數學教學中GeoGebra 軟件、數學史及課程思政的研究

李上釗，魏 東，張 琴，姜 偉，顧佳怡

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟 215500；2.常熟市孝友中學，江蘇常熟 215500）

一、引言

隨著我國經濟與科技的不斷發展，“互聯網+”的科學技術革命推動了信息技術的升級換代，助推了教育領域的深入變革。信息技術應用于教學活動中有利于教學手段的更新，同時教育理念和教學方法的現代化和信息化也推動了教學方式和學生學習方式的變革和多樣化。此外，信息技術為學生的多樣化和自主學習提供了技術平臺，使得學生在教學輔助手段的助力下有了更多的選擇和便利。現代信息技術有助于數學課堂教學創設適合數學知識需要的教學情境，建立抽象的數學形式與可見的呈現形式的聯系，讓學生直觀地感受數學知識發生、發展的過程和數學的本質，使抽象的數學知識變得可見、直觀和可操作性，突破教與學的交流障礙，助力學生自主地構建數學知識，優化思維加工對象和思維過程。只有這樣，才能更好地啟發學生探究數學規律和解決數學問題。

數學課程教學與信息技術的深度融合的核心理念是落實數學學科核心素養，使學生得到全面的發展。在信息技術的輔助下，教師可以通過動畫情景、可視化教學以及圖形的運動變化過程，突破傳統課堂教學的限制，使學生在教師的引導下實現自主學習，并經過頭腦風暴形成發散思維，梳理和總結知識點和知識要素。這能夠提高教學的質量和效率，也能夠提升學生的數學核心素養。

GeoGebra 是一款動態多功能的數學教育軟件，在數學的可視化教學中具有獨特的優勢，可以將數學中的抽象概念、定義、命題轉化成學生可以理解的直觀圖像，幫助學生感受內容的本質，實現抽象的數學知識到形象可見的圖形的轉化，進而使學生對各種概念有一個整體的認識，加深對概念和定義的理解。GeoGebra 應用于數學課堂教學能夠促進課堂教學與信息技術的融合，有助于改變數學教學的抽象性和枯燥性，利用圖像、動畫等可見的手段呈現數學抽象的本質屬性，打通抽象與形象的通道，幫助學生內化為認知結構，使其通過可視化的方式引導思維并發現規律和新知識與現有知識的內在聯系。通過交流，我們能夠增強學生學習數學的興趣和積極性，幫助學生形成良好的數學學習情感態度，促進學生的思維訓練和思維能力的提升。

二、基本原則

（一）發揮學生的主體作用

在教學活動中，教師要突出學生的主體性，而且尊重學生的主體性是提高教學質量的前提和保證。在利用GeoGebra 軟件進行數學課堂教學時，教師注重對學生的引導，鼓勵學生參與教學活動全過程，親身經歷操作過程。例如，教師可以引導學生在動態中測量角度，用滑竿工具變換圖形等動態演示，叮囑學生在學習過程中多觀察、多交流、多實踐，讓學生自主地發現和研究數學。教師的核心作用是引導，而GeoGebra 軟件只是一個教學的工具，不能代替學生的獨立思考和對知識的思維過程，因此教師要激發學生的學習興趣，給學生試錯空間，營造一個和諧的、讓學生進行思考的課堂環境，促使學生在交流互動的過程中參與課堂教學的全過程。這有利于培養學生的學習興趣，同時也是高質量教學的核心任務。

（二）注重引導學生探究問題

數學學習的難點在于內容的高度抽象性以及學生抽象思維能力的不足，這造成了數學難度的進一步加大。因此，教師必須發揮學生的主觀能動性，使學生通過表征系統符號的轉化以及認識數學的本質特征，以探究思維方式在數量關系、圖形關系中啟發解決問題的思路和方案。為了讓學生從具體的事例和背景中抽象出數學概念的聯系以及尋找出原理和規律，教師要充分考慮到數學知識學習的漸進式特征，在符合學生認知規律的前提下引導學生進行整體和局部的探索，經歷數學學科知識的探究全過程。學生在探究中發現問題并得到問題的答案，進而對知識的理解更加清晰，學習興趣更加濃厚，從而顯著提升了的思維能力、創新能力和解決問題能力。

（三）堅持立德樹人

教師要引導學生理解和體會數學概念、符號、性質、公理、定理、公式等蘊含的哲理，加強學生的思想政治教育，引導學生端正學習態度，腳踏實地地學習，正確地做人、做事、做學問，培養學生的愛國情懷和民族自豪感，增強學生的民族自信和文化自信，推動習近平新時代中國特色社會主義思想進課堂、進學生頭腦。教師要把社會主義核心價值觀教育融入課程教學內容和教學全過程各環節，突出價值引領、知識傳授和能力培養，實現課程教學的知識傳授與價值引導的有機統一，幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，實現學生的全面和可持續發展。

三、應用策略

（一）數形結合，化靜為動

數學內容的高度抽象性和概括性使得學生難以全面掌握知識，導致學生的抵觸甚至厭學情緒的產生，嚴重影響了教學效果和教育的本意。數學家華羅庚先生說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”數形結合是一種重要的數學學習方法，教師可以利用數形結合思想以生動、形象、直觀的方式把抽象的數學知識展示給學生，促進學生對知識的透徹理解和高效率的掌握，這是數學核心素養的重要體現。GeoGebra 軟件的優勢在于可以提供給學生形象、直觀、動態的演示，為數形結合思想的有效利用創造了技術條件。教師可以根據教學內容設計需要的動畫演示，引導學生觀察、思考和討論，有效地實現抽象與形象的轉化，進而在直觀形象的背景下感受數學抽象的概念和定義。在函數的教學過程中，抽象的知識內容容易導致學生不知所措，因此教師可以利用GeoGebra 軟件畫出函數的圖像并進行動態的演示，通過這種方式來表現函數的關系式，從數形結合的角度去感受和構建函數的概念和性質，可以加強學生的學習興趣，有利于學生抓住知識的關鍵點，加深對函數知識的理解和刻畫，促進學生觀察能力和空間想象力的提升，培養學生形象和抽象的思維，使課堂教學效果得到有效和高質量的提高。

（二）創設情境，啟發思考

根據教學內容創設合適的教學情境是提高教學效果的重要途徑之一，可以啟發學生從一般到特殊，再從特殊到一般的類比和歸納思維，使其理解相關知識，實現對數學知識的掌握。利用GeoGebra 軟件可以創造適合教學內容需要的問題情景、想象情景和試驗情景，旨在實現教學效益的最大化。教師要綜合平衡教學內容和GeoGebra 軟件技術的優勢，根據教學目標以及內容的復雜性和抽象性設計形式多樣的、開放靈活的教學任務，旨在實現制圖過程和數據的再現，使學生感知數學的內容本質和數學的思想方法，進而在互動交流的過程中實現知識體系的構建。教師可以利用GeoGebra 軟件的基礎指令繪制函數圖像，為學生創造展開想象的問題情景，引導學生進行可視化的類比，讓圖形和數據重現在學生面前，使學生在形象和直觀的學習情境中理解數學知識，進而提高學習數學的興趣和欲望，增強學習的自信心。只有這樣，學生才能全身心地投入數學課堂教學活動中，進而更好地掌握數學和愛上數學，促進數學教學效果、教學效率和教學收益的全面提升。

（三）融入數學史，實現課程思政

數學史在數學教學中占據著重要的教育價值。根據數學的教學內容特點，在建構主義理論指導下融入數學史和數學文化的內容，可以幫助學生了解知識產生、發展的來龍去脈。教師可以借助數學史讓學生經歷知識的重構，增加學生的知識的產生形成經歷，激發學生的學習興趣和學習自主性，促使學生以親歷者的心態全身心地投入教學活動之中，逐步提高學生的學習效率與質量。在融入數學史的過程中，教師要善于發揮GeoGebra 軟件的通俗易懂和動態呈現的優勢，在概念、性質以及定理等抽象數學內容中向學生展示動態表征，創設形象直觀的動態教學情景，借助數學史的知識實現知識形成的重構和動態數據的重現，促進學生邏輯推理和直觀想象能力的雙重發展。這種教學形式能夠促進核心素養的培養和課程思政的落實，發揮數學學科的育人價值。

例如，在講解平面、圓錐曲線等概念的時候，雖然學生對這些圖形具有感知認識，但如何從本質上理解和描述這些概念的內涵，使感性認知上升到理想抽象的理解，是教師面臨的一個非常棘手的難點和重點。那么，學生如何做才能深入理解知識之間的內在聯系，描述這些概念的幾何特征和數量關系呢？教師可以在教學過程中融入數學史教育，借助Geogebra 軟件進行動畫展示，利用Geogebra 軟件動態演示直線密鋪平面的過程、圓錐曲線的生成過程，讓學生在教學情境中抽象平面和圓錐曲線的幾何特征，在直觀形象的運動中觀察線與面的內在聯系。在教學中融入數學史中數學家們的長期嘗試和堅持的經歷故事，善于將數學史學形態轉化為教育形態，幫助學生降低所學知識的抽象性和難度，使學生在直觀感知和活動體驗中構建知識概念，在動態生成過程中體驗感悟數學知識的運動之美和科學之美，在觀察、類比和思考中提升學生的核心素養，以及培養學生積極的情感態度。在數學教學中將Geogebra 軟件和數學史知識的融合，有利于學生從直觀形象和知識重構層面理解知識，從動態表征中抽象出數學知識，感悟數學研究的思想方法，也有助于學生從整體上和運動角度把握知識內容的基本框架，在數學史料的重現中積累經驗和實踐體驗，使學生比較自然地理解抽象的數學概念，適應學生的認知水平。這樣也有助于培養學生精益求精和不斷開拓創新的精神品質，使其體會數學家面對困難問題時永不言棄、迎難而上、頑強拼搏的精神，進而形成正確的世界觀、人生觀、價值觀。

（四）引導學生，自主探索

在數學教學過程中，教師要積極培養學生的探究意識和實踐能力，啟發學生的思維，促進學生能力的提升。應用GeoGebra 軟件開展教學要打破數學抽象性的限制，發揮其強大功能促進學生自主探究知識，幫助學生全面地掌握教學內容和獲得深層次的認識。在實施過程中，教師可以將小組合作教學模式與GeoGebra 軟件應用相結合，發揮各自優勢以實現高質量的教學效果。

教師要根據教學內容的需要和學生的個性特點將學生分組，引導學生在理解教學內容的基礎上將任務分解為信息元素和信息結構，促使學生自主地挖掘信息模塊之間的內涵和內在聯系，這樣就能為后續的獨立探究打下堅實的基礎。在應用GeoGebra 軟件進行教學的過程中，師生需要密切配合，充分發揮信息技術的直觀性和互動性以及學生的主觀能動性，鼓勵學生從自己思維的獨特性角度質疑問題、發表見解。同時，教師要及時觀察學生的反應和存在的問題，培養學生舉一反三和觸類旁通的能力，激發學生探索知識的興趣和勇于創新的精神。學生在小組內利用GeoGebra 軟件的直觀性和形象性的優勢進行自主學習探究。小組經過討論之后形成共識性的意見，小組代表對任務內容進行交流發言，其他小組評議其中的優點和問題。教師對小組的答案和出現的問題進行歸納總結，抓住問題的關鍵，利用GeoGebra 軟件進行演示分析，幫助學生解決在自主學習中出現的迷茫和困惑，加深和鞏固對所學內容的認知。學生通過親身體驗數學的產生和發現過程，能夠加深對數學本質的認識和數學思想方法的感悟，有助于系統全面地掌握知識技能，提升自己的認識水平和創新意識，對構建良好的知識結構和培養解決問題的能力具有重要意義。

GeoGebra 軟件的技術優勢為復雜問題的清晰展示提供了環境支持，使高度抽象的數學理論知識通過生動形象的形式得到表達，提高了學生的學習興趣。數學史有助于學生了解知識的來龍去脈和理解數學內容的本質。將GeoGebra 軟件與數學史內容融入數學課堂教學中，促進了學生的主體性和探究性學習，促進了學生的認知結構的完善，平衡了教學效率、教學效果以及教學效益，培養了學生的思維能力，提升了學生的數學核心素養。此外，在了解數學的發展歷程和數學家的研究過程中培養學生克服困難、頑強拼搏和奮斗創新的科學精神以及由個別到一般，又由一般到個別的科學思維，有助于學生正確價值觀的形成和課程思政的落實。