初中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

汪振宇

［摘 要］初中數(shù)學主要研究數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系，極具邏輯性和抽象性，學生在學習過程中通常會遇到不少困難，尤其是在解題環(huán)節(jié)更是深受困擾。在初中數(shù)學解題訓練中，為處理一些難題，教師可指導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，讓他們學會通過數(shù)形結(jié)合的方式解答問題。文章對初中數(shù)學解題中如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進行深入研究，并羅列了一些應(yīng)用實例。

［關(guān)鍵詞］初中數(shù)學；數(shù)形結(jié)合；解題方法

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0032-03

初中數(shù)學課程主要由代數(shù)與幾何兩大部分構(gòu)成，前者屬于“數(shù)”，后者屬于“形”，兩者是存在一定聯(lián)系的，這種聯(lián)系就叫作數(shù)形結(jié)合，在一定條件下數(shù)和形能夠相互轉(zhuǎn)化。在初中數(shù)學解題訓練中，教師需要求學生以認真閱讀題目內(nèi)容與審清題意為前提，根據(jù)實際情況與解題需求靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，使其通過以數(shù)解形或以形助數(shù)的方式找準解題的切入點，確定解題思路、制訂解題方案，進而在數(shù)形結(jié)合的助力下迅速完成解題，提高做題的正確率。

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決絕對值問題

絕對值是學生步入初中階段后學習的第一個比較抽象的知識點，指的是一個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)點同原點的距離，一般用符號“[]”來表示。學生剛剛接觸絕對值時學習和理解起來難度較大。而且數(shù)軸是一個把數(shù)和形結(jié)合到一起的新型工具，學生缺乏對其的應(yīng)用經(jīng)驗，在解題時極易遇到困境。在初中數(shù)學絕對值問題解題教學中，教師可指導學生借助數(shù)軸清晰準確地看到點到原點之間的距離，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式順暢完成問題解答。

［例1］已知[x<0]，[y>0]，且[x]的絕對值小于[y]的絕對值，則[x+y]的值是（ ）。

A.正數(shù) B.負數(shù)? ? C. 0? ? D.難以確定

分析：這道題目難度一般，不過初中生比較缺乏解答有關(guān)絕對值題目的經(jīng)驗，如果僅僅憑空想象是難以快速、精準解答的。此時教師可提示學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)題干描述把[x]與[y]的位置在同一個數(shù)軸上標出來，使其在直觀觀察中即可輕松判斷出[x+y]的值。

解：根據(jù)題意在圖1數(shù)軸上標出[x]與[y]的位置，由圖可以看出[x]點到原點之間的距離明顯小于[y]點到原點之間的距離，因此可以判斷[x+y]的值是一個正數(shù)，故正確答案為A選項。這樣不僅可以讓學生從圖形角度來直觀理解絕對值的實際含義，還能夠讓他們掌握處理數(shù)軸上任意兩個點的距離問題的技巧。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題

在初中數(shù)學教學中，學生對于不等式知識并非十分陌生，因為他們在小學階段就學過有關(guān)“大于”和“小于”的知識。初中階段的不等式知識難度與深度均有所增加，涉及更多的不等符號與不等式組等內(nèi)容，相應(yīng)的習題難度也在提升。教師可引導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法分析與處理不等式問題，通過畫圖精準、清晰地展現(xiàn)題中存在的不等關(guān)系，進而擺脫解題困境。

A. [x≥-2] B. [x≤9]

C.[ x≥-2]且[x≤9] D. [-2≤x≤9]

分析：本題是一道典型的求解不等式組的習題。學生往往可以處理單個不等式的求解問題，但在求兩個不等式解集的公共集時會遇到一定的難度。此時，教師可指引學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法完成解題，即結(jié)合數(shù)軸的直觀特點把兩個不等式解集之間的公共集展示出來，從而求得準確結(jié)果。

解：在這一不等式組中，求得第一個不等式[3x-1≥x-5]的解集為[x≥-2]，第二個不等式[2x+7≥3x-2]的解集為[x≤9]；將這兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示出來（如圖2），可以直觀地看到不等式組的解集為[-2≤x≤9]，故選D。

三、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決坐標問題

平面直角坐標系是學生步入初中后學習的新知識，屬于數(shù)軸的升級版，由橫軸[x]軸與縱軸[y]軸組成，同樣有原點、正方向與單位長度。在初中數(shù)學解題訓練中，坐標問題難度相對較大，它能融入多個知識點，綜合性較強。教師可引導學生應(yīng)用平面直角坐標系來進行數(shù)形結(jié)合，以提高解題效率。

［例3］已知一條直線和一條拋物線的解析式分別是[y=x-1]，[y=x2+2x-2]，求它們的交點坐標。

分析：學生可先畫出一個平面直角坐標系，再嘗試畫出這兩個函數(shù)圖象的草圖，發(fā)現(xiàn)交點所處的位置在第三、四象限，由于所求的是兩者交點，故可將解析式聯(lián)立起來求解。

四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題

函數(shù)在初中數(shù)學中屬于難度比較大的一類知識點，也是學生在初中階段接觸到的新知識。初中函數(shù)以基礎(chǔ)性函數(shù)知識為主，涉及的概念、圖象、性質(zhì)等均是高中函數(shù)的前提內(nèi)容，而函數(shù)圖象本身即為數(shù)與形的有機結(jié)合，所以說數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的一個比較常用的解題技巧。初中數(shù)學教師可指導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法準確找到函數(shù)中點的坐標及變量關(guān)系等，進而順暢解題。

［例4］某一服裝廠計劃把生產(chǎn)的衣服以物流方式運送至外地銷售，其中深圳和廣州兩個城市分別需要8噸和6噸衣服，惠州和東莞存儲的衣服則分別為4噸和10噸，衣服在各城市之間的物流運費價格如表1所示。如果想要一起滿足深圳和廣州兩個城市的衣服需求量，最少需要花費多少運費？

分析：本題題干的信息與條件較多，學生短時間內(nèi)很難找到解題的切入點。其實本題從本質(zhì)上看就是一道典型的一次函數(shù)題，而解答本題的關(guān)鍵之處在于精準找到衣服質(zhì)量和運費兩者之間存在的關(guān)系，由此建立一次函數(shù)模式，再根據(jù)表達式在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，即可輕松求出最少運費。

解：設(shè)從東莞運往廣州的衣服質(zhì)量為[x]噸，所需運費為[y]元，根據(jù)題意可列出一次函數(shù)表達式[y=60x+100（10-x）+35（6-x）+70（x-2）]，整理、化簡之后得到[y=-5x+1070]，然后畫出這一函數(shù)的圖象（如圖3）；根據(jù)題目要求確定[x]的取值范圍為[2≤x≤6]，通過對該函數(shù)圖象的觀察可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)為遞減函數(shù)，這說明[x]值越大，[y]值則越小，所以當[x=6]時[y]值最小，[y=-5x+1070=-5×6+1070=-30+1070=1040]，即當從東莞往廣州運6噸衣服時花費的運費最少，為1040元。

五、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決三角形問題

學生在小學階段就學習了不少關(guān)于三角形的基礎(chǔ)性知識，如三角形的種類以及邊、角之間的關(guān)系等，而初中數(shù)學中涉及的三角形知識更為多變、復雜，包括大量的性質(zhì)和定理，題目考查范圍有所擴大，學生需具備更高的解題水平。在初中數(shù)學三角形問題解題訓練中，教師應(yīng)引領(lǐng)學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，借助“以數(shù)解形”精準找到解題的突破口以及快捷、簡便的解題思路與方法，高效解決三角形問題。

［例5］已知[a]，[b]，[c]為三角形[ABC]的三條邊，且關(guān)于[x]的方程[a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0]有兩個相等的實數(shù)根，那么三角形[ABC]是一個什么形狀的三角形？

分析：這是一道判斷三角形形狀的幾何類試題，題干中提供了有關(guān)這個三角形三邊關(guān)系的方程，因此可借助數(shù)形結(jié)合中“以數(shù)解形”的方式進行分析，最終確定該三角形的三條邊關(guān)系，從而判斷出它的形狀。

解：先把方程[a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0]轉(zhuǎn)變?yōu)橐话闶絒（a+b）x2-2cx-（a-b）=0]，因為這個方程有兩個相同的實根，故[Δ=0]，即[Δ=4c2-4（a+b）-（a-b）=4c2+4（a+b）·（a-b）=4（a2+c2-b2）=0]，從而得到[a2+c2=b2]，根據(jù)勾股定理能夠判斷出三角形[ABC]是一個斜邊是[b]的直角三角形。

六、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決面積類問題

求圖形面積是學生從小學就開始接觸的一類數(shù)學題目，初中數(shù)學中仍然較為常見，但是涉及的圖形種類變多，難度增強，計算流程繁雜，學生不僅要掌握基本的運算法則，還要采用一定的面積解題技巧，數(shù)形結(jié)合即為一個比較常用的方法。初中數(shù)學教師在平時的圖形面積類問題解題教學中，需重點培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法進行解題的能力，使其能根據(jù)題干中提供的條件展開深度分析，準確確定數(shù)和形的對應(yīng)關(guān)系，進而順利解答面積類問題。

［例6］如圖4，在平面直角坐標系中有一個三角形[AOB]，[A]，[B]兩點的坐標分別為（2，-4），（6，-2），請求出三角形[AOB]的面積。

分析：解題時，可直接應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法在原圖中添加輔助線，即過點[A]畫一條水平線[l]，與[y]軸相交于點[E]，過點[B]畫一條[x]軸的垂線，與直線[l]相交于點[C]，與[x]軸相交于點[D]，由此得到四邊形[ECDO]的面積為24，根據(jù)[S△AOB=S矩形ECDO-SRt△ABC-SRt△OEA-SRt△ODB]就能夠求出三角形[AOB]的面積大小。

解：在圖4中添加輔助線，過點[A]畫一條水平線[l]，與[y]軸相交于點[E]，過點[B]畫出[x]軸的一條垂線，與直線[l]相交于點[C]，與[x]軸相交于[點D]，可以得到[OE=CD=4]，[EA=2]，[CE=6]，[BD=2]，[CA=CE-EA=6-2=4]，[BC=CD-BD=4-2=2]，那么[S矩形ECDO=6×4=24]，

七、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解答幾何證明題

數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學解題中應(yīng)用空間十分廣泛，既可以借助圖形優(yōu)勢來解答代數(shù)題，還可以利用數(shù)學運算解答幾何證明題。幾何證明題是初中數(shù)學解題訓練中難度系數(shù)較高的題型，學生解答此類題目時需綜合運用所學知識和邏輯思維能力。教師可以引導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合數(shù)學定理與法則進行合理推導，進而破解難題困境。

［例7］如圖5，在三角形[ABC]中，[∠ACB]為直角，四邊形[BCDE]為一個正方形，點[F]為[AE]與[BC]的交點，點[G]為線段[AB]上的一個點，其中[AC]和[GF]為平行關(guān)系，請證明[CF=GF]。

分析：要想證明本題中所求的結(jié)論，可將原圖形拆解成兩個三角形，即三角形[ABE]與三角形[ADE]，雖然[CF]和[GF]這兩條線段所處的三角形不為全等關(guān)系，但是題中給出了平行關(guān)系，這時可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)比例線段進行推導，從而證明結(jié)論。

解：根據(jù)題意可以證明三角形[ABE]和三角形[AGF]為相似關(guān)系，由此能夠得到[GF]∶[EB]=[AF]∶[AE]，再結(jié)合題目條件可以證明三角形[AFC]和三角形[ADE]同樣為相似關(guān)系，由此能夠得到[CF]∶[DE]=[AF]∶[AE]，故[GF]∶[EB]=[CF]∶[DE]，因為在正方形[BCDE]中[EB]=[DE]，所以[CF=GF]。

總的來說，在初中數(shù)學解題教學中，教師應(yīng)充分意識到數(shù)形結(jié)合的作用和價值，在講授理論知識的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生扎實理論知識根基的同時做好數(shù)學思想的鋪墊，了解數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵、本質(zhì)與使用方法，并能用來解答絕對值、不等式、函數(shù)、三角形、面積與幾何證明等題目，繼而提高他們的解題效率。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 張維軍.“數(shù)形結(jié)合法”在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（7）：29-30.

［2］? 黃漢財.妙用數(shù)形結(jié)合 讓初中生數(shù)學解題思路更清晰［J］.數(shù)理化解題研究，2023（2）：8-10.