拋物線最值問題的解題策略

■河南省許昌高級中學 孫英環

拋物線是圓錐曲線的一種,了解拋物線的定義、幾何圖形及其標準方程和性質,讓同學們主動尋找已有方法去研究所面對的新對象,并在再次利用解析幾何一般方法的基礎上,進一步深化對一般方法的理解,以提升同學們的直觀想象與數學建模能力。拋物線的最值問題歷來是高考的熱點之一, 常以填空題或解答題出現。下面就最值問題中常見題型及方法進行總結,引導同學們在平時的學習中學會總結反思。

一、巧用拋物線的定義求最值

例1設點P是拋物線y2=4x上的一個動點。

(1)求點P到A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;

(2)已知點B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值,并求取得最小值時點P的坐標。

解析:(1)如圖1,易知拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,由拋物線的定義知點P到直線x=-1的距離等于點P到焦點F的距離。于是,問題轉化為在拋物線上求一點P,使點P到點A(-1,1)的距離與點P到點F(1,0)的距離之和最小。顯然,連接AF交拋物線于點P,此時距離之和最小,最小值為

圖1

(2)如圖2,過點B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P,則|PQ|=|PF|。此 時|PB|+|PF|取得最小值,最小值為3+1=4。

圖2

因為點B(3,2),所以設點P的坐標為(x0,2)。代入拋物線方程y2=4x,得22=4x0,解得x0=1。此時點P的坐標為(1,2)。

反思點評:(1)利用拋物線的定義把拋物線上的點到準線的距離轉化成它到焦點的距離,快速求解;(2)利用拋物線的定義把拋物線上的點到焦點的距離轉化成它到準線的距離,同時看清命題意圖。

例2已知直線l1:4x-3y+11=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_____。

解析:如圖3所示,過點P分別作PM⊥l1,PN⊥l2,垂足分別為M,N。

圖3

設拋物線的焦點為F(1,0),由拋物線的定義可得|PN|=|PF|。

故|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,當M,P,F三點共線時,|PM|+|PF|取得最小值,其最小值為點F到直線l1的距離,即

反思點評:利用拋物線的定義把拋物線上的點到兩條直線的距離之和轉化成點到直線的距離,化陌生為熟悉。

二、巧用轉化求最值

例3求拋物線y2=x上的點到直線x-2y+4=0的距離的最小值及此時點的坐標。

解析:(方法一)

設(t2,t)為拋物線上一點,則d=

(方法二)

設與直線x-2y+4=0 平行且與拋物線相切的直線為x-2y+b=0。

故切線方程為x-2y+1=0,切點為(1,1)。

切點到直線x-2y+4=0的距離最小,最小值為

反思點評:方法一把拋物線上的點到直線距離的最值問題轉化成二次函數的最值問題,大大降低了難度;方法二平移直線,讓直線和拋物線相切,求切點坐標,把拋物線上的點到直線距離的最值問題轉化成點到直線的距離問題,從而求解。

例4已知M是拋物線y2=2x上一點,N是圓x2+(y-2)2=1關于直線x-y=0對稱的曲線C上任意一點,則|MN|的最小值為____。

解析:圓x2+(y-2)2=1 的圓心為(0,2),半徑為1。

易知圓心(0,2)關于直線x-y=0對稱的點為C(2,0)。

所以曲線C的方程為(x-2)2+y2=1。

設M(x,y)(x＞0),則|MC|2=(x-2)2+y2。

又y2=2x,所以|MC|2=(x-2)2+y2=x2-2x+4=(x-1)2+3。

當x=1時,|MC|2min=3,|MC|min= 3。

所以|MN|min= 3-1。

反思點評:結合對稱問題把拋物線上的點到圓上點的距離的最值問題轉化為拋物線上的點到圓心的距離減去半徑,把復雜的問題簡單化。

例5已知拋物線C:x2=8y的焦點為F,過點P(0,-1)斜率為k(k＞0)的直線l與拋物線C交于A、B兩點,AB的中點Q到x軸的距離為3,若M是直線l上的一個動點,E(3,0),則||MF|-|ME||的最大值為____。

解析:設直線l的方程為y=kx-1(k＞0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

所以x1+x2=8k,

則yQ=kxQ-1=4k2-1。

因為AB的中點Q到x軸的距離為3,所以4k2-1=3,k＞0。

解得k=1,則直線l的方程為y=x-1。

易知點F關于直線l的對稱點為F'(3,-1)。

所以||MF|-|ME||=||MF'|-|ME||≤|EF'|=1,當M在射線F'E與直線l的交點時,取等號。

反思點評:利用對稱的關系,求出焦點F關于直線l的對稱點F'(3,-1),||MF|-|ME||的最大值就轉化成EF'的長。

三、巧解復雜的最值問題

例6在平面直角坐標系xOy中,拋物線G的準線方程為y=-2。

(1)求拋物線G的標準方程;

(2)過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線l1和l2,l1與拋物線交于P,Q兩點,l2與拋物線交于C,D兩點,M,N分別是線段PQ,CD的中點,求△FMN面積的最小值。

解析:(1)設拋物線標準方程為x2=2py,其中p＞0,由題意得,解得p=4,則焦點F(0,2)。

故拋物線G的標準方程為x2=8y。

(2)F(0,2),由題意知直線l1,l2的斜率都存在且不為0。

如圖4,設直線l1的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),則直線l2的方程為y

圖4

例7已知拋物線C:y2=4x的焦點F,過F分別作直線l1與拋物線C交于A,B兩點,作直線l2與拋物線C交于D,E兩點,若直線l1與l2的斜率的平方和為1,則|AB|+|DE|的最小值為____。

解析:拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0),準線l:x=-1。設直線l1與l2的斜率分別為k1,k2,k1k2≠0,且k21+k22=1。

所以|AB|+|DE|的最小值為24。

高考命題圍繞數學本質,從不同角度、不同層次進行考查,試題變化的是情境,不變的是數學本質。分析其中的“變”,查找變化因素,分析變化原因,可以不斷提高同學們的數學素養。分析其中的“不變”,抓住事物本質,總結反思,提升同學們的思維能力。