運用二次函數求解動點問題

潘彩輝

? 甘肅省定西市臨洮縣洮陽初級中學

點是幾何圖形的基本構成要素.點的運動會引起線段、角度甚至圖形形狀的改變[1].運用二次函數解決初中數學中的動點問題,既要厘清點與線段、角度、圖形的邏輯關系,又要注重二次函數性質的活用以及所求問題的靈活轉化,實現動點問題的巧妙突破.

1 幾何圖形類動點問題

例1如圖1,已知直角三角形ABC中∠C=90°,BC=6,AC=10.D為AC的中點,P是BC上的一動點.將點P繞著點D逆時針旋轉90°得到點P′,則AP′的取值范圍為______.

圖1

分析：深刻理解題意,確定點P運動過程中“變”與“不變”的量,構建“變”與“不變”量之間的內在聯系是解題的關鍵.需要注意的是構建參數關系時應結合實際情況,以避免不必要的計算[2].該題中借助△DCP≌△P′ED實現“變量”的轉化,創設勾股定理應用情境,借助二次函數性質作答,尤其為避免分類討論,需注重絕對值的巧妙應用.

解：過點P′向AC作垂線,垂足為E,如圖2所示.

圖2

由題設可知,CD=DA=5,DP=DP′,∠PDP′=90°.

由∠CDP+∠EDP′=90°,∠EDP′+∠EP′D=90°,得∠CDP=∠EP′D,于是△DCP≌△P′ED(AAS),則PC=DE,CD=EP′=5.

令PC=DE=x(0≤x≤6),則AE=DA-DE=|5-x|.

在Rt△AEP′中,由勾股定理可得AP′2=AE2+EP′2=(5-x)2+25(0≤x≤6).

需要注意的是,當x=6時,點E在線段CA的延長線上.

2 拋物線類動點問題

例2如圖3,已知拋物線過A(-2,0),B(8,0),C(0,4)三點,點D和點C關于x軸對稱,點P(m,0)為x軸上的一個動點,過點P作x軸的垂線l和拋物線、直線BD分別交于點Q,M.

圖3

(1)求該拋物線的表達式.

(2)若點F(0,1),當點P在x軸上運動,使得四邊形DMQF為平行四邊形,求m的值.

(3)點P在線段AB上運動期間,是否存在點Q,使得以點B,Q,M為頂點的三角形與△BOD相似?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

分析：該題由三個小問構成,難度依次增加.對于問題(1),采用待定系數法即可求解;問題(2)需靈活應用平行四邊形的判定定理,借助坐標運算建立線段FD和線段QM的相等關系,求出參數m;問題(3)因△BQM中的直角不確定,需分類討論,討論過程中應注意二次函數對應方程根的情況,將根代入題設情境進行合理取舍,保證最終結果的正確性.

(2)由點D和點C關于x軸對稱,得D(0,-4).

根據題意,得FD∥QM,若四邊形DMQF為平行四邊形,則只需FD=QM.

解得m1=-2,m2=6.

(3)由FD∥QM,得∠ODB=∠QMB,接下來需要分類討論.

①如圖4所示,當∠BQM=90°時,點Q和點A重合,點M為M′滿足△BQM∽△BOD,此時點Q(-2,0).

圖4

綜上,點P在線段AB上運動期間,存在點Q使得以B,Q,M為頂點的三角形與△BOD相似,對應的點Q的坐標為(-2,0)或(6,4).

3 實際情境類動點問題

例3選取公園里過山車某一部分軌道,可將其近似看成拋物線,F為出發點,構建如圖5所示的平面直角坐標系,其中x軸表示地面,E,H兩點均在x軸上,測得OE=3 m,OF=9 m,忽略軌道厚度.

圖5

(1)求拋物線FEG的函數關系式.

分析：該題是實際問題的抽象,考查的知識既有點的運動,又有拋物線的平移,對理解能力的要求較高.其中問題(1)難度不大,結合構建的平面直角坐標系,根據給出的點的坐標不難求出拋物線的函數關系式;解答問題(2)需通過計算明確拋物線FEG、拋物線KHQ的位置關系,結合拋物線的平移規律求出拋物線KHQ的表達式,構建一元二次方程得出結果.

解：(1)根據題意可知F(0,9),E(3,0).設拋物線FEG的函數關系式為y=a(x-3)2,將點F坐標代入得9=a(0-3)2,解得a=1,則拋物線FEG的函數關系式為y=(x-3)2.

由拋物線的平移規律可得,拋物線KHQ的表達式為y=(x-3-6)2,即y=(x-9)2.令(x-9)2=4,解得x1=7,x2=11.當過山車與地面相距為4 m時,距離出發點分別為7 m或11 m.

綜上所述,二次函數既是初中數學中的重要知識,又是解決動點問題的重要工具[3].為提高學習者運用二次函數解答動點問題的能力,應注重引導學習者夯實二次函數基礎,掌握二次函數不同表達式的特點,實現不同表達式之間的靈活轉化.同時,做好不同動點問題情境的解題展示,使學習者把握相關解題細節,能基于對題設情境的深刻理解正確畫出圖形,根據需要作出對應的輔助線,構建參數之間的等量關系,尤其是根據實際情況進行分類討論,確保問題得以順利、高效解決.