初中生統計思維的發展（下）

【摘 要】 為了刻畫初中生統計思維發展的可能路徑，結合“認知水平”與“假設學習軌跡”這兩種數學學習軌跡研究的視角，參考初中“統計與概率”領域的具體內容，將統計實踐的六個基本要素作為統計學的大觀念，分別建構學習軌跡，形成逐級提升的發展水平：統計問題——無意識的→確定的→變異的→探究的；數據收集——無代表性→主觀的→隨機的→分析的；數據整理與表征——單一→多元→關聯→批判；數據分析與解釋——再認與回憶→辨認與計算→分析→綜合→批判；統計判斷與決策——主觀的→過渡的→部分權衡的→全局的；隨機性——定性的→非正式量化→正式量化→綜合的.

【關鍵詞】 統計思維；統計實踐；統計與概率；學習軌跡；初中生

本文是《初中生統計思維的發展（上）》（2024年6月刊）的續文.

1 “統計問題”的學習軌跡

統計問題是開展統計調查的起點，核心素養中要求（學生）知道許多問題應當先做調查研究，要根據問題及其背景來確定數據收集、整理和分析的方法［1］，都與這第一個環節相關.然而，對統計問題的分析，尤其是如何自己提出一個統計問題，往往被忽視.目前教學更多是讓學生理解給定統計問題，而更難的則是自己提出統計問題，兩者的發展應當是相輔相成的.

關于統計問題這一學習主題，包含問題的轉化與生成、理解與完善兩方面，學會“提問”實質上已經蘊涵了對統計問題基本特征的理解.Allmond和Makar曾在研究中對學生的統計提問水平劃分了七層次結構［2］：無關背景的、無關數學的、無關調查研究的、封閉的、潛在調查研究的、調查研究的、探究的，該結構側重“提問”，本研究對此適當重組與劃分、轉換視角，再結合我國初中教材相關內容的呈現情況，以及其他相關研究的見解，最終構建如表1所示的學習軌跡.

首先，Allmond研究中的前三個層次可以合并為學習軌跡中的最低水平，它們均表現為對統計問題缺乏基本認識，所以學生此時的數據意識非常薄弱.水平2的最大特征是學生開始知道數據對解決問題的作用，不過，若問題沒有直接的數據呈現或表現出問題答案可能與某種數據有關，那么學生可能難以激活其數據意識［3］.同時，此時學生對問題的認識仍僅限于能直接得到一個數字答案的問題（對應Allmond研究中“封閉的”一級），還沒有真正發現統計問題與一般數學問題的區別，即統計問題的答案是基于變化的數據的［4］.隨著學生在學習活動中接觸到蘊含更多不確定性的情境，他們將在問題分析中產生對數據的需求并發現問題答案所基于的數據存在著變化.“潛在調查研究的”可以看作是表1中水平2至3之間的過渡，調查只是獲得（obtain）數據，調查研究則要詢問（interrogate）數據，就是要挖掘數據的含義或得到超越數據表面意思的內容，這與后續階段對應［5］.隨著意識到統計問題的特殊性，學習軌跡進入第3個水平（變異的），學生將能夠針對問題主動地提出對收集和分析數據的需求，他們可能會提出比較、探求因果、預測等具有調查研究特點的問題［6］，接下來的學習活動不僅要幫助學生再次強化統計問題的關鍵特征，還可能需要進一步澄清其中的相關變量，以問題的目的來指導解決方案的制定，并考慮問題是否實際可解決.最高水平上的統計問題將具有一定探究性質，包括對問題背景和調查變量的探究，一是要考慮背景信息對問題定義、規劃及解決的指導，二是通過協商“一個標準”來間接確定需要調查的變量.此外，真正的統計問題應帶有目的［7］，是為了解決認知、決策或行動上的某種需求，在任何發展階段中，它都是提問時需要用于自檢的一個好的統計問題的衡量標準.

2 “數據收集”的學習軌跡

初中階段數據收集的學習重點是調查研究的開展，主要包括考察對象的確定、具體收集方法的研制.表2所示的學習軌跡涵蓋了抽樣與樣本思想、問卷編制兩個方面，前者的發展路徑借鑒了李俊根據已有研究所得到的結論［8］113-118：對樣本的認識首先要從同質總體（水平1）過渡到異質總體（水平2）［9］，即要認識到總體中的個體是有區別的，同時這種區別并不要求調查的時候必須要問及每一個個體.學生早期對普查的偏愛可能是他們尚未在更大的視野中看到差異的不可避免，這種觀念在尚未受到系統教學的高中生中也會存在［10］，所以學習活動中的調查背景應借助某種現實局限性，強調抽樣的優勢，促使學生進入水平2.自此，抽樣概念的發展正式起步，學生開始考慮要如何進行抽樣，好的樣本對數據質量和推斷合理性很重要.有的學生希望用更大的樣本來彰顯公平，可是并沒有意識到隨機性，更多學生主張非隨機的分層抽樣，他們會根據自己的主觀判斷來保證各層的覆蓋程度卻不太在乎樣本容量.總的來說，這個階段學生對隨機抽樣只是感性認識.正是對樣本選取時偏差存在的思考，讓學生最終把抽樣的選擇權交給機會，這是達到水平3的重要標志，學生能在情境中主動提出使用隨機抽樣方法.李俊還強調了學生對抽樣方案質量的鑒別能力，本研究將其歸入最高水平（即水平4），因為克服小數定律、綜合問題背景和調查中各要素來選擇最佳抽樣方案將涉及批判性思維.

至于以問卷編制為主的數據收集具體方法的這一分支路徑，目前研究沒有給予專門的關注，實際上這部分內容在初中教學中也是比較弱化的（依據教材內容可知）.雖然小學階段已經涉及了調查這種數據收集方法，但其內容僅限于單一問題的調查表設計（往往是答案范圍較明顯的封閉式問題）或是用于無分類記錄的開放題（比如直接詢問同學最喜歡的動物），也很少將問題設計置于調查研究中，所以與真正的完整問卷編制有很大差距.據此，本研究認為該維度在水平1上表現為能設計或辨別答案極易窮盡的獨立問題，而在了解到總體差異性后（水平2），開始逐步依據調查目的來自主思考問題該如何設計.問卷編制中最基本的是問卷指導語與題干的表達，以及題目答案是否窮盡與互斥，這要求調查者基于對調查內容的全面了解，站在調查對象的角度上具體展開設計，本研究預期這種能力會隨著隨機概念的發展而在水平3階段得到較好發展.最高水平（水平4）上的問卷編制包括多類型問題的組合以及跳題等非線性結構的引入，也可能會納入對其他測量工具的了解.

3 “數據整理與表征”的學習軌跡

數據整理與表征涵蓋以統計圖表為對象的制作、閱讀與解釋、評價（數據篩選和分類的整理過程蘊含其中），根據對表征理解與運用的深度以及統計問題中表征使用數量的情況可以區分認知水平的復雜程度.

Friel等人［11］概括了一些研究者所描述的使用圖表來回答問題的類型特征，其中最為典型的是Curcio［12］對讀圖水平的三個級別劃分，也可作為此類研究結果的總結：直接從圖表上得到答案的數據讀取（read the data）；將直接讀取的數據信息進行重組或解釋其關系（read between the data）；結合問題背景從已有圖表數據推斷隱含信息（read beyond the data）.由上可知，讀圖水平的發展可能存在著對數據關注從單一到多元、綜合，以及對數據解釋從局部、表層到間接推斷的過程.宋玉連認為中學生統計表制作能力也存在三個水平：根據所給數據信息制作簡單統計表；根據所給數據信息制作復雜統計表（結構上更復雜）；經數據初步整理并結合問題需要，選擇合適的統計表［13］.

依據上述具體研究成果，再結合M3ST框架中關于數據表征的部分［14］，可將該主題學習軌跡劃分為四個水平進程，各水平的特征是借鑒了SOLO分類法中的命名，每個水平上都會有關于表征的制作、閱讀與解釋、評價等三個維度的表現（參見表3）.前三個水平與前述的Curcio、宋玉連在研究中所劃水平的描述基本一致：第4個水平（批判）其實是對水平3的完善與加強，認為在關聯水平上的表征選擇、推斷、評價可能存在某些缺陷，而這些方面將在水平4表現得相對完美，并且強調多角度、綜合化和背景考慮，所以更具批判視角，講究問題答案的最優化而非唯一性.

學習內容主要是幾種新的表征類型以及表征應用的常見技能，學習順序遵循目前教材安排，符合表征類型的復雜程度變化，新增的箱線圖作為最后學習的一種表征，還需要配合統計量的初步認識后才能開展學習（“2022版課標”中新增的分類原則也可在此學習）.表征應用首先要區分各類型的特點，以便能出于不同目的、針對不同數據類型（學生主要區分離散量與連續量，實際上教師還應明晰各種測量數據）選擇最適合的表征，其次要知道每種表征可以得到的盡可能多的數據信息，從而能根據一個表征來創建另一個表征，最后要學會基于表征本身的特點和問題背景來評價表征.

在學習活動的設計上，早期要打好基礎，因為研究發現了學生在圖表標題、軸、單位等通常不被重視的制作方面有缺陷（這也是后期圖表評價的依據之一）［8］59，66-68.圖表閱讀的問題設置也需要從單個數據點逐步過渡到多數據的關系，最后落足于感受數據分布.該主題學習的最終旨趣在于讓學生能夠針對統計問題所收集到的數據，出于想要從中獲得某種信息的目的，選擇最能促進問題解決的數據表征方法（一種或多種），此外還能對他人選擇或繪制的統計圖表進行評析.盡管該主題學習軌跡中對表征的分析與解釋似乎屬于下一主題的內容，但由于繪圖與讀圖不可分割，所以更適宜在此出現.

4 “數據分析與解釋”的學習軌跡

數據分析與解釋部分的學習分為描述統計和推斷統計兩方面，包括用于概述數據的統計圖表和統計量與初步的樣本推斷總體，本部分主要考慮統計量方面，但是在實際的數據分析活動中統計圖表與統計量應同時考慮.

曲元海曾將中學生的統計量理解水平分為不了解、辨認與計算、單一的意義理解、多角度理解與綜合使用、合理選擇與判斷，共五個水平［15］，是本研究的依據.由于初中階段的推斷分析往往是要借助描述統計量來實現的，所以涉及推斷分析的部分在學習軌跡中會略微滯后于描述統計.另外，盡管教材的內容設置總是將集中趨勢置于離中趨勢之前，但是本研究認為，這兩類統計量是對數據描述的兩個方面，沒有必然的學習先后（具體參見表4），甚至可以在同一問題分析中一起學習.

水平1上的學生對初中即將學習的統計量是不了解的，但由于小學的基礎，可以較好運用平均數，并在具體情境中非正式地理解眾數和中位數，因而可以對其進行再認與回憶，只是由于知識面尚窄，而且樣本思想可能還沒有發展完善，所以在數據分析和論證評估上表現不佳.隨著初中學習的展開，水平2上的學生能對該學段所要求掌握的統計量進行辨認和計算，也可以基于含義理解而解釋問題情境中的統計量，并且隨著樣本思想的深入而認可樣本對總體的代表作用.當學習進一步深入至理解統計量公式由來，探求不同統計量在數據分析中的優勢與不足，以及用樣本估計總體的具體方法時，可以達到分析水平（水平3），該水平與曲元海研究中水平3的描述略有不同，主要強調統計量使用的單一，而非理解上的單一，并且評價方面也會因為對統計量特征的理解而在此表現出進步，并不是只有到最高水平才會展現出來.水平4的“進一步”體現在學生能在數據分析和論證評估任務中綜合不同統計量（甚至考慮問題背景的作用）、選擇合適的分析并甄別不適當的統計量使用.最高水平（水平5）上，期望學生能運用不同的數據分析工具多角度地分析問題，知道不同的數據分析結果可能會導向不一樣的決策與行動，而這可能與分析者的某些意圖相關.同時，仍然要緊密聯系統計量與統計圖，比如根據統計圖來估計統計量，還可以通過統計圖來直觀地感受數據整體的變化是否會引起相應統計量的改變，從而初步認識統計量的某些性質［8］99.

5 “統計判斷與決策”的學習軌跡

統計判斷與決策是對一個統計問題解決的最終回應，所以其發展與其余五個維度都密切相關.本部分將綜合其余多個方面，從判斷與決策的依據與相關態度的表現來構建其發展路徑（具體參見表5）.

正如用數據解決問題的意識需要經歷從無到有的過程，對問題的判斷與決策最初也可能是非統計的，即沒有意識到數據的作用.在這最低水平上，學生的判斷與決策僅憑主觀意愿而執行，是一種絕對感性的結果，他們既不會主動運用調查來獲取數據信息，也不會關注問題中出現的數據.但是，數據意識的萌生并不代表學生就能主動、有效地運用數據.水平2上，無視數據的經驗判斷或是因缺乏統計知識而導致的誤解，都會產生一系列直覺錯誤或偏見，比如識別可能不存在的事物因果聯系、夸大對小樣本的信任等等［16］92，100.從水平3開始，學生才真正能夠適當平衡數據意識的理性態度與自我的感性.判斷的基本策略是對估計起點（“錨”）進行調整，最常見的“錨”是現狀，也就是統計實踐中得到關于真實數據的信息，一般的，改變現有計劃比產生一個新的計劃要更容易［17］.所以，相比超越數據做出冒險的判斷，人們可能更傾向于在數據信息所提供的保障范圍內做出判斷，這便是后兩個水平的最大區別.統計思維要處理變異，而這需要轉變傳統線性思維，因為復雜世界中存在著多重聯系與多因多果的情況，甚至還要預測決策的長期影響［18］.事實上，不完美是不可避免的，真正的風險決策與危機意識就在于對風險的認識與盡可能的控制，以及對危機不可完全消除的心理準備.Atkinson認為成就動機存在著期望成功與害怕失敗的沖突，兩種對抗的動機水平又依賴于一個人對目的的評價和達成目的可能性的評估［19］.類似的，在風險決策中，需要權衡事件后果的影響以及后果發生的可能性，但由于失去比得到給人的感覺更強烈，因此人們總是努力地避免有所失，從而往往不愿意改變現狀這個參考點，總是讓一切保持一個穩定的狀態［16］258，279.據此可以描述水平3上的學生，他們對該學段需要掌握的概率統計知識已經有了較好的掌握（即在其他主題的學習軌跡上至少能達到倒數第二高的水平），能夠通過一定的間接推理得到基于數據的主張，也知道統計問題的答案是不確定的，但是在風險意識上可能持有保守態度，即，不愿意冒險或在產生風險后果時無法坦然接受.然而真正具有風險意識的學生（即水平4）知道風險的存在并以其指導決策，或者他們會規避風險，但這不是單純的逃避，而是合理權衡后的決定，或者他們愿意冒險并能承擔可能發生的風險后果.此外，最高水平上的學生在該主題上還會懂得統計調查循環的意義，能在規劃與行動中重新啟動一次必要的統計實踐，這對于學生來說是有益卻是困難的.

參考文獻

［1］

中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準：2022年版［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022：9-10.

［2］ALLMOND S， MAKAR K. Developing primary students’ ability to pose questions in statistical investigations［C］// READING C. （Ed.）. Data and context in statistics education： Towards an evidence-based society （Proceedings of the 8th International Conference on the Teaching of Statistics， Ljubljana， Slovenia， July 11-16）. Voorburg， The Netherlands： International Statistical Institute， 2010.

［3］童莉，張號，張寧. 義務教育階段學生數據分析觀念的評價框架建構［J］. 數學教育學報，2014，23（02）：45-48.

［4］FRANKLIN C， KADER G， MEWBORN D， et al. Guidelines for assessment and instruction in statistics education （GAISE） report： A preK-12 curriculum framework［R］. Alexandria， VA： American Statistical Association， 2007： 11-12.

［5］ARNOLD P. What about the P in the PPDAC cycle？ An initial look at posing questions for statistical investigation［C］. Proceedings of the 11th International Congress of Mathematics Education， Monterrey， Mexico， 6-13 July 2008.

［6］CHIN C， KAYALVIZHI G. Posing Problems for Open Investigations： What questions do pupils ask？［J］. Research in Science amp; Technological Education， 2002， 20（2）： 269-287.

［7］潘禹辰，徐文彬. “北師版”初中“統計與概率”教材內容的分析：基于統計活動過程的視角［J］. 數學教學研究，2023，42（02）：25-32.

［8］李俊. 中小學概率統計教學研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2018.

［9］WATSON J M， MORITZ J B. Developing concepts of sampling［J］. Journal for Research in Mathematics Education， 2000， 31（1）： 44-70.

［10］黃華勝. 學生對統計推斷的理解［D］. 上海：華東師范大學，2014：98.

［11］FRIEL S， CURCIO F R， BRIGHT G W. Making sense of graphs： Critical factors influencing comprehension and instructional implications［J］. Journal for Research in Mathematics Education， 2001， 32（2）： 124-158.

［12］CURCIO F R. The effect of prior knowledge， reading and mathematics achievement， and sex on comprehending mathematical relationships expressed in graphs［D］. New York： New York University， 1981.

［13］宋玉連. 中學生對統計表的理解能力的研究［D］. 上海：華東師范大學，2005：29.

［14］MOONEY E S. A framework for characterizing middle school students’ statistical thinking［J］. Mathematical Thinking and Learning， 2002， 4（1）： 23-63.

［15］曲元海. 中學生常用統計量理解水平的調查及教學實驗研究［D］. 貴陽：貴州師范大學，2004：16.

［16］卡尼曼 D. 思考，快與慢［M］. 胡曉姣，李愛民，何夢瑩，譯. 北京：中信出版社，2012.

［17］海斯蒂 R，道斯 R M. 不確定世界的理性選擇：判斷與決策心理學［M］.2版.謝曉非，李紓，等譯. 北京：人民郵電出版社，2013：73-76.

［18］德爾納 D. 失敗的邏輯：事情因何出錯，世間有無妙策［M］. 王志剛，譯. 上海：上海科技教育出版社，2010：3，17.

［19］王本法. 阿特金森的成就動機期望×價值模式論述評［J］. 山東師大學報（社會科學版），2000（01）：69-71.

作者簡介 潘禹辰（1998—），女，江蘇蘇州人，博士研究生;主要從事數學教育研究.

徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導師;主要從事數學課程與教學論研究.