二次函數動點問題的解題思路

王小路

? 江蘇省連云港市海頭初級中學

二次函數動點問題對學生的想象能力要求較高[1].解決該類習題需從題干以及圖形出發尋找突破口,尤其應注重“化動為靜”,全面考慮各種滿足題設條件的情境.

1 求解參數范圍

例1(2021年·河南·統考中考真題)如圖1,拋物線y=x2+mx和直線y=-x+b交于點A(2,0)和點B.

圖1

(1)求m和b的值;

(2)求點B的坐標,并結合圖象寫出不等式x2+mx>-x+b的解集;

(3)M為直線AB上的一個動點,將點M向左平移3個單位長度得到點N.當線段MN和拋物線只有一個公共點時,直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍.

思路剖析：問題(1)將點A坐標分別代入到拋物線和直線解析式中,構建兩個方程求出m和b的值;問題(2)將拋物線和直線解析式聯立求出點B的坐標,運用數形結合法求出不等式的解集;問題(3)先確定線段MN的長度和方向,以點M為研究對象,從點A右側開始逐漸沿著直線AB運動,分析不同情況下MN和拋物線的交點,得出結論.

(2)由(1)得拋物線為y=x2-2x,其頂點坐標為(1,-1);直線為y=-x+2.

(3)由題意可得,A,B兩點的水平距離為3.

根據題意,直線MN為一條與x軸平行的直線,且線段MN的長為3.由于M為動點,坐標未知,因此,需要分類討論.

①當點M在點A的右側,線段MN和拋物線只有一個公共點時,線段MN經過拋物線的頂點(1,-1).令-x+2=-1,解得x=3,此時xM=3.

②當點M在線段AB上時,要想滿足題意,則應滿足-1≤xM<2.

③當點M在點B的左側,則線段MN和拋物線不會有交點.

綜上分析,滿足題意的xM的取值范圍為-1≤xM<2或xM=3.

點評：例1情境較為復雜,吃透題設情境,準確判斷線段MN的走向,以點A和點B為分類討論的界限是解題的關鍵.

2 求解點的坐標

圖2

思路剖析：由∠ABC為銳角,知點M只能在直線BC下方右側拋物線上.先假設出點M,作出輔助線,運用∠ABC=∠MCB得出線段CN和NB的相等關系,再設出ON的長,借助勾股定理求出點N的坐標.最后,在此基礎上求出直線CN的解析式,與拋物線解析式聯立解出點M的坐標.

設點M的位置如圖3所示,連接CM和x軸交于點N.

圖3

由∠ABC=∠MCB,則CN=NB.令ON=x,則CN=NB=8-x.在直角三角形CON中,由勾股定理可得x2+42=(8-x)2,解得x=3,則點N(3,0).

點評：根據題意假設出點M的位置,將給出的角度關系轉化為線段間的相等關系,靈活運用勾股定理求出點N的坐標,求出直線表達式后與拋物線解析式聯立求得最終結果.

3 求解最值問題

例3(2022年·廣東·統考中考真題)如圖4,拋物線y=x2+bx+c(b,c是常數)的頂點為C,與x軸交于A,B兩點,A(1,0),AB=4,P為線段AB上的動點,過點P作PQ∥BC交AC于點Q.

圖4

(1)求該拋物線的解析式;

(2)求△CPQ面積的最大值,并求此時點P的坐標.

思路剖析：問題(1)根據已知條件求出點B的坐標,運用待定系數法即可求出結果.問題(2)首先求出拋物線頂點C的坐標,使用待定系數法分別求出直線BC和AC的解析式,然后根據PQ和BC的平行關系,設出直線PQ解析式,求出點P的坐標,最后結合圖形通過圖形面積關系表示出△CPQ的面積,運用二次函數性質,求出最值.

(2)由(1)可得y=x2+2x-3=(x+1)2-4,則點C(-1,-4).根據A,B,C三點的坐標,容易求得直線BC的解析式為y=-2x-6,直線AC的解析式為y=2x-2.

由二次函數性質可得,當m=-2時,S△CPQ取得最大值2,此時點P的坐標為(-1,0).

點評：該題綜合性較強,求解時需認真觀察圖形,既要注重數形結合,又要會運用已知條件進行靈活轉化,適當設出參數,搭建已知與未知參數之間的橋梁,化陌生為熟悉[2].

4 總結

上述三道例題情境較為典型,解題思路具有較強的代表性.從解題過程不難看出,二次函數動點問題的思路靈活多變,需在深刻理解題意的基礎上,敢于大膽假設,借助所學知識“化動為靜”,運用題設條件抽絲剝繭,嚴謹推理,認真計算,得出結果[3].