“探究式”教學在高中數學課堂的應用案例

汪所

摘要：一般性的規律探究與發現不僅可以保持知識的連續性、完整性及系統性，而且還可以為解決新情境問題提供多種不同的思考角度和方法.同時，還可以用“高觀點”分析解決數學問題.基于此，借助教材的例習題，通過特殊到一般的探究式教學方式，結合幾何畫板這一現代化教學工具，落實學生探究意識，提高學習數學的興趣，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力，培養邏輯推理核心素養.

關鍵詞：解析幾何；幾何畫板；斜率公式

“探究式”教學法又稱為發現法、研究法，是指學生在學習過程中，教師只是一個引路人，給出某個具體問題，學生通過查閱資料、觀察實踐、思考辨析、討論講解等途徑去主動探究，獲得相應規律和結論的一種方法.其核心思想是在教師的指導下，發揮學生的主觀能動性，調動學生積極性，讓學生自覺地探索解決問題的方法，并從中找出規律，形成結論，建立自己的認知模型和知識框架.在高中數學課堂中，應該充分重視學生的主體地位，利用“探究式”教學方法提高課堂效率［1］.

1 典例分析

例1（普通高中教科書人教A版選擇性必修一第108頁例3）如圖1，設A，B兩點的坐標分別為（－5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－49.求點M的軌跡方程，并判斷其軌跡形狀.

解析：設點M坐標為（x，y），則

kAM=yx+5（x≠－5），kBM=yx－5（x≠5）.由已知，得yx+5×yx－5=－49，

化簡，得點M的軌跡方程為x225+y21009=1（x≠±5）.

故點M的軌跡是除去（－5，0），（5，0）兩點的橢圓.

點評：在該問題的條件中出現了對稱的兩點和非常明顯的幾何關系“斜率之積是－49”，因此可直接采用“建系、尋找幾何關系、代數化、運算解答”的一般性步驟求出軌跡方程，但是要注意到斜率不存在的情況.同時，也可以利用幾何畫板的直觀展示，判斷出動點M的運動軌跡，體會數形結合的重要思想.

2 問題探究

探究一：（普通高中教科書人教A版選擇性必修一第121頁）將例1中的斜率之積改為49，其他條件均不變，求點M的軌跡方程，并判斷其軌跡形狀.

解析：設點M的坐標為（x，y），則

kAM=yx+5（x≠－5），kBM=yx－5（x≠5）.由已知，得yx+5×yx－5=49（x≠±5），

化簡，得點M的軌跡方程為x225－y21009=1（x≠±5）.

故點M的軌跡是除去（－5，0），（5，0）兩點的雙曲線（如圖2）.

點評：探究一與例1均滿足斜率之積是常數這一條件，不同的是改變了定值的符號，從而導致結果由橢圓變成了雙曲線.

由此不難想到，能否將該常數一般化，通過對一般規律的探究又能得出哪些結論呢？

探究二：（普通高中教科書人教A版選擇性必修一第146頁復習參考題第11題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（－5，0），（5，0），且邊AC，BC所在直線的斜率之積是m（m≠0），求頂點C的軌跡方程，并判斷其軌跡形狀.

解析：設點C坐標為（x，y），則

kAC=yx+5（x≠－5），kBC=yx－5（x≠5）.由已知，得yx+5×yx－5=m，

化簡，得點C的軌跡方程為x225－y225m=1（x≠±5）.

所以，當m>0時，點C的軌跡是除去（－5，0），（5，0）兩點的雙曲線；

當m<0，且m≠－1時，點C的軌跡是除去點（－5，0），（5，0）的橢圓；

當m=－1時，點C的軌跡是除去點（－5，0），（5，0）的圓.

點評：探究二是把斜率之積用常數m（m≠0）替代，可以通過幾何畫板對m取不同值時的動態演示，得出不同形狀的曲線，不僅體現了直觀性的教學效果，還體現了從特殊到一般的探究性思維方式.尤其是當m=－1時，呈現出了圓的“直徑所對圓周角是直角”的性質，展現出幾何與代數的統一性.

如果將兩個定點一般化又會得到怎樣的結論呢？

探究三：將探究二中的點A，B的坐標分別改為為（－a，0），（a，0），求頂點C的軌跡方程，并判斷軌跡形狀，進一步說明常數m的意義.

解析：設點C的坐標為（x，y），則

kAC=yx+a（x≠－a），kBC=yx－a（x≠a）.由已知，可得yx+a×yx－a=m，

化簡，得點C的軌跡方程為x2a2－y2ma2=1（x≠±a）.

所以，當m>0時，點C的軌跡是除去點（－a，0），（a，0）的雙曲線；

當m<0，且m≠－1時，點C的軌跡是除去點（－a，0），（a，0）的橢圓；

當m=－1時，點C的軌跡是除去點（－a，0），（a，0）的圓.

進一步，當m>0時，令b2=ma2，則m=b2a2=e2－1（e為雙曲線的離心率）；

當m<0，且m≠－1時，令b2=－ma2，則m=－b2a2=e2－1（e為橢圓的離心率）；

當m=－1時，若認為圓的離心率e=0，則也滿足m=e2－1.

點評：該探究是上述幾個探究問題的進一步推廣.把兩點坐標和常數都一般化.不僅獲得了常見的幾種曲線軌跡方程，而且得出m=e2－1的結論.通過上述一般化的探究過程不難發現，從“特殊到一般”的探究對于學習數學知識、培養解決數學問題能力、提升數學素養的重要性.另外，對一般性結論“k1k2=e2－1”的總結歸納，還可以讓學生獲得快速解決此類問題的基本技能.

3 知識應用

例2已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）的左、右焦點為F1，F2，左、右頂點為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M，N），△AF1B的周長為43，且直線AM與AN的斜率之積為-23，求橢圓C的方程.

解析：利用橢圓定義，可得△AF1B的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=43，

所以a=3.

結合上述探究結論，可知k1k2=e2－1=－23，則b2=2.

故橢圓C的方程為x23+y22=1.

點評：通過本題不難發現，在解決一些圓錐曲線問題中利用好一些常用結論可以起到事半功倍的作用.當然，若本題作為解答題，則應該對該二級結論進行推導，以達到思維的嚴謹性.

總之，教師在教學過程中應該充分利用好教材中的一些碎片化資源，并對其重組、融合和拓展，再結合多種多樣的現代教育技術逐步培養與滲透從特殊到一般的探究意識.在平時的教學過程中，還要在落實“四基”的同時培養“四能”，重視學生思維的形成和核心素養的培養，要讓學生學會分析、學會思考并養成歸納的好習慣，最終完成立德樹人的任務［2］.

參考文獻：

[1]陳寅文，借助高考真題，落實探究意識[J].中學數學，2022（3）：25-26.

[2]李建瑞，葉重元，平幾背景，解幾設置，多解思維——一道八省聯考題的探究[J].中學數學，2021（19）：48-49.