基于深度學習的問題式數學概念教學策略研究

李賽花

摘 要：傳統數學概念教學“輕過程、重結果”，往往是“介紹概念—說明內涵—闡述應用規律—例題講解”的“灌輸式”教學，忽視概念的發現、發生和形成，概念學習退化為“概念—性質—注意事項”教師主導的學習過程，不能有效地體現學生的主體地位。深度學習下的問題式數學概念教學倡導的是讓學生親身經歷、體驗、感受的教學法，通過課前預習、資料查閱、合作探究、課堂交流等方式了解概念的由來與發展，把握概念的內涵，理解概念的核心與本質，在解決問題中應用概念。在數學概念教學過程中，教師引導學生以問題為切入點開展學習活動，通過鼓勵學生提出問題，引導學生深入理解數學概念，實現學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養與提升。

關鍵詞：數學概念；深度學習；數學問題；教學策略

根據《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂），高中數學教學應當側重于核心概念和基本思想，在日常教學過程中加強學生對數學概念的全面深入理解；要提高學生從數學的角度發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1]。隨著新課標的深入實施，高中數學的概念教學受到了前所未有的重視，在高中數學概念教學中引導學生提出問題對實現深度學習有重要的意義。

對數學概念的深度學習是學生主動形成數學概念，批判性地運用數學思維，最終充分理解數學概念并善于應用數學概念的學習應用策略[2]。學生在不斷解決數學問題的過程中得以提高自己的數學能力，基于深度學習的數學概念教學模式除了肯定學生的主體地位，還應鼓勵學生提出問題，在教師的引導下對數學概念進行探究，最終可以理解概念，應用概念，解決問題。筆者結合20余年的一線教學經驗，給出基于深度學習的問題式數學概念教學法的七個教學策略。

一、設置預習作業，引導學生在自學數學概念時提出數學問題

在數學教學過程中，教師需要關注學生良好學習習慣的培養，良好的學習習慣會讓概念教學取得事半功倍的效果，其中預習就是一種良好的學習習慣。教師在概念教學前布置預習作業，學生通過閱讀書本或教師提供的相關資料，提前對數學概念進行初步了解，通過預習作業幫助學生熟悉問題并提前進入學習狀態，使學習變得更有目的性和主動性，在課堂上提出與概念相關的數學問題。

例如，在學習“正弦函數圖像”相關知識前，布置學生閱讀課本，并試著畫正弦函數的圖像，教師收集匯總學生的預習作業。通過作業發現一些學生將正弦函數的圖像畫成了半圓、拋物線、折線等，這些錯誤恰好就是學生的問題素材，比如，正弦函數圖像的變化趨勢是什么？圖像上的關鍵點有哪些？圖像的凹凸性該如何把握？等問題，正確的圖像背后就是正弦函數的概念。教師可以引導學生觀察不同學生所畫的不同圖像，通過發現這些圖像的區別與聯系，提出自己的疑問。在實際教學中，有的學生提出：為什么有的圖像是折線，有的是曲線？有的學生提出：為什么不能把圖像畫成內凹形？還有學生提出：造成這些圖像不一樣的原因是點取的不一樣還是點取的個數不夠呢？這些問題可以引發更多的學生去思考正弦函數圖像的正確畫法到底是什么，極大地調動了學生學習正弦函數圖像的積極性與主動性，有利于課堂教學的開展。結合課堂上的分析，引導學生進一步總結出正弦函數圖像的正確畫法及關鍵步驟，促進學生對正弦函數圖像的深度學習與理解，同時提高學生的作圖、識圖、用圖能力。

二、引導學生在數學概念學習中提出數學問題

數學概念學習過程中，學生由于不懂提問而極少提問，教學中教會學生如何提出問題可以促進數學概念深度學習[3]。在實踐中，筆者通過開設專題講座培養學生的課堂提問能力，引導學生在數學概念學習中，要對邏輯復雜的知識點、新舊知識的聯結方式、教學重難點進行提問，還可針對概念定義、公式推導、解題思路等提出問題，思考過后，交流自己的見解。數學概念之間存在著眾多聯系，在進行數學概念教學時，指導學生對數學概念的關聯知識或者適用條件進行提問，鼓勵學生說出自己的疑惑和不解，在教師指導下經歷獨立思考與邏輯分析，深刻地理解與掌握、靈活地運用數學概念。

例如，在講解“等比數列”概念時，學生可以對“同一個常數”“從第二項起”等關鍵詞進行提問，提問范例包括“常數是否可以為零”“若僅有一個條件是否可以”“什么反例能說明不可以”等問題。帶著問題學習數學概念，學生對數學概念可以加深理解，牢固記憶，靈活運用。

三、啟發學生從豐富的情境中提出數學概念的本質問題

深度學習要求學生參與到知識建構的過程中，在數學概念的學習中不斷思考和探究概念的形成過程、概念的條件和結論，讓學生能夠理解概念的來龍去脈、概念的內涵和外延[4]。深度學習注重學生的主體性，教學活動以學生為中心，教師充分激發學生的探索欲，圍繞數學概念創設情境，引導學生提出問題，培養數學思維，發展數學能力。

這些情境要根據不同的數學概念進行創設，它可以與生活實際相關，可以與之前所學的知識相關，也可以與某一科學技術相關，只要與學生生活相關又能引導學生形成概念的情境都是引發學生提出問題的好素材。

例如，在學習“函數”概念的時候，可以創設如下問題情境：2021年8月5日，中國隊小將全紅嬋以完美的五跳中三跳滿分，總分466.2分拿下女子跳臺歷史單場最高分，奪得2020東京奧運會跳水女子單人10米跳臺金牌。

情境1：通過表格給出全紅嬋決賽5次跳水成績。第1跳82.5分，第2跳96.0分，第3跳95.7分，第4跳96.0分，第5跳96.0分。

情境2：全紅嬋在決賽某一次跳水中，從靜止開始在10米跳臺下落，下落的距離（單位：）與下落的時間（單位：）之間近似地滿足關系式。

情境3：通過給出全紅嬋決賽那天8月5日東京24小時內的氣溫變化圖，考慮溫度（℃）與時間（）的關系。

基于學生在初中已經掌握的函數概念，引導學生觀察這些情境的共同特征，啟發學生提出一系列與函數概念相關的數學問題，比如三個情境中都涉及了兩個變量的范圍，這是否是函數概念中的關鍵點？初中的函數概念指的是一個變量隨另一個變量的變化而變化，高中的函數是否也可以這樣定義，還是有更好的定義方式？情境1給出表格，情境2給出具體的函數解析式，情境3給出圖像，這三個情境是否存在函數關系，等等。這些問題的提出可以引發學生對函數概念進行深入的思考，發現函數概念的本質特征。因此，在概念教學中，應該把概念的形成過程交給學生自己去體驗和感悟，讓學生通過提出觸及概念本質的數學問題，實現對數學概念的深度學習。

四、利用教師設計的問題串促使學生提出數學概念相關問題

數學課堂的一個重要標志就是思維的碰撞，這需要一個源問題，即引起思維碰撞的源頭[5]，在教學實踐中可以設計一個問題或一串問題引起學生的思考，引導學生提出另一個問題或另一串問題，形成連鎖反應，得出新的數學概念。

例如，進行“函數的單調性”知識點教學時，可以設計這樣的問題串：

問題1：分析以下函數圖像的基本特征：（1）（＞0）；（2）（＞0）

問題2：怎樣利用數學語言來描述函數圖像變化趨勢？

問題3：怎樣量化表述二次函數）（＞

0）的圖像變化趨勢？

問題4：函數單調遞增的概念是什么？

問題5：你能舉一個增函數的例子并用定義進行說明嗎？

用這樣的問題串，引導學生對函數單調遞減提出相關問題：1.減函數的圖像有何特征？2.如何定義減函數？3.已經學過的減函數的例子有哪些？4.函數單調性的概念有等價定義嗎？5.利用函數的單調性可以解決哪些數學問題？等等。通過對這些問題的探究與解決，可以幫助學生對函數單調性的概念進行積極主動的建構，建立清晰而完整的概念體系。

五、利用信息技術引導學生提出數學概念的本質問題

高中數學概念有一個突出的特點，就是其高度的概括性和抽象性，學生得出概念有一定難度，而信息技術與數學學科相融合使得數學概念學習更加直觀、易懂，如，可以利用幾何畫板、GeoGebra（一個結合幾何、代數與微積分的動態數學軟件）等數學軟件的動態演示將抽象的數學概念變得形象而直觀，有效地突破思維難點，同時教師可引導學生針對這一動態演示的過程提出與概念相關的數學問題。

例如，在“拋物線”相關知識的教學過程中，可借助幾何畫板進行動態演示，構造一個到定點與定直線距離相等的動點，該動點的軌跡是一條拋物線。這一動態演示過程包含了許多可以提出的問題，教師可引導學生針對定點、定直線、軌跡形成，以及觀察圖像本身這幾個關鍵環節進行提問。如定直線與定點之間的關系如何？動點滿足的幾何條件是什么？如何給拋物線下定義？動畫中的拋物線與二次函數圖像所對應的拋物線有何區別？通過以上問題，能夠加深學生對拋物線概念的理解，實現對拋物線概念的深度學習。

六、組織學生通過合作探究學習，提出數學概念相關問題

每個學生看問題的角度不盡相同，學習能力也不盡相同，在開展概念教學的時候，盡可能地讓學生去親身經歷、感受，通過與同學、教師的合作探究去學習概念的內涵，掌握數學的本質，掌握其中蘊含的數學思想和方法。在合作探究學習時，可以按照學生的不同思維水平進行穿插組合，教師明確學習任務與目標，每個小組進行探究，在輕松的氛圍中，每個人根據自己的理解說出自己的想法與做法，在交流協作的過程中，學生會思考自己對概念的理解對不對，理解得深不深刻，思維產生了火花，這時就會提出新的問題，問題越辯越明朗，最后得出正確結論。

例如，在《平量向量的數量積》一課的教學中，涉及兩非零向量的夾角概念的學習時，學生在兩個向量不共起點時容易弄錯夾角的大小。對于向量在上的投影向量的概念及其公式的理解，學生也存在一定難度。這時組織學生以小組為單位進行探究，互相交流，提出問題，舉例論證，進行實操。實踐證明，在小組探究中，學生加深了對兩非零向量夾角的概念和向量在上的投影向量概念及其公式的理解，達到正確理解兩非零向量夾角的概念和向量在上的投影向量的概念及其公式的目的。在聽取小組報告時，如果有錯誤的觀點，教師適當點撥，以鼓勵為主，糾錯為輔，讓學生加深對數學概念的理解，實現深度學習。

七、通過變式訓練引導學生提出數學概念相關問題

基于深度學習的高中數學概念教學要讓學生參與概念的遷移與應用，發現數學概念的等價定義，挖掘概念的內涵，重視概念的應用，在新的情境中可以辨認出數學概念，進行外延和深化，提出相關的數學問題，促進學生進行深度學習。

例如，2021年新高考卷單項選擇第8題：有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球。甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ）

A.甲與丙相互獨立? B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立? D.丙與丁相互獨立

本題考查的是事件獨立性的概念的應用。運用事件的獨立性的概念計算公式=，本題就非常容易解決，（甲）=（乙）=1/6，

（丙）=5/36，（?。?1/6，對于選項A，（甲丙）=0，（甲）（丙）=（1/6）×（5/36），∴（甲丙）≠（甲）（丙），選項A不正確；對于選項B，（甲?。?1/36=（1/6）×（1/6）=（甲）×（?。x項B正確，而C，D選項可以仿照上面的方法判斷出是錯誤的。

在解題時，學生往往會通過定性分析想當然得出結果，而容易忽略通過事件相互獨立的概念來解決問題，結果得出錯誤的結論。這說明學生對數學概念的理解還停留在表面，不懂其內在深義，更不懂得對其進行應用與遷移，而深度學習要求要能促進問題的解決。通過變式訓練，引導學生分析問題，提出問題：本題涉及了什么數學概念？用了什么解題方法？注意點和易錯點是什么？通過這樣的變式訓練，對事件相互獨立概念的理解有什么幫助？學生在變式訓練中深化了對概念的理解與應用，同時通過進一步歸納總結并反思解題過程形成技能，達到深度學習的目的。

結束語

基于深度學習的問題式數學概念教學策略，是通過深度學習的方式，在學生深度參與數學概念的形成與應用的過程中，培養學生提出觸及數學概念本質的數學問題的能力；旨在幫助學生實現對數學概念的深度理解，完成對數學概念的主動構建，形成完整的知識體系，并能進行適當的遷移與創造，建立知識與情境的聯系，提高學生發現問題、提出問題、解決問題的能力；旨在提高學生的數學思維，培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析等數學核心素養以及創新和應用意識。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]朱耀洲.高中數學概念課教學實踐[J].學周刊，2022（31）：52-54.

[3]宋艷麗.基于深度學習的高中數學概念教學[J].數理化解題研究，2022（21）：52-54.

[4]吳有明.基于深度學習的高中數學概念教學實踐研究[J].中學數學教學，2021（1）：1-5.

[5]孫德軍.基于深度學習的高中數學概念教學研究[J].數理化解題研究，2020（30）：28-29.

本文系福建省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“基于深度學習的高中數學概念教學中學生問題提出的實踐研究”（課題批準號：FJJKZX22-611）階段研究成果。