融通算理算法，構建知識體系

張曉鋒 姚靈娣

【摘 要】數的運算重點在于理解算理、掌握算法，滋養學生的算“術”智慧。文章以“小數乘小數”的教學為例，將小數乘小數與整數乘法勾連，引導學生積極推理明晰算理，比較溝通掌握算法，靈活估算發展數感，逐步提升運算教學的育人價值。

【關鍵詞】數學運算 算理 算法 教學策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數的運算重點在于理解算理、掌握算法，數與運算之間有密切的關聯……經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。

“小數乘小數”是蘇教版數學五年級上冊“小數乘法和除法”單元的教學內容。整數乘法和小數乘整數的算理算法與積的變化規律等是學生學習“小數乘小數”的學習基礎。筆者以為，本課教學應創設真實情境，觸發學生學習的“興奮點”，引導學生自主遷移，結合圖形，從計數單位的角度理解小數乘小數的算理，探索并掌握小數乘小數的算法，且快速、準確地為積的小數點“定位”，發展學生的數感與推理意識。

片段一：創設真實情境，點燃學習熱情

課件呈現老師家的戶型圖（圖中標注了主臥長4.2米、寬3.5米，次臥長3.8米、寬3.2米，陽臺長3.2米、寬1.15米，衛生間長3米、寬2.8米）。

師：同學們，這是老師家的戶型圖，這套房子的面積是98.6平方米。你們從圖中看到了哪些數學信息？

學生回答。

師：仔細觀察老師家的戶型圖，你們能提出哪些數學問題？

生1：我想知道陽臺的面積有多大。

生2：我想知道次臥的面積有多大。

生3：我想知道主臥比次臥大多少。

生4：我想知道這套房子的總價。

……

師：同學們想知道的挺多！這些問題都可以通過乘法計算得出答案。請大家先算出衛生間的面積，再互相說說整數乘小數的計算方法。

師：我們算出衛生間的面積是8.4平方米。你們能列式計算次臥的面積嗎？請每個同學嘗試列豎式計算。（板書3.8×3.2）

……

【思考】情境認知理論認為，基于現實世界的真實情境是學習者學習的基本條件，任何脫離特定情境或場合的知識都是毫無意義的。學生對生活中的一些真實問題最感興趣。以老師家的戶型圖作為學習素材導入，能激發學生的好奇心與解決問題的內在需求，也為學生積極提出不同問題、列出不同的乘法算式提供了條件。比較契合數學眼光的主要表現之一為“能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究；逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣，發展好奇心、想象力和創新意識”。創設真情境、解決真問題、引領真學習，有利于實現學習與現實的有意義聯結。

片段二：增強估算意識，豐富學生數感

師：同學們，3.8×3.2的積是多少？我們先估算一下！

生1：我把3.8×3.2當成4×3估算，積大約是12。

生2：我把3.8×3.2當成3.8×3估算，積大約是11.4。

生3：我把3.8×3.2當成4×4估算，積大約是16，不過積一定小于16，因為這是大估。

生4：我把3.8×3.2當成3×3估算，大約是9，我用的是小估！

師：大家的估算方法多樣，估計積在9到16之間。大部分同學估算的積約為12。我們先把這個估算結果記錄下來，等會兒將其與豎式計算結果比對。

……

師：同學們，下面三個豎式（見圖1）計算對嗎？先判斷，然后把不正確的改正過來。

師：誰能很快判斷出這三道題的對錯？

生1：第一個豎式是2.5×3.5，我大估成3×4口算，積是12，87.5太大了！第二個豎式是16.4×4.5，我小估成16×4口算，積是64，7.38太小了。

師：大家同意他的判斷方法嗎？通過估算可以很快知道兩個數相乘的積的大致范圍，如果相差太大那就錯了。第三個豎式哪里錯了？

生2：我認為第三個豎式的得數也可以通過估算判斷，把它估成80×0.04，積是3.2，32.92太大！還可以把82.3大估成100，100×0.04=4，仍然比32.92小得多！

生3：我有不同的判斷方法！我是從積的小數位數看的。請看，第一個豎式的積應該是兩位小數，而這里是一位小數；第二個豎式的積應該是兩位小數，而這里是三位小數；第三個豎式的積應該是三位小數，而這里是兩位小數。所以三道題都算錯了！

師：善于思考，方法靈活！

師：估算的功能的確強大！判斷一個乘法豎式的積是否正確，既可以通過估算判斷，也可以通過確定積是幾位小數判斷。大家在日常計算中，要養成估算的好習慣，完成計算后再檢查、反思，給自己的計算加個保險！

【思考】估算能力是運算能力中一項必備能力，有助于發展學生的內省智能。新課標指出，估算教學要借助真實情境，引導學生在選擇合適單位估算的基礎上，感悟選擇合適的方法估算的重要性，提高解決問題的能力，發展初步的應用意識。教師在學生嘗試計算前先引導學生估算，喚醒他們先估再算的意識，最后將估算值與豎式計算結果對照，發展學生的內省智能。借助教材中的三個有錯的豎式組織學生判斷，促進思考，引導學生從估算的角度與確定小數點位置的角度辨錯。這樣能拓寬辨析視角，強化估算能力。抓實關鍵“一點”，學生計算小數乘法中的“點點”技能得以強化與鞏固，從不同視角解決同一問題的經驗不斷豐富，運算素養也得以逐步提升。

片段三：發展推理意識，滋養算“術”智慧

師：請同學們自主嘗試，列豎式計算3.8×3.2的積，算好后在小組內交流自己的算法。

學生列豎式計算，教師巡視指導。

全班交流，教師投影兩個學生列的豎式（略），積分別是12.16和121.6。

教師讓生判斷哪個積正確，學生聯系前面估算的積約是12，判定得數121.6錯誤，12.16正確。

師：誰愿意說說自己的計算過程？關鍵要講清楚你是怎么想的。

生1：我先把3.8×3.2看成整數乘法計算，就是看成38×32來計算，積是1216。因為3.8×10等于38，3.2×10等于32，兩個乘數都乘了10，所以最后要根據積的變化規律，把兩個整數相乘的積1216除以100，就能得出正確的積12.16?。ㄒ妶D2）

師：我們可以應用積的變化規律，將一位小數乘一位小數轉化為整數乘整數，最后在積的相應位置點上小數點。怎樣確定積的小數點位置？

生1：把1216÷100，就是把小數點向左移動兩位，得到12.16。

師：同學們真棒，善于聯系、樂于思考。小明想和大家分享他的不一樣的計算過程。

師：誰看懂了他的算式？說說自己的理解。

生2：他是從計數單位的角度來計算的，38個0.1乘32個0.1，0.1×0.1表示新的計數單位，1216表示新的計數單位的個數。

師：想一想，0.1×0.1能得到哪個新的計數單位？很多人猜是0.01，你們的數感真好，確實是0.01。讓我們通過動畫了解0.01的“出生歷程”。

學生觀看動畫了解0.01的產生過程（見圖3）。先把一個正方形橫著等分10份，1份是，即0.1；再豎著等分10份，1份也是，即0.1。學生看明白了將計數單位細分的過程，即將一個正方形分了再分，等分成100份，每份為0.01。

師：小明從計數單位的角度理解小數乘法計算的道理。大家能理解嗎？

生3：3.8的計數單位是0.1，它有38個0.1；3.2的計數單位是0.1，它有32個0.1。可以把3.8×3.2看成38×0.1×32×0.1。先算0.1×0.1，得到的0.01是一個新的計數單位，而38×32得到的是新的計數單位的個數，是1216。1216個0.01就是12.16。

師：思路清晰，表達有序。大家能將列豎式計算與從計數單位的角度計算聯系起來嗎？先獨立思考，再在小組內交流。

（教師組織全班交流）

生4：請看豎式（見圖2），3.8×10得到38，相當于38個0.1，3.2×10得到32，相當于32個0.1。38×32的積是1216，表示1216個0.01，即12.16。

師：妙！數學知識是有聯系的，數學是講道理的。將不同方法之間的“隔斷墻”打通，就會發現其中的共通之處！請大家列豎式計算老師家的陽臺面積，完成的同學還可以從計數單位的角度用遞等式計算。

生計算并交流。

生5：我先算115×32=3680，從豎式可以看出1.15乘100等于115，3.2乘10等于32，相當于把積乘1000，所以要將3680除以1000，也就是把小數點向左移動三位，得到積是3.680，最后把小數部分末尾的0劃掉，所以積是3.68。

師：他運用積的變化規律快速準確地算出了3.2×1.15的積。也有同學從細分計數單位的角度求出了積。請看?。ㄍ队皩W生資源）

師：大家都很善于學習！既能運用積的變化規律計算小數乘法，還能從計數單位的角度計算并理解其中的道理，了不起！我們一起回顧3.8×3.2和1.15×3.2兩個豎式，說說把它們看成整數乘法算出積后，怎樣準確、快速地確定積的小數點位置？有什么訣竅？

生6：兩個乘數中一共有幾位小數，積就是幾位小數。

生7：積是幾位小數，就從整數乘法得出的積的末尾往左數出幾位，再點上小數點，如果小數部分末尾有0，要把0劃去。

師：同學們真善于發現和歸納。你們能結合自己的發現，快速填寫下面的表格嗎？

乘數 1.5 0.15 15 0.15 0.015

乘數 4.8 48 0.48 4.8 4.8

積

師：請同學們先仔細觀察表中的數據，說說有什么發現。

生8：這些數據都與15和48有關，都是15個計數單位乘48個計數單位。

師：真善于觀察！同學們，只要計算一個乘法豎式的積，就能很快推算出這5個積。哪個乘法豎式這么重要？

生9：我認為是15×48。因為15×48=720，而第一列1.5×4.8的積是兩位小數，所以只要將720的小數點向左移動兩位，得到7.2。剩下四列都依此類推，如0.15×4.8=0.72，0.015×4.8=0.072，等等。

【思考】學起于思，思深于聯。算理與算法是運算能力的兩翼。新課標增加了“感悟運算的一致性，發展運算能力和推理意識”這一要求，讓學生感悟“多少個計數單位”的表達是算理和算法的基礎，促進學生對核心概念“計數單位的‘累加”的理解。教師先鼓勵學生獨立嘗試列豎式計算3.8×3.2，促進學生遷移學習，學生自覺調用前一課的學習經驗，利用積的變化規律正確計算，發展推理意識。設計中增加一個環節，引導學生從計數單位的角度計算，旨在落實新課標提出的運算一致性要求，同時將應用積的變化規律計算和從計數單位的角度計算相互勾連，順暢銜接，幫助學生明晰算理，便于學生進一步感悟計數單位在運算中的作用及運算的一致性。此外，以畫圖、動畫演示等方式幫助學生理解0.1×0.1得到新的計數單位0.01，直觀形象。整個學習過程有效地融通算理、算法，有助于學生自主建構知識體系。