小學生數學建模能力結構模型的建構研究

王 田周 達謝志勇劉 堅

小學生數學建模能力結構模型的建構研究

王 田1，2，周 達3，謝志勇4，劉 堅1，2

（1．北京師范大學 中國基礎教育質量監測協同創新中心，北京 100875；2．北京師范大學 中國教育創新研究院，廣東 珠海 519087；3．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024；4．華南師范大學 教師教育學部，廣東 廣州 510631）

為了發展小學生數學建模能力，提升學生使用數學解決現實問題的意識和能力，研究探究了小學生數學建模能力的要素和結構．基于皮亞杰的認知發展階段理論，使用出聲思維和實物收集的方式收集小學生在解決數學建模任務時的思維過程，采用扎根理論的方法對轉錄后的質性數據進行編碼，構建小學生數學建模能力的結構模型．研究結果發現：小學生數學建模能力可以分為數學建模元認知能力與數學建模過程能力兩部分，數學建模元認知能力可以分為定向與計劃、監控與調節、評價與改進3個維度，數學建模過程能力包括理解信息、建立模型、數學運算和解釋驗證4個維度．結構模型的構建為進一步培養和測評小學生數學建模能力提供了理論依據．

小學生；數學建模能力；結構模型；元認知能力；扎根理論

1 問題提出

1.1 研究緣起

隨著信息技術的快速發展，數學的應用廣度和深度在不斷拓展，數學建模逐漸成為人類利用數學探索現實問題的重要途徑，是每天都可能會使用到的重要工具[1-2]．數學建模作為一種數學思想和數學理念，有助于學生應用和使用數學解決現實問題．因此，在21世紀各國數學課程改革中，數學建模能力的培養成為了很多國家數學課程標準中重要目標之一[3-7]．《普通高中數學課程標準（2017年版）》將“數學建模”列為六大數學學科核心素養之一，數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式[8]．在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，“模型意識”和“模型觀念”分別被納入小學和初中階段的核心素養主要表現[9]．對于小學生來說，培養數學建模意識和能力很重要，有助于學生創造力、審辨思維等素養的發展[10]．與更高年級的學生相比，小學生對數學的天性和積極性很高，而學習數學建模能夠啟發小學生使用數學工具的意識并為未來建立更加復雜的模型打下基礎[1]．然而，相比于中學生和大學生，國內外針對小學生的數學建模教育研究還很少[11]，并且缺乏對理論框架的研究[12]．因此，對小學生數學建模開展理論研究是非常必要的[13]．

1.2 文獻綜述

1.2.1 數學建模概念及其過程

數學建模的產生和發展與工業革命后數學教育改革的趨勢有著密切關系，數學在現實問題中的應用越來越得到關注[14]．1976年，Pollak在第三屆國際數學教育大會上提出了“建模”的定義并強調了數學的應用性[15]．因此，數學建模被認為是將數學應用于解決現實問題的過程[16]，在數學世界和現實世界之間進行雙向轉化[17]．具體來說，數學建模是應用數學對現實世界的現象進行表達、分析、預測或進行其他方式的深入探究的過程[1]．

對于應用數學解決現實世界中問題的數學建模過程，許多學者進行了深入的研究并不斷豐富和發展建模過程的步驟和階段模型．Blum首先提出了被稱為“建模過程”的數學建模循環的概念，建立了包含簡化與結構化、數學化、數學求解、解釋與應用的四階段數學建模循環模型[18]．Maa?和Kaiser等人將“解釋”作為連接數學結果與現實結果之間的一個重要步驟，提出了包含簡化、數學化、數學求解、解釋、驗證的五階段數學建模循環模型[19-20]．Blum在已有的建模循環模型基礎上進行完善和擴展，在如何生成數學模型的方面加入了更多的細節，形成了較為完善的七階段數學建模循環模型（見圖1）[21]，創建了建模過程中個體的角色，涵蓋了個體對情境的心理表征[14]．

圖1 七階段的數學建模循環模型

1.2.2 數學建模能力的內涵

數學建模能力的概念及內涵是伴隨著教育學和心理學中對能力或技能結構的關注而產生的[12]．對于數學建模概念的定義主要可以分為兩種不同的方式：自上而下以及自下而上的方式[22]．自上而下的方式明確地將數學建模能力視為一個單體的能力，所包含的組成部分是由建模能力這一整體概念派生出來的；自下而上的方式則是將數學建模能力視為一組互相獨立的多種子能力，與數學建模的過程有著密切的關系[19]．隨著人們對數學建模能力的不斷重視和研究，國際上主要形成了4個有不同側重點的研究流派[23]．

丹麥研究者通過綜合方法定義了數學能力，并將數學建模能力作為其中的一部分．Blomh?j等人區分了數學建模能力所包含的3個維度：覆蓋范圍（degree of coverage）、技術水平（technical level）和活動半徑（radius of action）．覆蓋程度主要包括建模過程中學生的工作和他們反思水平的部分；技術水平是指學生使用數學的種類；作用半徑則描述了學生能夠進行建模活動的情境領域[24]．

英國和澳大利亞研究者致力于建模技能與建模能力的測評研究，目的是為了探索學生的建模能力以及建模課程的有效性．他們根據建模成果的評價指標開發了一套由多項選擇題組成的建模能力測試，可以測評學生在建模多個方面上能力的表現．多選題作為一種測評工具也被開始應用到了很多數學建模能力的測評研究中[6，25]．

德國研究者主要從認知的視角，形成了以不同的建模子能力作為組成建模能力的概念，認為完成建模循環的每一步需要不同的能力，提出數學建模子能力是指在執行建模循環的每一步所需要的能力．Kaiser等人基于五階段的數學建模循環模型建立了數學建模5種子能力模型——簡化（simpli- fying）、數學化（mathematising）、數學運算（working mathemati-cally）、解釋（interpreting）、驗證（validation）[25]．

澳大利亞研究者提倡應該將元認知納入到數學建模能力之中，強調在建模過程的不同階段開展反思性元認知的活動[26]，將數學建模中的元認知能力分為3個部分：定向和規劃解題過程的能力，對解題過程進行監控并在必要時進行調節的能力，評價并改進建模過程的能力[27]．

隨著對數學建模能力研究的不斷深入，其內涵也在逐漸豐富和完善，所涵蓋的內容從過程子能力向元認知能力擴展，為進一步探究數學建模能力的要素和結構提供了理論方向．為了探究小學生數學建模能力的組成與結構，研究采用“自下而上”的定義方式來建構小學生的數學建模能力模型．

1.2.3 數學建模能力結構的相關研究

為更加細致、全面了解學生的數學建模能力，一些學者對數學建模能力的結構進行了探究．Greefrath根據七階段的數學建模循環模型，提出由于學生在數學模型中使用數學方法并得到數學結果不是特定于建模過程中的能力，將數學運算能力排除，建立了數學建模6種子能力模型[28]．Hankeln通過對九年級學生開展數學建模能力的測評研究，利用量化的數據分析方法驗證了數學建模能力的4個子維度[6]．祖丹等人基于數學建模的過程性特征，構建了包含覆蓋廣度和覆蓋深度雙維的多水平數學建模能力評價框架[29]．朱婭梅從理論上建立了包含情境、內容、過程、水平4個要素義務教育階段學生數學建模能力評價框架[30]．謝志勇基于九年級學生在解決數學建模任務中的實際過程，自下而上地建立了九年級學生的數學建模MIP能力時鐘模型，包含了數學建模元認知、數學建模探究和數學建模過程3個維度[31]．馬小飛根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》和七階段數學建模循環模型，歸納形成了針對高中生的5個子維度的數學建模能力模型[32]．

1.2.4 理論基礎：皮亞杰認知發展階段理論

在皮亞杰的兒童認知發展階段理論中，具體運算階段的兒童在思維上已經有了明顯的符號性和邏輯性，但仍局限于直觀表征及過去經驗，缺乏抽象性；形式運算階段的兒童則具有思維的抽象性，能夠監控和內省自己的思維活動[33]．小學階段基本都處于具體運算階段，而小學高年級學生的認知則處于具體運算階段與形式運算階段之間．基于認知發展階段理論，審視小學生的數學建模，可能會在3個方面產生影響：第一，小學生雖然能夠解決比較復雜的現實問題，但是這些問題必須與他們曾經遇到過的問題類似，依賴于他們的自身經驗；第二，由于缺乏思維的抽象性，因此小學生推理所涉及的對象必須是能觸及的具體事件或客體，而不能只是單純抽象的符號；第三，小學生很難通過反思對建模過程產生頓悟，他們可能只能對得到的結果是否正確進行檢驗，但很難通過反思去發現新的解決方案或制定不同的解決方案．

1.3 研究問題

已有研究大多是從建模過程的理論上或經驗上建立數學建模能力的結構模型，缺乏對學生在實際解決數學建模過程中所體現出的認知能力與元認知能力結構的實證研究．同時，針對小學生群體的數學建模能力研究還較少[34]，缺乏適合小學生的數學建模能力的結構模型．但是，小學階段是培養孩子數學和跨學科建模的理想學段，小學生已經具備了發展數學建模所具備的基礎知識和能力[35-36]．那么，小學生的數學建模能力結構究竟是怎樣的呢？具體包含哪些要素？這些要素之間存在著怎樣的關系？

研究基于認知發展階段理論，通過扎根理論的方式，對小學生數學建模的思維過程進行系統提煉，從而自下而上地建構小學生數學建模能力的結構模型．

2 研究設計

2.1 研究方法

采用質性研究方法開展基于扎根理論的個案研究．質性研究方法必須在自然情境下進行，在收集和分析資料時遵循自下而上的路線，在原始資料的基礎上建立分析類別[37]．個案研究設計的目的是精確地描述或再現一個個案，案例可以是一個人、一個家庭、一個團體或機構[38]．個案研究適用于3種研究類型：第一，研究目的是回答“怎么樣”和“為什么”的問題；第二，研究者并不操控或干預研究對象的行為；第三，研究者關注的是現實情境中的現象[39]．研究關注的重點是小學生在沒有外界干預的現實情境中解決數學建模任務所使用的能力，側重于探究“怎么樣”，因此使用個案研究是比較適宜的．

扎根理論是一種質性研究方法，最早由Glaser等學者于1967年提出，能夠將理論性與經驗性研究相結合，既能夠避免單純從理論上進行空談，也能夠防止單純停留在對經驗事實的描述上[37]，逐漸成為開展質性研究的重要方法之一[40]．隨著扎根理論的不斷發展，逐步發展出經典扎根理論、程序化扎根理論、建構主義理論等流派[41]．其中，經典扎根理論存在著很大的不確定性，在編碼過程存在著很強的個性化[42]；程序化扎根理論是一種程序化水平更高、編碼過程更加系統嚴格的扎根理論，進一步明確了扎根理論的分析步驟和分析技術，建立了一套嚴謹的研究程序[43]，成為目前最為廣泛認同和應用的版本[44]；建構主義理論認為任何理論形式都是對研究世界的解釋而不是描述[45]，在研究過程中應該學會容忍模糊．

因此，根據研究內容及可操作性，研究選擇程序化扎根理論的方法對小學生數學建模過程中體現出的能力要素進行提取和分析．根據當前對數學建模能力的研究流派和進展，基于自下而上的數學建模能力概念的定義方式，采用相對應的自下而上的方式建構結構模型．已有相關研究表明：理論與實踐相結合的模型構建方式能夠有效建立適合于學生的數學建模能力結構模型[31]，并且收集學生在解決數學建模問題中思維過程的質性數據成為了探究學生思維過程的有效途徑[46]．

2.2 研究對象

研究采用目的性抽樣的方法[37]，選取中國T市M校的6名五年級學生和B市G校的6名六年級學生作為研究對象，每所學校的6名學生均包含數學平時成績優秀、良好、待提高3個水平各2名，每個水平包含1名男生與1名女生．樣本信息如表1所示．

表1 樣本的基本信息

具體來說，小學高年級（五、六年級）學生在數學知識和技能上具備了一定的基礎，能夠運用數學方法嘗試解決現實問題，并且可以用語言將自己的思路較為準確地表達出來，符合作為研究對象的基本條件．同時，不同數學學業水平的學生在解決數學問題時可能存在思維過程的差異，可能會對結構模型的豐富性產生影響．

2.3 研究過程

2.3.1 數據收集過程

研究的資料收集方法包括出聲思維和實物收集．出聲思維，又稱為口頭報告，是通過分析研究對象對自己心理活動的口頭陳述，從而收集與研究相關的數據資料[47]．研究者對12名研究對象分別進行了出聲思維，每位研究對象約為45分鐘．為了保證數據收集的效果，研究對象與研究者會進行一對一的出聲思維過程．出聲思維中所使用的4個數學建模任務的素材均來源于國際上公開發表和出版的數學建模競賽的手冊、書籍以及會議專題研究報告等，保證任務本身的科學性與有效性．4個任務翻譯和改編好后，首先交由2名數學教育與教育測評專業研究生進行審讀，并根據她們的建議對任務進行第一輪修改，保證任務的科學性．然后將4個任務交給五年級、六年級小學生各1名進行試做，根據學生的作答情況和反饋對任務進行了調整，以保證任務的可讀性與可做性．最終，形成了用于研究的4個數學建模任務，任務名稱及來源如表2所示．

表2 數學建模任務的名稱及來源

首先，為研究對象介紹出聲思維的表達方式與注意事項，并播放樣例視頻（為了保證樣例視頻不會引導學生解決數學建模問題的思路，視頻中演示的是解決數獨任務的出聲思維過程）．然后，由研究對象獨立完成針對4個數學建模任務的出聲思維過程并同時在答題紙上書寫作答過程，研究者會坐在旁邊聆聽、觀察和記錄．只有當研究對象出現長時間停滯或表示無法繼續下去時，研究者才會詢問是否遇到什么問題或接下來的想法，不會提供思路上的引導，例如，“你遇到了什么困難”“你覺得下一步應該做什么”等．接下來，研究對象每完成一個任務的出聲思維后，會詢問研究對象關于完成任務過程的看法，例如，“你認為任務解決了嗎”“你對你得到的結果滿意嗎”，有時候可能會導致研究對象重新返回解決該任務．當研究對象完成對4個數學建模任務的出聲思維后，研究者會詢問他們的感受和困惑，例如“你覺得這些任務困難嗎”“你有哪里不明白嗎”．實物收集則是指收集所有與研究問題有關的文字、圖片、音像、物品等[37]．為了能夠更加完整、細致地刻畫學生數學建模的思維過程，研究主要收集了學生解答數學建模問題所使用的答題紙，將學生在解題過程中寫下的內容完整地收集下來，能夠從另一個側面反映出學生的數學建模思維過程．

2.3.2 數據分析過程

研究借助Nvivo12對收集的質性數據進行三級編碼的分析．首先，將出聲思維收集到的音頻通過雙獨立的方式轉錄為文字，將音頻中的停頓、擬聲詞等細節都保留在轉錄的文字中，并將實物收集的作答內容圖片添加到出聲思維的文字轉錄稿中，形成三萬余字和48張圖片作為原始數據．

然后，基于扎根理論對原始數據依次進行開放編碼、主軸編碼和核心編碼，開放編碼將從原始材料中抽象出范疇及其屬性，主軸編碼將確立主范疇和次范疇，選擇編碼在多個主范疇中確定一個核心范疇并圍繞其建構理論[43]．

開放編碼要求對質性數據逐字逐句進行編碼，貼標簽產生初始概念，并形成概念范疇[51]．首先對原始數據中的有效文本和圖片進行開放性編碼并貼上標簽，按照“樣本編號—問題編號—語句編號”的方式進行編碼，遵循漏斗原則，最初的標簽范圍比較寬，之后會逐步縮小范圍，達到飽和．為了避免受到研究者個人偏見或觀點的影響，研究者將所有資料按照原始數據拆分成最小單元的原始語句，在原始語句和圖片上貼標簽．然后，對所有原始語句進行編碼，按照最大可能性原則，將原始語句歸屬到最有可能的編碼中．最后，將編碼進一步提煉形成若干概念．主軸編碼是對開放性編碼過程中已經初步形成的范疇和類屬進行聚類分析，建立數據資料之間各個部分的有機關聯[51]．通過對開放性編碼進行分析，在開放性編碼所獲得的相對獨立、彼此關系不明確的概念之間建立一定聯系，形成若干的范疇和類屬．核心編碼是對概念類屬進行系統分析后，選擇一個具有關聯性和概括性的“核心類屬”，從而構成一個概括性的形式理論[37]．根據聚焦的核心主題與整合得出的范疇和主范疇，概括形成小學生數學建模能力的結構模型．

2.4 飽和度檢驗

為保證研究中所使用扎根理論的科學性以及結果的準確性，需要在新的證據中繼續進行編碼并與已經形成的概念、范疇進行對比，直到不會產生新的范疇才能說明實現理論的飽和．研究對預留的近一萬字和12份圖片資料進行飽和度檢驗，結果未發現形成新的概念和范疇，主范疇也沒有產生新的概念或內涵．因此，研究所建構的小學生數學建模能力的結構模型實現理論上的飽和．

3 研究結果

3.1 開放編碼

經過開放編碼的分析，研究獲得了747條原始語句，形成了370個編碼，并進一步提煉為21個概念．開放編碼的樣例見表3．

表3 原始記錄與開放性編碼樣例

3.2 主軸編碼：小學生數學建模能力的核心元素

基于開放編碼得出的21個相對獨立的概念，主軸編碼對這些概念進行分析和聚類，建立概念之間的關系，將21個概念整合為7個范疇和2個主范疇．主軸編碼分析得到的7個范疇體現了小學生數學建模能力的核心元素，進一步可以提煉為數學建模過程能力和數學建模元認知能力兩個主范疇．主軸編碼的結果見表4．

表4 主軸編碼

3.2.1 數學建模過程能力

數學建模過程能力是在開展數學建模過程中完成各個階段所需要的能力，主要包括：理解信息、建立模型、數學運算和解釋驗證4個子能力．

（1）理解信息．

理解信息主要是小學生在理解問題情境和識別信息的過程中所需的能力，具體可以體現在能夠閱讀與理解情境的信息，識別情境中的關鍵變量、篩除無效變量，簡化題目信息并提出假設．理解信息是數學建模中的第一步，是建立數學模型的“準備工作”．12名學生都能夠閱讀并理解題目信息，并且也能夠對變量進行篩選，例如，學生M1在理解刷牙問題中給出的信息時，提出“第6個參考信息他說的是浪費水的量，所以我覺得跟牙膏沒有什么關系，所以咱先把第6個排除掉”．在面對不同復雜程度的任務情境時，小學生在理解信息子能力上的表現是有所不同的．在面對與日常生活聯系比較緊密的“蛋糕任務”“刷牙任務”時，學生對情境信息的理解和加工速度越快，正確率越高，而在面對遠離日常生活的“加油任務”時，部分學生體現出了對情境信息的理解困難和迷茫．

（2）建立模型．

建立模型主要是小學生在選取和建立合適的數學模型的過程中需要具備的能力，具體包括建立變量之間的數量關系、選擇合適的數學模型、用數學或非數學元素表示模型．建立模型是數學建模中的核心步驟，是將現實情境與數學模型轉化的過程．12名學生都能建立變量之間的關系，例如，學生G1在解決蛋糕問題中發現“我覺得4和6應該是1.5倍的關系，所以我覺得這些原料都應該增加1.5倍”．小學生能夠利用數學或非數學元素表達建立的模型，其形式往往是多種多樣的，例如學生G1用文字和算式表示出所建立的零花錢模型（圖2）．

圖2 學生G1表示的零花錢模型

（3）數學運算．

數學運算是指小學生在運用數學知識求解數學模型結果的過程中所需的能力，具體包括將變量對應的數據帶入模型（算式），運用數學知識進行整體或分步運算，根據需要進行估算或簡便運算．數學運算是從數學模型到數學結果的重要環節，需要小學生能夠正確使用數學運算的相關知識和技能．12名學生雖然數學運算能力參差不齊，但是都能夠利用數學知識來對建立的數學模型進行求解，例如學生G2在求解貨船問題中所需要消耗的年數時，提到“也就是說2?500除以294等于（停頓），它的小數點后一位是不能達到5的，所以說不能四舍五入，所以說約等于8年．”

（4）解釋驗證．

解釋驗證主要是指小學生將數學結果轉化為現實結果并檢驗的過程中所需的能力，具體體現在在現實情境（數學情境外）中解釋數學結果，根據現實情境來驗證數學結果的正確性和有效性，反思是否修改或重新建立模型．解釋驗證是將數學結果應用到現實情境的必備環節，小學生要能理解數學結果的意義與正確性．12名學生都能夠對自己得出的數學結果進行解釋，例如學生M2在刷牙問題中對計算得到的結果提出“26?280升跟他這個題給了26?000升差不多，所以我覺得這個報道應該是真實的”．但是，只有部分學生能夠主動對解釋的結果在現實情境中進行驗證，其中極少數學生能夠根據結果去返回修改自己的假設或模型，例如學生G2在發現零花錢問題的結果可能會變化，提出“我這道題寫完我想問，如果我不假設它是4斤米，我就換一個假設它這數是不是就不一樣了”．

3.2.2 數學建模元認知能力

數學建模元認知能力是學生能夠保障數學建模活動正確、有序開展的基礎，主要體現在定向與計劃、監控與調節、評價與改進數學建模過程上．

（1）定向與計劃．

定向與計劃主要體現在整個數學建模活動的開始階段，學生需要根據現實情境和問題確定解決問題的步驟和策略．參與出聲思維的12名學生都在開始解決數學建模問題之前或多或少地體現出了定向與計劃的能力，主要包括：設計解決問題的步驟、選擇有效的解決方案策略兩個要素．學生M2在閱讀了題目信息后，提出“這些是4個人使用的吧？我可以先算一個人用多少，然后再乘6”，并且在之后的解題中是遵循這一計劃所開展的，說明學生在開展數學建模過程時需要元認知的介入，對整個過程產生規劃和指導作用．

（2）監控與調節．

監控與調節是指學生能夠在進行數學建模的過程中隨時進行自我檢查，及時發現并改正出現的錯誤，調整自己的思路與策略．12名學生中的8名學生（M1、M2、M3、M4、M5、G1、G2、G4）在數學建模的過程中體現了監控與調節的能力，主要包括：檢查并修改求解思路及結果、檢查并明確問題的含義、思考解決問題的策略、產生質疑或困惑4個要素．學生在數學建模過程中的元認知能力體現在能夠思考解題的策略，檢查解題過程，發現并改正解題思路或結果，例如，學生G1在解決貨船問題時表達出“多少年后節約的柴油費用可以超過安裝風箏帆的成本．哦，那是只安裝一次，不是每年都安裝”．

（3）評價與改進．

評價與改進主要體現在學生完成數學建模后，能夠對自己得到的結果、解題思路進行評價和反思，驗證自己的解決方案．12名學生都能夠在數學建模過程結束后體現出評價與改進的能力，主要包括：驗證并修改求出的最終結果及解釋、反思解題的策略和過程、評價使用的策略及得到的結果．大部分學生在解決問題之后對于自己的思路以及結果的評價都是比較滿意，但也有部分學生對自己的思路或結果不滿意或是不確定，例如，學生G3評價自己的結果是“我覺得還不錯，但是我不能確定到底對不對”．

3.3 核心編碼：小學生數學建模能力的結構模型

通過核心編碼確定研究問題范疇為“小學生的數學建模能力”．小學生數學建模能力所包含的要素很復雜，從元認知的角度來說，學生需要具備數學建模元認知能力對數學建模過程，尤其是不同階段的過度進行反思[23]，對于數學建模活動來說非常重要[26]；從建模過程的角度來說，學生需要具備解決數學建模任務中每一個階段所需要的能力，具備理解和提取情境中信息的能力，具備根據情境建立合適的數學模型的能力，具備使用數學知識進行正確數學運算的能力，具備將數學結果在現實中進行解釋和驗證的能力．

依據此邏輯，研究確立了小學生數學建模能力的結構模型（見圖3）：小學生數學建模能力的結構模型包括數學建模元認知能力和數學建模過程能力兩個一級維度．從內容上看，數學建模元認知能力是小學生保障數學建模活動開展和持續的能力，負責計劃、監控與改進數學建模的整個過程，包括定向與計劃、監控與調節、評價與改進3個二級維度；數學建模過程能力是小學生在完成數學建模各個階段時所需的能力，包括的理解信息、建立模型、數學運算、解釋驗證4個二級維度．從結構上看，數學建模元認知能力引領和指導了數學建模過程能力的使用，在建模過程的各個環節都會有元認知能力的介入，兩種能力被同時或交替使用．學生的定向與計劃子能力對何時以及如何使用4種數學建模過程子能力起到了整體調控作用，指導學生根據實際建模任務調節使用數學建模過程子能力的順序和方式，因此數學建模過程子能力并不總是以正向順序依次發揮作用，而是根據解決實際建模任務時的思維過程而被“跳躍”使用；學生的監控與調節子能力主要保障了4種數學建模過程子能力的使用質量，確保每種過程子能力能夠被正確使用；學生的評價與改進子能力發揮了改進和提高4種數學建模過程子能力使用效果的作用，學生通過對過程子能力使用效果的評價與反思，對得到的結果做出修改和完善．

圖3 小學生數學建模能力的結構模型

4 研究結論與討論

4.1 研究結論

研究通過扎根理論的分析方法，基于中國小學生在解決數學建模任務中的實際認知過程建構了小學生數學建模能力的結構模型，豐富了針對小學生群體的數學建模能力的理論研究．小學生數學建模能力主要由兩個要素構成：數學建模元認知能力指導和保障數學建模過程能夠有序、正確地進行，數學建模過程能力則是執行數學建模過程中完成每個步驟所需的對應能力．具體來看，數學建模元認知能力所包含的定向與計劃、監控與調節、評價與改進子能力體現在面對建模任務時能夠計劃解決問題的思路和方法，在建模過程中能夠檢查每一步是否正確并做調整，在解決建模任務后評價并反思結果，引領和指導數學建模過程能力的使用；數學建模過程能力主要包含的理解信息、建立模型、數學運算、解釋驗證子能力體現在數學建模過程的各個階段中，并且不一定在建模過程中按照順序使用，而是可能會根據實際情況進行跳躍和反復．

4.2 討論與反思

研究根據小學生在解決數學建模任務過程中的實際表現和思維過程，自下而上地構建了針對小學生的數學建模能力結構模型，探究了組成數學建模能力的數學建模過程能力和數學建模元認知能力．通過實證研究支持了部分德國研究者對于數學建模能力是由在建模過程中所使用的一系列子能力所構成的觀點[23]，并基于小學生的實際認知水平對謝志勇的數學建模MIP能力時鐘模型[31]進行了簡化和修訂．

4.2.1 小學生數學建模過程能力具“簡單化”“多樣化”特征

小學生數學建模過程能力包含了理解信息、建立模型、數學運算、解釋驗證4個子能力，具有簡單化、多樣化的特征．與Kaiser的數學建模5種子能力模型[25]、Greefrath的6種子能力模型[28]等模型相比較，小學生數學建模過程能力盡管也基本包含了簡化、數學化、數學求解、解釋、驗證等子能力，但在子能力所體現的要素上更加簡單化，這可能與已有建模過程能力模型大多是針對中學生、大學生，而小學生的認知水平不足有關．

在研究構建的模型中，理解信息子能力是對已經部分簡化后的任務情境進行理解并篩選變量，并且在面對遠離日常生活和復雜的任務情境時會存在障礙，表明小學生可能無法從完全不熟悉的復雜現實世界中簡化情境并理解信息．解釋驗證子能力雖然體現了小學生能夠將數學結果解釋到現實情境中，但是他們并不會主動在更加一般化的情境下去開發和改進模型．從認知發展階段理論來看，小學生的認知水平處于具體運算階段，雖然已經產生了抽象思維，但是抽象思維水平有限[33]，仍局限于直觀表征及過去經驗[33]，并且對貼近自身生活和環境的情境會更加熟悉和具有興趣[52]．同時，在建立模型子能力上，小學生盡管掌握的數學知識有限，但是依然能夠使用或改編已有模型來解決現實問題，并且可能會產生多樣化的數學模型表達方式，使用數學元素以外的文字、圖形等來表達數學模型，這也是小學生數學建模的一種特點[1]．因此，小學生是具備開展數學建模所需子能力的，只是在任務情境的日常程度和復雜程度上需要控制，并且應當允許小學生采用多樣的形式表達所建立的模型．

4.2.2 元認知能力是數學建模能力中的重要組成部分

元認知作為一項解決數學建模任務的核心能力被納入了小學生數學建模能力的結構模型中，起到了引領和指導各項數學建模過程子能力的作用．基于小學生在解決數學建模任務時的思維過程，研究捕捉到了他們會使用自己的元認知能力來審視自己的建模過程，從一定程度上支持了部分澳大利亞研究者所提出的將元認知納入到數學建模能力中的觀點[26]．研究將定向與計劃、監控與調節、評價與改進3個數學建模元認知子能力納入小學生數學建模能力結構模型中，與Vorh?lter[27]、謝志勇[31]等學者形成的3個維度的數學建模元認知存在一定的相似之處，但更加突出了小學生認知特點．

在數學建模元認知能力中，監控與調節子能力反映出部分小學生在建模過程中會對自己的解題步驟進行實時的檢查和改正，而評價與改進子能力則體現了他們完成建模過程后，對解決方案和結果進行簡單的評價，但是很難通過反思去發現新的解決問題思路或制定不同的解決問題方案．這可能與小學生的認知發展階段有關，處于具體運算向形式運算階段發展的小學生在監控與內省自己的行動上還存在不足，無法主動地監控、調整和反省自己的思維過程或通過反省來挖掘出更多解決問題的方法[33]．

進一步發現，小學生在面臨不同建模任務時所體現出的數學建模元認知能力是不同的．出聲思維是了解和分析學生元認知過程的一種很有效方式，在不會干擾學生的思維過程的前提下能夠有效收集學生的認知與元認知的想法[53]．研究中出聲思維的編碼結果表明，小學生在解決較為簡單和較為困難的題目時可能都不會使用到完整的數學建模元認知能力，會根據任務的難度來調整元認知能力的使用，這與Veenman等人在元認知能力測評中發現的結果相似[53]．因此，在培養小學生數學建模元認知能力時，要注意根據學生的水平安排合適難度的建模任務，從而能夠充分鍛煉數學建模元認知的各項子能力．

4.2.3 數學建模過程能力與元認知能力共同支持數學建模過程

數學建模元認知能力與數學建模過程能力在解決建模任務時被同時或交替使用，共同支持學生成功地解決建模任務[25]，因此小學生的數學建模能力中應當包含過程能力與元認知能力．在解決數學建模任務的過程中，學生使用數學建模過程各項子能力完成建模過程中的各個步驟，并使用數學建模元認知能力設計整個建模過程的步驟，保障數學建模過程子能力的正確使用．如果學生缺乏對數學建模元認知能力的使用，可能在建模過程中遇到困難和障礙[54]．研究發現幾乎或較少使用元認知能力的學生在建模過程中往往會忽視理解信息子能力的使用，更加急于使用數學運算子能力求出數學結果，從而導致得出的結果錯誤或根本無法解決任務，這與已有研究發現的元認知能力較差學生的解題表現相一致[55]．因此，學生具備單純的數學建模過程能力并不能支持他們解決建模任務，必須要有數學建模元認知能力的介入，驗證了小學生數學建模能力結構模型所包含的要素．

4.2.4 反思與展望

研究存在一些局限與不足：第一，被試只包含了兩個地區的小學高年級學生，樣本代表性和結果推廣有限；第二，選取的數學建模題目沒有考慮情境可能對學生產生的影響，在題目情境的豐富性上有待加強；第三，收集的質性資料中只關注了學生被試的語言和書寫內容，對于學生的表情、動作等缺乏關注．總體而言，小學生的數學建模能力是一個復雜多元的能力，研究的結構模型提供了一個基礎的理論框架，需要后續的研究進一步完善、細化．

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Study on Construction of Structural Model of Primary School Students’ Mathematical Modeling Competency

WANG Tian1, 2, ZHOU Da3, XIE Zhi-yong4, LIU Jian1, 2

(1. Collaborative Innovation Center of Assessment toward Basic Education Quality, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. China Education Innovation Institute, Beijing Normal University, Guangdong Zhuhai 519087, China;3. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;4. College of Teacher Education, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

In order to develop the mathematical modelling competency of primary school students and improve their awareness and ability to use mathematics to solve real-life problems, this study explores the elements and structure of primary school students’ mathematical modelling competency. Based on Piaget’s cognitive development stage theory, taking the primary school students as the research participants, this study collected students’ thinking processes when solving mathematical modelling tasks using the methods of thinking aloud and materials collection and grounded theory method was used to code the transcribed qualitative data to construct the structural model of the primary school students’ mathematical modeling competency. The results show that the primary school students’ mathematical modelling competency can be divided into two parts: mathematical modelling metacognitive competency and mathematical modelling process competency. Mathematical modeling metacognitive competency includes three dimensions: orientating and planning, monitoring and regulating, and evaluating and improving. The mathematical modelling process competency includes four dimensions: understanding information, building models, operating mathematically, and interpreting and validating. The construction of the structural model provides a theoretical basis for further cultivating and assessing primary school students’ mathematical modelling competency.

primary school students; mathematical modelling competency; structural model; metacognitive competency; grounded theory

G622

A

1004–9894（2023）06–0072–09

王田，周達，謝志勇，等．小學生數學建模能力結構模型的建構研究[J]．數學教育學報，2023，32（6）：72-80．

2023–10–08

教育部教育管理與改革專項課題研究項目——德體美勞教育過程性評價框架研究（21JGWT0027）；中國基礎教育質量監測協同創新中心2021年度研究生自主課題——數學建模能力的研究進展（BJZK-2021A1-20016）

王田（1997—），男，天津人，博士生，主要從事數學建模能力的評價、人機交互式測評及教育測量與評價研究．

[責任編校：陳雋、張楠]