用尺規(guī)作角：基于學(xué)生理解的探究教學(xué)的實(shí)踐思考

趙徐敏

［摘? 要］ “用尺規(guī)作角”是一節(jié)頗有趣味性和挑戰(zhàn)性的探究課. 文章旨在基于學(xué)生理解找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)，設(shè)計(jì)量身打造的探究路徑，并在逐步優(yōu)化中獲得作圖方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 用尺規(guī)作角；前置性學(xué)習(xí)；優(yōu)化策略；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

問(wèn)題提出

“用尺規(guī)作角”是一節(jié)頗有趣味性和挑戰(zhàn)性的探究課，很多教師都做出過(guò)富有創(chuàng)造性的教學(xué)嘗試. 藍(lán)海鵬老師在文章《尺規(guī)作角原理的探究活動(dòng)與思考》［1］中給出了三種探究方案（如圖1所示）：（1）借助量角器量角、畫(huà)角探究“弧上取點(diǎn)”，即引導(dǎo)學(xué)生從“一般量角器量角、畫(huà)角—極簡(jiǎn)量角器量角、畫(huà)角”的探究遷移到用尺規(guī)作角的探索. （2）借助角的概念探究“圓上取點(diǎn)”，即利用角的兩種定義（靜態(tài)與動(dòng)態(tài)）引導(dǎo)學(xué)生得到確定D′點(diǎn)的兩個(gè)條件，從而獲得用尺規(guī)作角的原理和方法. （3）借助等角重合原理探究“三角形取點(diǎn)”，即利用木棒擺角活動(dòng)將兩角相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形重合（全等）問(wèn)題，從而掌握用尺規(guī)作角的方法.

在上述三種探究方案中，不少公開(kāi)課展示的是第一種，筆者備課時(shí)也偏向于此. 但學(xué)生的真實(shí)想法是怎樣的呢？他們?cè)谡n前的前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單中提出的設(shè)想給了筆者一些新的啟示，在此基礎(chǔ)上筆者修改了原來(lái)的教學(xué)設(shè)計(jì). 現(xiàn)將這節(jié)課呈現(xiàn)出來(lái)，與讀者共享.

內(nèi)容與目標(biāo)

“用尺規(guī)作角”是北師大版七年級(jí)下冊(cè)第二章“相交線(xiàn)與平行線(xiàn)”第4節(jié)的內(nèi)容，位于“相交線(xiàn)與平行線(xiàn)”之后、“三角形全等的判定條件”之前. 本節(jié)課主要探索用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法，使學(xué)生在初步掌握尺規(guī)的用法和用途的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用尺規(guī)作更復(fù)雜的圖形. 用尺規(guī)作角需要學(xué)生聯(lián)系“線(xiàn)線(xiàn)相交得到點(diǎn)”的思維確定角的另一邊，體會(huì)確定性思想，感受用尺規(guī)作圖的價(jià)值. 本節(jié)課為學(xué)生在本冊(cè)第四章中學(xué)習(xí)判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)（“SAS”“ASA”），運(yùn)用尺規(guī)“過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)”“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)”等內(nèi)容起著基礎(chǔ)性作用.

基于上述分析可獲得如下教學(xué)目標(biāo).

（1）經(jīng)歷用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的探究過(guò)程，掌握用尺規(guī)作角的方法，感悟確定性思想，體會(huì)用尺規(guī)作圖的價(jià)值.

（2）優(yōu)化用尺規(guī)作角的步驟，體會(huì)優(yōu)化策略的重要性，積累優(yōu)化策略的意識(shí).

前置性學(xué)習(xí)任務(wù)

交給學(xué)生的前置性學(xué)習(xí)任務(wù)是讓學(xué)生思考并嘗試解決下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：回顧用尺規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段的方法，并思考這對(duì)你解決問(wèn)題2有什么啟示.

問(wèn)題2：請(qǐng)嘗試用尺規(guī)作一個(gè)角等于∠AOB（如圖2所示），并說(shuō)一說(shuō)每一步的理由.

在查閱學(xué)生所完成的前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單時(shí)，當(dāng)看到一位學(xué)生在圖形中畫(huà)的線(xiàn)段CD（如圖3所示）時(shí)，筆者在他的任務(wù)單上打了個(gè)“？”，猜想他是否運(yùn)用了“SSS”（判定兩個(gè)三角形全等的方法）來(lái)作角，畢竟個(gè)別學(xué)生提前了解第四章的知識(shí)也是很有可能的. 但是當(dāng)看到越來(lái)越多的學(xué)生作圖的第一步都是這樣的，筆者意識(shí)到需要了解學(xué)生的真實(shí)想法. 通過(guò)與學(xué)生交流，筆者推翻了自己原來(lái)的判斷. 他們認(rèn)為，要畫(huà)出一個(gè)角等于已知角，需要讓這兩個(gè)角的“張口”一樣大，而直尺能夠畫(huà)線(xiàn)段、圓規(guī)能夠“量”線(xiàn)段，于是想到將角的“張口”大小轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段CD的長(zhǎng)短. 也就是說(shuō)，學(xué)生作圖時(shí)設(shè)想的是將“作角”轉(zhuǎn)化為“作線(xiàn)段”. 這是一個(gè)富有創(chuàng)造性的想法. 事實(shí)上，這就是“作一個(gè)角等于已知角”的基本策略. 由此筆者意識(shí)到，學(xué)生最先考慮的是用尺規(guī)作“三弧兩線(xiàn)”中的最后一條弧，并非如上述方案一那樣按順序作三條弧. “有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一”［2］，只有基于學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的真實(shí)問(wèn)題才能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生深度思考. 基于對(duì)學(xué)生思維的了解，在本節(jié)課中，筆者以“確定線(xiàn)段CD”為教學(xué)起點(diǎn)，組織學(xué)生深入探究本節(jié)課的內(nèi)容.

課堂教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 提出問(wèn)題

問(wèn)題1? 如何用尺規(guī)作一個(gè)角等于∠AOB（如圖2所示）？

在運(yùn)用“前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單的問(wèn)題1”引導(dǎo)學(xué)生回顧“用尺規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”的基本步驟的基礎(chǔ)上，歸納獲得兩點(diǎn)啟示：（1）先畫(huà)一條射線(xiàn)，則“用尺規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”的要求最終簡(jiǎn)化為確定線(xiàn)段的另一個(gè)端點(diǎn)，蘊(yùn)含了簡(jiǎn)化思想. （2）確定一個(gè)點(diǎn)的位置需要兩條線(xiàn)，依據(jù)的是“線(xiàn)線(xiàn)相交得到點(diǎn)”，蘊(yùn)含了確定性思想.

追問(wèn)：用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，歸根結(jié)底，是要用尺規(guī)確定什么？

通過(guò)思考，學(xué)生得到基本作圖思路：先畫(huà)一條射線(xiàn)（角的始邊），根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，將角的終邊的確定簡(jiǎn)化為終邊上的第二個(gè)點(diǎn)的確定.

2. 引導(dǎo)探究

問(wèn)題2? 你是如何確定終邊上的第二個(gè)點(diǎn)的？

學(xué)生甲提出，需要把代表角的“張口”大小的線(xiàn)段CD復(fù)制到所求作的角上的相同位置C′D′.他在射線(xiàn)OA上隨便找一點(diǎn)D，在射線(xiàn)OB上隨便找一點(diǎn)C，連接CD（如圖3所示），然后通過(guò)目測(cè)在O′A′上找到差不多的位置固定圓心D′，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再通過(guò)目測(cè)在弧上找到點(diǎn)C′（如圖4所示）.

其他學(xué)生指出學(xué)生甲作圖的問(wèn)題：圓心D′的位置不精確，就無(wú)法保證能在所求作的角上的相同位置找到C′D′. 如果點(diǎn)D′靠近點(diǎn)O′，畫(huà)出來(lái)的角可能就會(huì)大一些（如圖5所示）；如果點(diǎn)D′遠(yuǎn)離點(diǎn)O′，畫(huà)出來(lái)的角可能就會(huì)小一些（如圖6所示）.

教師點(diǎn)撥：學(xué)生甲通過(guò)確定線(xiàn)段的長(zhǎng)度來(lái)確定角的大小，并希望在兩個(gè)角上的相同位置作出C′D′=CD. 但他的操作只能實(shí)現(xiàn)C′D′=CD，而它們的位置無(wú)法確定.

問(wèn)題3? 為何在兩個(gè)角上的相同位置作出C′D′=CD就表示兩個(gè)角相等呢？

學(xué)生聯(lián)想到七年級(jí)上冊(cè)用疊合法比較角的大小的方法，發(fā)現(xiàn)讓兩個(gè)角的頂點(diǎn)對(duì)齊，在相同位置上的代表“張口”大小的線(xiàn)段CD和C′D′如果完全重合，那么角的兩條邊就完全重合，也就說(shuō)明這兩個(gè)角重合，從而得到這兩個(gè)角的大小相等.

教師點(diǎn)撥：如果兩個(gè)角相等，那么就意味著這兩個(gè)角完全重合，因此學(xué)生甲的作圖愿望是可以理解并且是正確的.

教學(xué)思考? 問(wèn)題2讓學(xué)生分享前置性學(xué)習(xí)任務(wù)中的設(shè)想，并引導(dǎo)其他同學(xué)思考學(xué)生甲的設(shè)想與實(shí)際操作之間的不一致，進(jìn)而明晰線(xiàn)段CD和C′D′的位置和大小必須同時(shí)滿(mǎn)足要求的必要性和合理性. 課堂以此設(shè)想為探究起點(diǎn)，為后面的探究路徑提供了思考方向.

問(wèn)題4? 如何實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段C′D′和線(xiàn)段CD在兩個(gè)角上的位置相同呢？

學(xué)生乙認(rèn)為，確定線(xiàn)段的位置就是確定線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的位置，也就是點(diǎn)C′和點(diǎn)D′的位置，它們到角的頂點(diǎn)O′的距離與點(diǎn)C和點(diǎn)D到角的頂點(diǎn)O的距離要相等. 學(xué)生丙認(rèn)為，點(diǎn)D′的位置很好確定，它在射線(xiàn)O′A′上，又O′D′=OD，所以只需要以O(shè)′為圓心，OD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧與射線(xiàn)O′A′的交點(diǎn)就是點(diǎn)D′；然后以D′為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，那么點(diǎn)C′就在這條弧上.

教師追問(wèn)：如何確定點(diǎn)C′的位置呢？

根據(jù)“線(xiàn)線(xiàn)相交得到點(diǎn)”可知，確定點(diǎn)C′的位置還需要第二條弧，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這跟剛才確定點(diǎn)D′的位置是一樣的道理，需要讓O′C′=OC，故以O(shè)′為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前一條弧的交點(diǎn)就是點(diǎn)C′.

教學(xué)思考? 在這個(gè)尺規(guī)作角的探究活動(dòng)中，基于學(xué)生的理解得到初步作圖順序是“代表角的‘張口大小的線(xiàn)段CD→代表‘相同位置的點(diǎn)D′→代表‘相同位置的點(diǎn)C′”，梳理出作圖步驟是“畫(huà)線(xiàn)段CD→畫(huà)射線(xiàn)O′A′→以O(shè)′為圓心，OD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線(xiàn)O′A′于點(diǎn)D′→以D′為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧→以O(shè)′為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交前一條弧于點(diǎn)C′→畫(huà)射線(xiàn)O′C′（即射線(xiàn)O′B′）”. 這個(gè)作圖步驟需要畫(huà)一條線(xiàn)段CD、度量三次、畫(huà)三條弧、畫(huà)兩條射線(xiàn)（如圖7所示）. 比標(biāo)準(zhǔn)的作圖步驟要多畫(huà)一條線(xiàn)段和多度量?jī)纱?

問(wèn)題5? 觀察剛才的作圖步驟，我們發(fā)現(xiàn)作∠A′O′B′時(shí)，并不需要連接C′D′，那么是否可以不連接CD而同樣完成愿望呢？

學(xué)生開(kāi)始認(rèn)為需要用線(xiàn)段CD表示角的“張口”的位置和大小，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)作圖中真正起作用的是線(xiàn)段CD的兩個(gè)端點(diǎn)C和D. 而且在進(jìn)一步作圖嘗試中發(fā)現(xiàn)，作圖順序可以簡(jiǎn)化為：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線(xiàn)OA于點(diǎn)D后，不改變圓規(guī)的半徑，直接到射線(xiàn)O′A′上畫(huà)弧即可找到點(diǎn)D′. 不僅少了畫(huà)線(xiàn)段CD這一步，還少了一次度量.確定點(diǎn)C的位置也是一樣的道理.

教學(xué)思考? 作圖優(yōu)化是作圖探究的進(jìn)一步提升，但當(dāng)線(xiàn)段CD的作用在學(xué)生頭腦中如此重要時(shí)，學(xué)生很難將其省略掉，這需要教師用問(wèn)題去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)另一種更簡(jiǎn)便的方法——對(duì)線(xiàn)段CD“去其形而取其用”——只需確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置即可：用圓規(guī)以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與∠AOB的兩邊相交來(lái)確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置. 這樣作圖只需要畫(huà)五條弧、度量一次和畫(huà)兩條射線(xiàn)（如圖8所示），比之前的作圖步驟優(yōu)化了一些，離標(biāo)準(zhǔn)的作圖步驟也非常近了.

追問(wèn)：我們這個(gè)作圖方法、步驟是否還可以進(jìn)一步優(yōu)化呢？請(qǐng)大家再作圖嘗試看看.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，OC和OD可以一樣長(zhǎng)，這樣一條弧就可以直接確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置，從而作圖步驟就優(yōu)化為畫(huà)三條弧、度量一次和畫(huà)兩條射線(xiàn)，作圖順序再進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，最終與標(biāo)準(zhǔn)的作圖步驟的“三弧兩線(xiàn)”達(dá)成一致.

教學(xué)思考? 在“想得到”問(wèn)題解決方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)作圖過(guò)程的不斷優(yōu)化，使思路更加清晰可觀，從而“想得透”問(wèn)題解決方法的本質(zhì)，最終用尺規(guī)作角“做得妙”.

3. 拓展延伸

問(wèn)題6? 已知∠α，∠β，用尺規(guī)作∠AOB=∠α+∠β.

教學(xué)思考? 經(jīng)歷之前的探究活動(dòng)和優(yōu)化作圖活動(dòng)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)作一個(gè)角等于兩個(gè)已知角的和，不是簡(jiǎn)單地疊加兩次作角步驟即“六弧三線(xiàn)”（兩個(gè)角有一條邊重合），而是在∠α和∠β所畫(huà)的弧的半徑相同的基礎(chǔ)上，可以簡(jiǎn)化為“五弧兩線(xiàn)”（如圖9所示）. 學(xué)生在應(yīng)用尺規(guī)作圖中，既鞏固用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法，又積累優(yōu)化作圖方法的思維經(jīng)驗(yàn).

4. 評(píng)價(jià)反思

問(wèn)題7? 經(jīng)歷本節(jié)課用尺規(guī)作角的探究，你有什么想法？

教學(xué)思考? 以問(wèn)題為載體，通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的解析、對(duì)作圖方法的探索、對(duì)優(yōu)化過(guò)程的反思，學(xué)生基于自己的理解，概括用尺規(guī)作角的方法——確定兩要素（代表角的“張口”的線(xiàn)段CD的位置和大小）；學(xué)生可從自己提出的設(shè)想中獲得成就感，從優(yōu)化策略中學(xué)會(huì)舉一反三，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神.

教學(xué)思考

1. 基于學(xué)生的理解找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)

在日常教學(xué)中，教師容易從自己的角度和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，確定學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)和學(xué)習(xí)起點(diǎn). 但在教學(xué)中有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的表現(xiàn)并不符合教師的“預(yù)設(shè)”，這說(shuō)明教師備課時(shí)，找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)并不是一件容易的事情，這需要基于學(xué)生的真實(shí)學(xué)情來(lái)作判斷. 本節(jié)課借助前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單，初步了解學(xué)生對(duì)尺規(guī)作角的設(shè)想，并在與學(xué)生的交流中進(jìn)一步了解學(xué)生這種設(shè)想的由來(lái)，知道了學(xué)生在∠AOB上畫(huà)出線(xiàn)段CD的真正目的，由此改變了筆者先前對(duì)學(xué)生是利用“SSS”這個(gè)三角形全等的基本事實(shí)進(jìn)行尺規(guī)作角的解讀，找準(zhǔn)了教學(xué)起點(diǎn). 事實(shí)證明，像這樣基于學(xué)生的理解而確定的教學(xué)起點(diǎn)更符合因材施教的教育理念，學(xué)生能更加積極主動(dòng)地參與課堂探究活動(dòng).

2. 基于學(xué)生的理解設(shè)計(jì)探究路徑

有了探究起點(diǎn)，探究課還需要基于學(xué)生的理解設(shè)計(jì)探究路徑. 根據(jù)學(xué)生提出的設(shè)想和愿望——在求作的角上的相同位置作出與CD等長(zhǎng)的線(xiàn)段，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)暫時(shí)無(wú)法達(dá)成“相同位置”這個(gè)目標(biāo)，于是將其分解為幾個(gè)小目標(biāo)，并依據(jù)確定性思想和尺規(guī)工具使用的規(guī)則，一步步實(shí)現(xiàn)確定位置的愿望. 接著通過(guò)調(diào)整操作順序和步驟，優(yōu)化作圖過(guò)程，最終達(dá)成了“標(biāo)準(zhǔn)”的用尺規(guī)作角的目的. 這個(gè)探究過(guò)程是在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上量身打造的，以目標(biāo)為導(dǎo)向，以問(wèn)題鏈的方式引向深度思考，用逆向推理的方式找到實(shí)現(xiàn)愿望的路徑. 而最后的優(yōu)化策略則鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步改進(jìn)和完善自己的探究成果，讓學(xué)生識(shí)得用尺規(guī)作角的真面目，眼前豁然開(kāi)朗的同時(shí)，思維清晰且更有深度.

參考文獻(xiàn)：

［1］藍(lán)海鵬. 尺規(guī)作角原理的探究活動(dòng)與思考［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（23）：32-35.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.