也談數學表達能力的培養

摘"要：學生只有學會用數學語言進行思考、交流和解決問題，才能更好地進行個性表達，最終發展數學思維。在教學中，培養學生的數學表達能力的具體舉措包括：從感悟到勾連，豐富表達的方式；從獨立到整體，明確表達的路徑；從需要到運用，彰顯表達的價值。

關鍵詞：小學數學；數學表達；方式；路徑；價值

數學為人們提供了一種描述現實世界的表達方式。數學語言是數學思維的載體，承載著數學的基本思想。學生只有學會用數學語言進行思考、交流和解決問題，才能更好地進行個性表達，最終發展數學思維。在教學中，教師可以通過豐富表達的方式、明確表達的路徑、彰顯表達的價值，來培養學生的數學表達能力。

一、豐富表達的方式：從感悟到勾連

小學階段的核心素養側重對經驗的感悟。“感”是客觀事物通過感覺器官在人腦中的反映，“悟”是理解、明白的意思。如何落實學生對數學經驗的感悟？教師可以在活動中搭建多元化的表達平臺，引導學生有意識地運用數學語言表達現實生活中事物的性質、關系和規律，在不同的語言形式之間轉換和補充，從感悟到勾連，積累活動經驗，豐富數學理解。

例如，在教學蘇教版小學數學四年級下冊《乘法分配律》一課時，教師引導學生從直觀操作、符號釋義、勾連整合三個層面表達對數學規律的理解。

（一）直觀操作

為了使學生理解乘法分配律等號左右兩邊相等的道理，教師設置了如下自主學習活動：（1）拼一拼。從三個長方形（如下頁圖1所示）中選出兩個，拼成一個大長方形。（2）連一連。將能計算同一個大長方形面積的算式（如下頁圖2所示）連起來。（3）說一說。組內交流你的想法。

在動手拼一拼的過程中，學生結合圖形直觀地發現：有些長方形可以拼成一個大長方形是因為它們有兩條相同的邊。再結合“連一連”的活動，學生發現：相同的邊就是算式中括號外的數。學生用算式概括面積模型，再用圖形語言解釋算式特征，在操作中充分感受乘法分配律的“分”與“合”，于對比中深化體驗，凸顯思維的形成過程。

（二）符號釋義

為了增強學生的符號意識，教師引導學生用字母來概括等式的相同結構特征，并通過乘法算式的意義以及加法運算律解釋乘法分配律的合理性。

最終整理得到的符號釋義結果如圖3所示。

從具體算式到歸納運算規律，是基于實例的符號表達，再用符號運算進行演繹推理，能夠豐富學生的學習經驗，提高學生的說理表達能力。

（三）勾連整合

為了讓學生進一步感悟乘法分配律，建立新舊知識之間的聯系，教師設置問題，讓學生說一說哪里體現了乘法分配律。問題包括：（1）口算12×3。（2）籃球場的長是28米，寬是15米，它的周長是多少米？（3）四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩，兩個年級一共要領多少根跳繩？

熟悉的問題可以激發學生表達的積極性，更方便其將數學信息轉化成數學表達式，再用文字語言解釋算式意義，讓數學思維更具象，使知識結構更完整。

從經驗到推理再到勾連，一方面，讓學生對數學事物的表達越來越明確；另一方面，使學生在豐富的感知中體會思維從抽象到具象再到抽象的過程，逐步學會用數學語言表達自己的想法，解釋現實世界中的數學規律。

二、明確表達的路徑：從獨立到整體

數學知識具有很強的內在邏輯，是整體

（a＋b）× c

=（a＋b）＋（a＋b）＋…＋（a＋b）c個

乘法的意義

=a＋a＋…＋ac個＋b＋b＋…＋bc個

加法交換律和加法結合律

=（a＋a＋…＋a）c個＋（b＋b＋…＋b）c個

加法結合律

=a×c＋b×c

乘法的意義的、系統的、結構的。但在數學學習的過程

中，學生頭腦中的知識很多時候是獨立的、零散的，有時還存在模糊雜亂、混淆不清的情況。在課堂教學中，教師應設置貼近學情的探究活動，引導學生厘清知識的本質，明確表達的路徑，形成條理清晰、層次分明的數學思維。

例如，在教學蘇教版小學數學四年級下冊《多邊形的內角和》一課時，教師引導學生從三角形內角和出發，通過猜想（特殊到一般）、驗證（測量、剪拼和分割）的活動探究多邊形內角和，歸納方法，逐步推導得出多邊形的內角和公式。具體的表達路徑為：分類對比、建構模型、融會貫通。

（一）分類對比

在得到任意四邊形的內角和是360°后，教師重點引導學生以分割的方法繼續研究五邊形和六邊形的內角和。在展示學生各種方法的環節，如果交流中沒有問題引領，作品獨立呈現，那學生的思考就無法聚焦，表達也會顯得雜亂無章，不利于學生理解不同分法之間的本質與聯系。實際教學中，學生主要呈現了8種分法（如圖4所示）。

教師引導分步驟交流：（1）仔細觀察，你能將這些不同的方法進行分類嗎？（2）為什么有些分法會改變內角和？（3）如果繼續研究七邊形和八邊形的內角和，你更愿意選擇哪種方法？

學生的研究視角不同，就產生了不同的分法。在關鍵問題的引領下，學生通過逐級分類的方式，梳理不同分法背后的道理。然后，教師引導學生結合分類結果（如圖5所示）感受：其實，每一種分割方法都是通過轉化得到結果，存在相同的思維模式。進而，探索出以“三角形的內角和為180°”作為計量標準，把多邊形內角和轉化成若干個三角形內角和的計算方式。從解決問題的角度，條理化地表達符合知識的生長性，便于建構普適的數學模型；從思維發展的角度，結構化地表達更容易把握數學探究對象的整體性，使思維走向深入。

（二）建構模型

在研究“三角形的內角和”時，學生主要通過測量、折拼、剪拼的方法，把不同位置的3個內角想方設法合起來。雖然操作的路徑不一樣，但“分與合”的數學思想一脈相承。于是，在探索“四邊形的內角和”時，學生也嘗試運用測量、剪拼的方法，并在“分與合”思想的驅動下，衍生出分割的方式，從而簡潔地表達出思考過程，得到運算結果。從具身操作到比較優化最終形成計算模型，不同的分割方式表達了相同的“分與合”體悟。這種真實的經歷更能激發學生用數學語言表達方法背后的數學思想，而數學模型的建構也會在無形中滋養學生的思維。

（三）融會貫通

在研究“四邊形的內角和”時，學生是從長方形和正方形的內角和出發，猜測任意四邊形的內角和，再加以驗證，這是從特殊到一般的論證過程。在探究“多邊形的內角和”時，教師以表格的方式出示結果（見表1），使學生從關注具體圖形到發現計算規律，體現了從簡單到復雜的有序思考過程。搭建這樣的學習框架，有助于增強學生合乎邏輯的表達能力，在表達中遷移經驗，培養高階的數學思維。

數學教學要關注知識、方法和能力的形成過程。因此，教師需要理清知識線索，整體貫通地設計表達路徑，從個體方法到系統呈現，從點狀分布到線面關聯。學生真實地體驗、自主地表達，才能實現方法的遷移、優化、勾連和沉淀，驅動數學思想的內化，實現數學思維的進階。

三、彰顯表達的價值：從需要到運用

數據表達是分析事物發展情況的一種量化形式。強化基于數據表達現實問題的意識，可以幫助學生積累依托數據探索事物本質、聯系和規律的活動經驗，形成通過數據認識事物的思維品質。

例如，在教學蘇教版小學數學六年級上冊《百分數的認識》一課時，教師從基于需要、整體認知、分析應用三個方面體現數學表達的意義與價值。

（一）基于需要

為了讓學生產生統計需要，體會統一標準的重要性，教師設計了質量檢驗部門對不同品牌口罩抽樣檢測的情境。

教師分步出示表2：先出示三種品牌的合格數量，發現只看一組數據不能得出哪個品牌最好；再出示抽查數量，進行比較，發現只比不合格的數量不合理，關鍵要找到合格數量與抽查數量的關系。

在分析數據時，學生的數學感覺與思維產生碰撞，體會到由絕對到相對的過程。“百分數”的出現，將數量關系與比較結果表達得既直觀又方便。基于統計需求的數據表達，能幫助學生自主建構知識，鍛煉思維的深刻性。

（二）整體認知

百分數的價值在于其能精準表達兩個數量之間的倍比關系。為了深化對百分數的理解，規范百分數意義的語言表達模型，感受百分數對于描述數據的作用，溝通百分數與分數、比的聯系，教師設計了有關電池電量的實際問題。

例題"（1）你能看懂圖6中這些電池電量的情況嗎？從圖中你能看到哪些百分數？

（2）它表示什么含義？（用“""是""的百分之幾”這樣的句式回答）

（3）你還能看出哪些數學信息？

數學來源于生活，圍繞電池電量圖展開的教學為百分數的表達找到了現實支點。從數學模型、語言模板、關聯舊知三個方面整體建構對百分數意義的理解與表達，促使學生在對已有認知的同化和順應中不斷發展數學思維。

（三）分析應用

統計的研究對象是隨機數據，教學百分數的統計意義時要讓學生知道現實世界中隨機現象是普遍存在的，感受隨機數據的特征以及表達隨機現象發生的可能性大小。因此，教師在教學中加入了“拋硬幣”的活動：小組合作，每人各拋10次，記錄正面朝上的次數和反面朝上的次數，并嘗試計算出相應的百分比。小組合作完成活動后，教師引導學生把個人數據、小組數據、全班數據綜合對比，發現百分比越來越接近50%，最后呈現科學家試驗的數據（如表3），進一步引導學生觀察、思考和發表觀點。

統計的思維就是用部分數據推斷總體情況，在刻畫不確定事件時，這種根據數據作出推斷的方式就是統計的本質。在“拋硬幣”試驗中，通過大數據的試驗，可以發現硬幣正面朝上或反面朝上出現的可能性在50%附近波動，從而理解“50%”的統計意義，感受比賽中用拋硬幣來決定順序的公平性，體會數據表達對現實生活的決策價值，讓思維更有內涵。

從對數據統計的需要到數據分析的運用，百分數的價值體現為能簡潔準確地對數據進行刻畫與表達，并幫助人們作出判斷。學生完整經歷了用數據解決問題的過程，逐步形成用數據表達與交流的意識，數學思維也隨之不斷提升。