把握運算的一致性 實現整體建構

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“數與運算”主題中明確提出：“通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性。”在計算教學中，嘗試通過承上啟下，順勢遷移;數形結合，滲透算理;把握生成，溝通聯系;內化方法，整體建構等幾個環節讓學生在親歷中體驗，在過程中建構，真正感悟運算的一致性，感受數學運算的思維之趣。

【關鍵詞】計算教學" 計數單位" 運算一致性" 算理" 建構

【基金項目】本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“生命哲學視角下小學高階課堂的創新路徑的研究”（編號：JN2021/132）的階段性成果。

【中圖分類號】G623.5 " 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2024）12-0133-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“數與運算”主題中明確提出：“通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數單位在運算中的作用，感悟運算的一致性?！蹦敲丛谄綍r的計算教學中如何溝通整數、小數、分數運算之間的聯系，體會運算的一致性，感受運算的本質呢？本文以蘇教版教材六年級上冊第三單元“分數除法”第一課時“分數除以整數”為例，從單元整體建構的視角設計教學環節，幫助學生把握運算的一致性，實現認知結構的整體提升。

一、承上啟下，順勢遷移

計算是小學數學知識體系中的重要內容，是學生數學核心素養中最基本的技能。“分數除法”這個單元在小學教材中是非常重要的，是小學階段最后一次學習計算方法，它是對前面學習的整數除法、小數除法、分數乘法等內容的統整，也為后面學習比、百分數等知識奠定了基礎?！胺謹党哉麛怠笔沁@一單元的起始課，可見本節課的重要性。這一課的重點在于經歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。

【片段一】

課始，依次呈現下面一組題：

師：量杯里有800毫升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少毫升？

生：800÷2=400（毫升）

師：量杯里有0.8升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？

生：0.8÷2=0.4（升）

師：對比上面兩題，你有什么發現？

生1：其實這兩題條件是一樣的。上面一題是800毫升，下面是0.8升，800毫升就等于0.8升。

生2：兩道題都用到了除法來計算，它們都表示把總共的果汁平均分成兩份，求每份是多少，所以用除法計算。

生3：也就是總量÷份數=每份量。

……

師：量杯里有升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？

生1：把升換成0.8升，用除法來計算。

生2：我想問問生1，如果不把升換成0.8升，能直接用除法算嗎？

生3：我覺得是可以的，只不過這樣變成分數除法了，我們沒學過。

生4：我也覺得是可以的，這里的升是一個具體的量，在分數里面是可以平均分的。

……

師：同學們各抒己見、有理有據！看來，不管我們是把一個整數、一個小數或者一個分數平均分成幾份，求每份是多少，都可以用除法計算。

例題以除法中的平均分為素材，然而實際生活中需要用分數除法解決的問題并不多，所以教學中盡可能地先調動學生已有的知識基礎，將教學起點前移，打通分數除法與小數除法和整數除法之間的聯系，拓展了除法意義的一致性?！捌骄帧奔辞髱追种畮壮詭祝梢岳斫鉃閷讉€幾分之一平均分成幾份，每份是多少。從運算一致性的角度來看，這里除法的本質是把計數單位的個數平均分，這樣的算理同樣適用于分數除法。這樣的設計尋求內容間的內在聯系，引導學生逐步遷移到已有的認知結構中，有助于學生形成完整且統一的除法運算的知識結構。

二、數形結合，滲透算理

數學是研究數量關系和空間形式的一門學科，而數形結合是一種重要的數學思想方法。數形結合可以幫助學生在數與形的轉換中形成對計算問題的全新認識，調動學生學習的興趣和熱情，深化對知識的認識和理解，學會對知識進行變通，降低計算難度，有效地培養學生計算解題的方法，拓寬學生的計算思路。

【片段二】

師：÷2，你準備怎樣算呢？

生1：可以用我們前面的方法，把化成小數0.8來計算。

生2：÷2，用分子4÷2=2，結果就是。

生3：我同意生2的想法，升是表示把1升果汁平均分成5份，有這樣的4份，那么再平均分給2人，每人就分到這樣的2份，就是升了。

師：你能想個辦法把你說的分的過程表達清楚嗎？

生3：我可以畫個圖給大家看。

師：回顧我們剛才平均分的過程，我們是把涂色部分的，也就是有4個，平均分成2份，每份是2個，就是升。

生4：我是這樣想的，平均分給2小朋友，每人就分到這瓶果汁的，可以用×=（升）， 結合右面的圖，我們就更好理解了。和生3畫的圖是一樣的。

生5：÷2 =（×5）÷（2×5）

=4÷10

=（升）

……

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休?！痹跀档倪\算學習過程中，教師可以引導學生借助形的表達將算理可視化。以數解形，以形釋數。教學÷2時，學生根據已有的知識經驗，想出了多種不同的算法，但是“會算”并不表示“會意”。學生根據示意圖，分一分、畫一畫，再算出結果。交流中引導學生感受畫圖的直觀，結合圖來理解算理，不僅能得到直觀的結果，使學生看到分數除法與分數乘法在算法上的一致性，幫助學生理解除法轉化成乘法算式的意義，也能把單位的運算凸顯出來，對算法和算理進行了統一。這里教師及時有效的數形結合，促進了學生抽象思維的發展，實現了數與形的有效轉換，也激發了學生發散性思維的形成，學生能結合圖自然地把除法和乘法聯系起來，實現了知識的自主建構，提升了學生舉一反三的能力，為后繼有效學習打下基礎。

三、把握生成，溝通聯系

【片段三】

師：對比這幾種方法，你更喜歡哪種方法呢？

生6：我喜歡生1的方法，換成我們學過的小數除法算，簡單。

生7：我覺得生1的方法是挺好的，但是萬一果汁總量是呢，是一個無限小數，就不好算了。

生8：我喜歡生5的方法，用商不變規律把變成整數，這樣就變成了整數的除法，我們都會算。

生9：我喜歡生2的方法，直接用分子去除以2，分母不變。

生10：如果分子除以2不能正好分完，那生2的方法就算不起來了，同樣生5的方法也不是適用每一種情況。

結合板書小結方法：

師：觀察、對比這些方法，你有什么發現？

生11：分數的除法計算，我們可以根據題中的數據，把它們轉化成我們學過的方法：整數除法、小數除法、分數乘法去算。

生12：前面兩個同學的方法，也可以說成是把分數除法轉化成整數除法來算的，都是把計數單位平均分的。

生13：我覺得分數除法還是轉化成分數乘法比較好算，可以不用考慮分子、分母的大小。

師：同學們真厲害！看來分數除以整數，可以按照整數除法、小學除法的算理來計算，也可以轉化成分數乘法來算。

算法各不相同，算理能否相通呢？在多樣化的算法里，我們要學會去掉它們的外衣，看到其內在的核心。數的概念及數的運算都是以計數單位為統領的，數的運算可以看成是計數單位之間的運算，計數單位是運算算理的基礎與核心，也是搭建運算一致性的橋梁。經過這一輪對比、辯論和反思，學生初步能感受到在算法形式化的外殼下包裹的是計數單位及其個數的計算。通過引導學生探索對運算一致性的理解，有助于學生加強知識之間的聯系，形成更為整體而結構化的數學知識。

四、內化方法，整體建構

【片段四】

教學÷3時，大部分學生都是這樣算的：÷3=×=（升）

師：有沒有不同的方法？

生1：沒有了，因為分子4÷3有余數，分不起來。

生2：只有轉化成分數乘法這個方法最簡單。

到這里學生突然就只有一種方法了，從學生的回答來看，他們只是自然地吸收了分數除法轉化成分數乘法的方法。蘇教版的教材在這里直接總結除法計算的方法，那么前面一直分的計數單位，到這里不能分了，就直接轉化成分數乘法來算了，學生會有種“遇到困難繞道行”的感覺。至于為什么顛倒相乘，學生只停留在對分數除法和乘法一致性的感悟上，很難從計數單位一致性的角度來理解，不利于后面整數除以分數、分數除以分數的學習。

師：分子4÷3有余數，分不起來。是不是這個分數分不起來呢？

生：不是，可以分的。

師：那怎么分呢？能不能結合圖來分一分。

生：中有4個，把這4份平均分成3份，每一小份就是，一共就是12個，取出其中的一份就是4個，就是。

師：當原來的計數單位不能被正好分完的時候，把計數單位變小再平均分就可以了?？磥恚麛?、小數、分數都是可以不斷地往下分的，可以變成更小的計數單位不斷地分下去。對比畫圖和乘法計算的過程，你有什么發現？

生1：我明白了，分數除以整數是可以分出來的，這個過程就是分數乘法的過程，分母的乘積正好是分成的小份數，就是小的計數單位。

生2：分數除以整數就可以轉化成分數去乘整數的倒數。

師：是的，分數除以整數，我們通常轉化成分數乘整數的倒數來計算。

生1：我還有一個問題，有沒有可能除數不是整數，如果除數是分數、小數呢？

生2：可能。

師：那還能像剛才這樣分下去嗎？

生3：我覺得應該可以。

師：這個問題很有價值，大家可以先思考著，后面的學習中我們會繼續研究！

本環節充分考慮到學生思維盲區、思維困難，把學生的認知生長點變成學生學習的探究點，通過畫圖，直觀地發現需要細分單位后再分。而分數除法與整數、小數的最大不同在于分數單位的不確定性，細分單位后，需要確定新的計數單位，進而幫助學生打通整數、小數、分數運算中計數單位的一致性，充分理解除法的算理。整個過程學生通過深入理解計數單位，進而對數與運算的一致性有所感悟，這是一個循序漸進的過程。反過來，學生通過對算理的本質理解，牢牢地掌握了算法。

從“分數除以整數”回看“分數除法”這一單元的學習，教學中以發展學生運算能力為落腳點，從結構化的角度設計教學過程。不同形式的分數除法計算，運算方法不盡相同，算理萬法歸宗。抓住知識間的內在聯系，構建知識網，從點狀知識走向網狀認知，有助于學生感悟運算的一致性，整體把握數的運算本質，促進運算能力和推理意識的發展，真正發展學生的核心素養。