一道關于圓錐曲線中焦點弦問題的有關性質探究

上海市曹楊第二中學(200062) 涂歡

衢州學院(324000) 李揚

《全日制義務教育數學課程標準》指出: 數學教學活動必須激發學生興趣,調動學生積極性,引發學生思考,鼓勵學生的創造性思維,一個好的問題往往可以激發學生有深度的數學內涵思考,在解決數學問題的過程中,發現數學的美,最近筆者在日常教學中遇到的2019 年青浦區高三數學一模卷20 題第3 問為素材,課下與本校支同學進行了間斷性的課外溝通指導,學生也具有濃厚的數學興趣,解題能力較強.

原題來自于2019 年青浦區高三數學一模卷第20 題第3問(下面截取第三問).

已知焦點在x軸上的橢圓C上的點到兩個焦點的距離和為10,橢圓C經過點若與x軸不垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點,交x軸于定點M,線段AB的垂直平分線交x軸于點N,且為定值,求點M的坐標.

圖1

問題推廣1: 橢圓

下面討論這一結論類似可延伸拓展到圓,雙曲線,拋物線等二次曲線上.

問題推廣2:圓

命題2已知圓的方程C:x2+y2=R2,在平面直角坐標系中,如果在x軸上存在一定點M,過M點任意作一條不與x軸、y軸平行的直線l,交圓C與A,B兩點.作線段AB的垂直平分線,交x軸于點N,使得是一個定值,則定點為M(0,0),定值=0.

證明對于圓而言,由于圓內弦AB的垂直平分線必過圓心O,故N點與原點O重合,故MN為定值,且該值由點M確定,但圓內弦AB繞定點M旋轉時,弦AB長度會隨之發生改變,故我們考慮比值確實存在滿足要求的點M,N,當其位置在圓的圓心處.這一結論也可由于圓是長軸和短軸近乎相等,兩焦點重合于坐標原點的某種意義上的特殊橢圓而直觀得出.該比值是常值0.

問題推廣3: 雙曲線

圖2

問題推廣4: 拋物線

命題4已知拋物線C:y2=2px,(p ＞0),在平面直角坐標系中,如果在x軸上存在一定點M,過M點任意作一條不與x軸、y軸平行的直線l,交拋物線C與A,B兩點.作線段AB的垂直平分線,交x軸于點N,使得是一個定值,則定點為定值=2.

圖3

教育要求以學生為中心,因材施教,筆者根據班級學生的學習情況.在保障基礎內容的完全掌握的情況下,通過拓展內容擴大學生的知識面,適當提高教學難度,激發有潛力的數學資優生學習數學的興趣和熱情,促進學生知行合一,學以致用提高其思維能力,空間想象力等核心素養,讓他們今后在各自的領域中走得更遠.