歷數據分析的全過程.

（2）在問題解決過程中感受平均數（算術平均數和加權平均數）、中位數、眾數、極差、方差、標準差等統計量對數據集中趨勢和波動程度的刻畫，并掌握各種統計量的典型特點，初步體會它們在不同情境中的應用；知道權的差異對平均數的影響，能用加權平均數解釋現實生活中一些簡單的現象.

（3）結合條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖等各種統計圖表直觀感受各種統計量對數據集中趨勢和波動程度的描述，體會其合理性和必要性.

2. 目標解析

教學目標（1）達成的標志是：學生借助教師提供的具體情境，以自主探究和小組合作的形式對數據進行分析，并能對現實生活中的具體例子進行解釋，初步實現“三會”（會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界）.

教學目標（2）達成的標志是：在數據收集和整理的基礎上，會計算一組數據的平均數、眾數、中位數、極差、方差和標準差；并能用計算（分析）獲得的數據解釋現實生活中的實際問題，進一步感受“數學來源于生活，又服務于生活”.

教學目標（3）達成的標志是：感受數學思維的嚴謹性，在問題解決過程中將數據計算和圖表觀察相結合，進一步體會各種統計量的典型特點，并在實際問題的解決中可以靈活選擇相關統計量.

教學問題診斷分析

1. 學生已有基礎分析

在信息技術不斷發展的社會，特別是大數據時代的來臨，時刻要求我們要在紛繁復雜的數據中獲取有用的信息，進而做出合理的判斷與選擇. 在學生的生活和整個學習過程中，數據的分析貫穿始終，高中階段更是將數據分析作為六大核心素養之一，可見數據的分析對學生生活和學習來說非常重要.

學生在1-5年級已經經歷了“簡單數據統計過程”（《課標2022》將其改為：數據的收集、整理與表達，是對“數據分類”的進一步學習），對本章所學內容已經有了簡單的認識；進入六年級，學生經歷了更為完整的數據收集過程，并對數據進行了初步的整理，能用適當的圖表反映數據信息.

結合《課標2022》，與數據的分析有關內容的比較如表1所示.

通過上面的分析可以看出，學生經過第二學段和第三學段的學習，對數據的收集、整理、分析和表達已經有了初步的認識，同時對各種統計圖表也有了初步的了解，這就為第四學段相關內容的進一步學習奠定了堅實的基礎.

2. 學生基礎與目標的差距

學生雖然在小學階段掌握了數據分析的簡單方法，進入初中則對相關內容提出了更高的要求，學生在學習過程中實際情況可能與預期目標存在差距，所以需要“具體問題具體分析”. 學生基礎與目標差距的比較如表2所示.

3. 教學難點

通過上述分析，可確定本章的教學難點是：

在真實情景中，在具體問題中，在復雜數據中，切實感受各種統計量對數據分析的刻畫，以及各種統計圖表對各種統計量的描述.

教學支持條件分析

由于學生處于大數據時代，每天都面臨著對紛繁復雜的數據做出判斷和選擇，只是身在其中，沒有察覺. 為此，教學中教師應該為學生呈現多樣的情境，讓學生在真實、具體的情境中，經歷數據分析的完整過程. 筆者認為，應提倡布置前置作業，引導學生在課前以小組或個人的形式對數據進行收集和整理，課堂中再進行數據分析，隨后根據分析結果做出判斷和選擇. 基于此，教師還應該為學生提供長作業，引導他們結合現實生活中的真實情境和實際需要開展項目式學習和綜合實踐活動.

由于數據紛繁復雜，所以教學中教師可在計算方面為學生提供支持，比如提供計算器，引導學生采用計算器的統計功能方便求出一組數據的平均數和方差；甚至在教學中可以嘗試用計算機等現代化手段進行數據的處理和分析. 特別地，在實際教學中，教師還可以對EXCEL表格的計算功能進行簡單介紹，引導學生感受相關軟件為數據處理帶來的方便，以激發學生的學習興趣.

單元整體設計

為了更好地進行單元整體設計，體現知識的系統性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，下面以魯教版教材為藍本，借鑒人教版教材部分處理方式，在教材比較的基礎上給出單元整體設計，為此對這兩個版本教材相關內容進行比較，詳見表3.

通過上述比較可以看出，兩個版本教材在內容設置和問題處理上方式基本一致，都是通過具體情境引導學生感受數據的集中趨勢和數據的波動程度，將數據計算和圖表觀察統一起來，引導學生感受統計圖表的直觀性和數據計算的嚴謹性. 基于此，本章教學力求將所學內容統一在具體情境中，引導學生經歷數據的收集、整理、分析、判斷和選擇的整個過程，簡單思路如下.

（1）給出某一具體情境，引導學生自主發現問題和提出問題，確定調查方向，設計調查問卷等，為數據收集提供基礎（前置作業，課前完成）.

（2）對收集的數據進行整理，可以是在小學階段學習的簡單統計表格，也可以是進入初中后學習的條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖等（前置作業，課前完成）.

（3）引導學生在觀察圖表的基礎上做出初步判斷，并提出問題“如何讓判斷更加精準（或誰更好，誰更穩定等）”，從而引出統計量學習的必要性（通過具體情境的分析，給出相關“問題串”的解答，并沿用相同的背景. 為此，在課后作業設計中同樣采用一條主線，圍繞本節課所學，以及下節課將要學習的內容進行呈現，作業設計中同樣體現“前后一致和邏輯連貫”）.

（4）在實際問題解決過程中感受統計量提出的合理性，經歷探索過程，通過“為何引入加權平均數？方差公式是如何得到的”等大問題開展具體教學.

（5）再次回歸統計圖表，能夠通過統計圖表去計算各種統計量.

（6）做出判斷和選擇，并不斷提出改進措施，完善相應方案，進一步為決策提供數據支持（長作業，貫穿本章學習的整個過程）.

在此基礎上，重新劃分課時，共計6個課時，如表4所示.

上述單元設計體現了內容的一致性和連貫性，符合單元設計的基本理念，歡迎更多的一線教師參與進來，給出更多合理、有效的設計，為初中數學教學貢獻一分自己的力量.

參考文獻：

［1］章建躍. 課堂教學要注重數學的整體性［J］. 中小學數學（高中版），2013（05）：66.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.