關(guān)注知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu),促進(jìn)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

[摘? 要] 數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯性和結(jié)構(gòu)性，從整體上把握知識(shí)的結(jié)構(gòu)能夠挖掘知識(shí)之間的聯(lián)系，使學(xué)生進(jìn)行深度思維，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。教師通過(guò)厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)，開(kāi)展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感受知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，深度探究問(wèn)題的本質(zhì)與掌握知識(shí)的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[關(guān)鍵詞] 邏輯結(jié)構(gòu);知識(shí)內(nèi)涵;深度學(xué)習(xí)

在課堂教學(xué)中學(xué)生的學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生，關(guān)鍵在于學(xué)生是否真正參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，是否在教師的引導(dǎo)下去探尋問(wèn)題的本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)體系，理解知識(shí)的內(nèi)涵。通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能學(xué)會(huì)知識(shí)和技能的遷移，從而體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)的魅力，獲得深刻的情感體驗(yàn)。數(shù)學(xué)知識(shí)具有內(nèi)在的聯(lián)系和邏輯結(jié)構(gòu)，因此數(shù)學(xué)教材的編排也彰顯出系統(tǒng)性和邏輯性。在教學(xué)中教師要從整體上把握教材的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)，通過(guò)知識(shí)的關(guān)聯(lián)、方法的遷移、內(nèi)容的重組以及數(shù)學(xué)過(guò)程的凝聚，開(kāi)展結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，使課堂學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

一、關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識(shí)意義

數(shù)學(xué)知識(shí)之間既有縱向聯(lián)系，又有橫向聯(lián)系。在教學(xué)中教師要進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，把握知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)體系，探尋知識(shí)本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)意義的深度建構(gòu)，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

1. 知識(shí)橫向聯(lián)系

教學(xué)中知識(shí)的橫向聯(lián)系是通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，將不同的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)從多種角度思考和審視數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)體系，從而形成網(wǎng)狀的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行橫向聯(lián)系，發(fā)展思維的靈活性，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

案例1? 角的度量和體積單位

在教學(xué)“角的度量”這一內(nèi)容時(shí)，教師不僅教學(xué)生用量角器測(cè)量角的度數(shù)，還將刻度尺、時(shí)間尺與量角器進(jìn)行對(duì)比。三種工具雖然具體測(cè)量的內(nèi)容不同，但是可以發(fā)現(xiàn)這三種工具都有刻度，并且標(biāo)有刻度的起點(diǎn)，都是標(biāo)有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)刻度的測(cè)量工具。

在教學(xué)“體積單位”時(shí)，教師不能讓學(xué)生局限于體積單位的學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生將體積單位與長(zhǎng)度單位、面積單位等進(jìn)行橫向?qū)Ρ龋l(fā)現(xiàn)它們的共同規(guī)律：即先要確定標(biāo)準(zhǔn)單位，然后求出它們所包含的標(biāo)準(zhǔn)單位的個(gè)數(shù)。

在教學(xué)中教師要通過(guò)知識(shí)的橫向關(guān)聯(lián)為學(xué)生新知的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，建構(gòu)起新知與舊知的聯(lián)系，使學(xué)生通過(guò)豐富的學(xué)習(xí)情境感受新知，完善已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓展自己的認(rèn)知觸角。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生進(jìn)行深刻思考，促進(jìn)學(xué)生思維活動(dòng)的真正開(kāi)展。

2. 知識(shí)縱向聯(lián)系

數(shù)學(xué)教材一般按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律呈螺旋上升的結(jié)構(gòu)進(jìn)行編排，即將相同的知識(shí)點(diǎn)安排在不同的章節(jié)、不同的學(xué)段進(jìn)行學(xué)習(xí)，逐漸提升知識(shí)的難度。教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要從整體上把握教材的結(jié)構(gòu)和邏輯，理解同一知識(shí)點(diǎn)在不同學(xué)段的具體要求，把握教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行縱向的比較和聯(lián)系，從而構(gòu)建起完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

案例2? 除法

除法包括了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)算，教材將這些內(nèi)容依照順序安排在不同的學(xué)段。它們的算法雖然不盡相同，但是在計(jì)算過(guò)程中能找到共同之處。教學(xué)中教師可以將這些內(nèi)容進(jìn)行縱向的比較，使學(xué)生能夠?qū)Τǖ挠?jì)算知識(shí)有更加深入的理解。

師：392÷56如何計(jì)算？

生1：結(jié)果為7，因?yàn)?9個(gè)10不夠被56分，因此要將39個(gè)10轉(zhuǎn)化成390個(gè)1，被56分了之后可以得到7個(gè)1，所以7需要寫在個(gè)位上，而不能寫在十位上。

師：很好，我們今天來(lái)看一下小數(shù)的除法，11.2÷4應(yīng)該如何計(jì)算呢？同樣用11被4分，可以得到商為2，余3，而3個(gè)1是不夠被4分的，那么就需要轉(zhuǎn)化為30個(gè)0.1，最后32個(gè)0.1再被4分可以得到8個(gè)0.1，十分位上應(yīng)為8，所以最后的答案為2.8。下面哪位同學(xué)來(lái)說(shuō)一說(shuō)分?jǐn)?shù)的除法÷3應(yīng)該如何計(jì)算呢？

生2：這道題同樣有一個(gè)問(wèn)題就是2個(gè)不夠被3分，那么可以把轉(zhuǎn)化成，這樣被3分之后可以得到2個(gè)，因此這道題的結(jié)果為。

師：很好，通過(guò)這三種除法計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)，除法的本質(zhì)就是將計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行平分。當(dāng)出現(xiàn)除數(shù)較大，被除數(shù)不夠平分的時(shí)候要將較大的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化成下一個(gè)計(jì)數(shù)單位再繼續(xù)平分。

本例通過(guò)知識(shí)的縱向聯(lián)系將新舊知識(shí)進(jìn)行比較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到除法的本質(zhì)。只有學(xué)生自主構(gòu)建起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)活動(dòng)才算真正發(fā)生。

二、遷移知識(shí)技能，提升學(xué)習(xí)能力

知識(shí)遷移是指將已知的知識(shí)、技能、方法遷移到新的情境中，能夠?qū)崿F(xiàn)舉一反三，建構(gòu)聯(lián)系的能力。數(shù)學(xué)教材的編排有嚴(yán)密的邏輯體系，因此學(xué)生具備知識(shí)遷移的能力就能夠提升自主學(xué)習(xí)的能力，發(fā)展思維的靈活性。

1. 遷移學(xué)習(xí)方法

創(chuàng)設(shè)新的學(xué)習(xí)情境能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣。因此，具有一定挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)往往更能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)熱情。數(shù)學(xué)教材將同一知識(shí)內(nèi)容按照不同的難度分布在不同的學(xué)段進(jìn)行學(xué)習(xí)，呈現(xiàn)螺旋上升的結(jié)構(gòu)。許多知識(shí)以及學(xué)習(xí)方法之間具有相似性，教師可以利用其中的規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生將已知的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法遷移到新的學(xué)習(xí)任務(wù)中，從而有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)探究，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

案例3? 兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算

例題：幼兒園購(gòu)進(jìn)12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)，一共有多少個(gè)？

教師設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)單，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)任務(wù)單的提示完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

師：首先將兩位數(shù)的筆算乘法轉(zhuǎn)化成我們熟悉的口算，可以如何轉(zhuǎn)化？

生1：我們可以將12轉(zhuǎn)化成10+2，這樣可以得到24×10=240，24×2=48，再將兩者相加可以得到結(jié)果為288。

生2：我們可以將12轉(zhuǎn)化成2×6，這樣可以轉(zhuǎn)化為24×6×2，得到結(jié)果為288。

師：很好，類似的方法我們都可以計(jì)算出結(jié)果。下面我們?cè)趫D1點(diǎn)子圖上進(jìn)行操作。

（學(xué)生將12進(jìn)行拆解，在點(diǎn)子圖上進(jìn)行操作演示）

師：既然我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了兩位數(shù)乘法的計(jì)算，那么現(xiàn)在我們可以通過(guò)如下的豎式筆算演示出來(lái)。

本例中教師利用學(xué)生已有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行知識(shí)遷移，在不同的算法中采用了“先拆再合”的方法，使學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)了這些算法之間共同的算理和內(nèi)在的聯(lián)系。借助點(diǎn)子圖幫助學(xué)生將抽象的計(jì)算知識(shí)變得更加形象具體，從而能夠以直觀可視的方式理解運(yùn)算中的算理。借助點(diǎn)子圖使學(xué)生將口算中的分步計(jì)算與豎式筆算聯(lián)通起來(lái)，打通了由圖形演示到分步計(jì)算再到豎式計(jì)算之間的結(jié)構(gòu)通道（如圖2），從而在整體上找到不同算法之間的相同點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)由算法到算理之間的自然過(guò)渡。

在掌握了兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘的基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：當(dāng)乘數(shù)變成三位數(shù)應(yīng)該如何計(jì)算？如果是多位數(shù)與兩位數(shù)、三位數(shù)的相乘又該如何計(jì)算？

從一位數(shù)的乘法出發(fā)，遷移到兩位數(shù)、三位數(shù)直至多位數(shù)的計(jì)算，實(shí)現(xiàn)乘法筆算知識(shí)的縱向聯(lián)系，建構(gòu)乘法的計(jì)算算理和方法的結(jié)構(gòu)模型，從而使原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加完善，形成更為豐富的網(wǎng)狀數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

2. 遷移知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)密的邏輯結(jié)構(gòu)，許多同類知識(shí)在學(xué)習(xí)中都有相似的結(jié)構(gòu)，教師要把握知識(shí)中的相似學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生將這種學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)遷移到新知的學(xué)習(xí)中，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性。

案例4? 乘法交換律

交換律是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一種常用計(jì)算方法，對(duì)于簡(jiǎn)便運(yùn)算有著非常重要的意義。數(shù)學(xué)加法交換律與乘法交換律具有相似的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，倘若采用相同的教學(xué)方法，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)不夠積極，無(wú)法激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。因此，教師可以采用遷移學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。比如，在加法交換律中，學(xué)生采用了“提出猜想、到驗(yàn)證猜想、再到提煉概括、最后拓展延伸”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。在乘法交換律中，教師要求學(xué)生遷移這一學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，搭建自主學(xué)習(xí)的“腳手架”，開(kāi)啟深度思維的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

三、重組教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)教學(xué)要立足于學(xué)生的實(shí)際情況和認(rèn)知特點(diǎn)，不能只依靠教材按部就班，教師要根據(jù)實(shí)際的教學(xué)需要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹亟M，從而更加符合學(xué)生的發(fā)展水平，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)真正發(fā)生。

1. 調(diào)整內(nèi)容順序

教材的知識(shí)編排一般按照由易到難的螺旋上升結(jié)構(gòu)進(jìn)行編排，但在實(shí)際教學(xué)中受到負(fù)遷移的影響，反而導(dǎo)致知識(shí)較難同化。教師可以對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行合理調(diào)整，打破原有的教材順序和學(xué)生的認(rèn)知平衡，讓學(xué)生能夠更加積極地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的順應(yīng)和同化，使思維更加深刻。

案例5? 小數(shù)的加減法

（1）6.45+4.29，6.45-4.29。

（2）6.45+8.3，6.45-8.3。

教材中按照相同位數(shù)的小數(shù)加減和不同位數(shù)的小數(shù)加減進(jìn)行內(nèi)容的編排，體現(xiàn)出由易到難的特點(diǎn)，學(xué)生在完成第（1）題之后雖然能夠較順利地計(jì)算出結(jié)果，但是對(duì)算理的理解不一定正確，容易產(chǎn)生負(fù)遷移。學(xué)生會(huì)認(rèn)為小數(shù)的加減法與整數(shù)的加減法相同，也是采取末位對(duì)齊的方法計(jì)算，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。因此，在教學(xué)中教師不妨調(diào)整（1）題和（2）題的順序，讓學(xué)生先做（2）題，他們?cè)谟?jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)爭(zhēng)議和分歧：究竟是按照末位對(duì)齊還是按照小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊進(jìn)行計(jì)算，這就打破了學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，迫使學(xué)生學(xué)習(xí)新知，完善已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而更好地接受新知，掌握小數(shù)加減法的本質(zhì)。

2. 調(diào)整課時(shí)分配

深度的學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生在知識(shí)情境中能夠自主探究，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程。在課時(shí)的內(nèi)容安排中教師可以做相應(yīng)的整合，將內(nèi)容相似、學(xué)生容易混淆和出現(xiàn)錯(cuò)誤的內(nèi)容整合在一個(gè)課時(shí)中，從而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)的素材展開(kāi)深入思考，在激烈爭(zhēng)辯中形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

案例6? 正反比例的意義

正比例與反比例的意義在教材中分別安排在兩個(gè)課時(shí)中，教材提供的學(xué)習(xí)素材較為簡(jiǎn)單，對(duì)于學(xué)生的思維訓(xùn)練較少，不利于學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。這兩項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容具有相關(guān)性，因此可以將它們整合在一個(gè)課時(shí)之中，為學(xué)生的探究提供充足的時(shí)間和空間，促進(jìn)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)。

在教學(xué)中教師可以列舉正反比例的具體事例。比如，王奶奶的體重與年齡關(guān)系、書(shū)籍已讀和未讀的頁(yè)數(shù)關(guān)系、物品銷售的數(shù)量與總價(jià)關(guān)系、運(yùn)送貨物每天的運(yùn)送量和運(yùn)貨的天數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生探究這些學(xué)習(xí)素材中兩個(gè)變化量之間的關(guān)系，并進(jìn)行正反比例的概念辨析，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解。

通過(guò)將兩個(gè)容易混淆的概念進(jìn)行整合，能夠使學(xué)生處于更加廣闊的學(xué)習(xí)背景中，增強(qiáng)了思維的挑戰(zhàn)性。學(xué)生在深刻辨析中體驗(yàn)到兩種比例關(guān)系的不同變化規(guī)律，從而形成更加清晰的概念。兩項(xiàng)內(nèi)容整合在同一課時(shí)能夠避免問(wèn)題的指向過(guò)于單一，便于診斷學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，有利于學(xué)生在綜合的辨析比較中理解正比例和反比例的概念，使學(xué)習(xí)活動(dòng)真正發(fā)生，鍛煉了學(xué)生的思維能力。

四、凝聚學(xué)習(xí)過(guò)程，突出學(xué)科本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。因此，在教學(xué)中教師要凝聚學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)滲透數(shù)學(xué)思想，突出學(xué)科的本質(zhì)和內(nèi)涵，體現(xiàn)學(xué)科的屬性特征。

1. 發(fā)展抽象思維

抽象思維是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵思維，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)的素材出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性從情境中剝離，讓學(xué)生產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識(shí)。

案例7? 小數(shù)的性質(zhì)

在教學(xué)小數(shù)時(shí)教師常常會(huì)借助具體的教學(xué)模型讓學(xué)生理解，比如，2元5角等于2.50元、8.00元等于8元，借助米尺可以直接觀察0.1米與0.10米、0.100米相等。在此基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生從直觀的認(rèn)識(shí)到抽象的理解，借助圖示理解0.3表示3個(gè)，0.30表示30個(gè)，即0.3與0.30相等。

當(dāng)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和直接觀察理解數(shù)學(xué)知識(shí)之后，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)建構(gòu)，保證其能真正理解知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵。

2. 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行的抽象化表達(dá)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)效率的核心。

案例8? 數(shù)字的倍數(shù)特征

在教學(xué)2、3、5的倍數(shù)特征之后，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究4、8、9的倍數(shù)特征，并通過(guò)對(duì)比辨析2、3、5、4、8、9的倍數(shù)特征，抽象出它們的數(shù)學(xué)模型：即一個(gè)數(shù)能否被另一個(gè)數(shù)整除，只要將這個(gè)數(shù)除了個(gè)位上的各個(gè)數(shù)分別除以另一個(gè)數(shù)，再將余下的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)相加，所得到的和能被另一個(gè)數(shù)整除，這個(gè)數(shù)就能被另一個(gè)數(shù)整除;反之，則不能。用數(shù)學(xué)的符號(hào)可以表示為：判斷abc能否被9整除，可以將abc轉(zhuǎn)化為100a+10b+c，通過(guò)變式可以得到100a+10b+c=99a+9b+a+b+c，因此只要a、b、c的和能夠被9整除，那么abc就能被9整除。通過(guò)對(duì)比辨析2、3、5、4、8、9的倍數(shù)特征，抽象出它們共同的數(shù)學(xué)模型，由具體到抽象的學(xué)習(xí)，建構(gòu)起數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

總之，教師在教學(xué)中要基于教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情整體梳理教材的結(jié)構(gòu)和脈絡(luò)，對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)和整合，實(shí)現(xiàn)方法和技能的遷移，從而助力學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

作者簡(jiǎn)介：陳支晶（1989—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。