例析相似三角形問題的常見模型及解題思路

朱長梅

【摘要】相似三角形是初中數學十分常見的一類問題，也是必須熟悉和掌握的數學內容.對相似三角形問題的圖形進行分析并歸類，大致可分為A字模型、旋轉模型、8字模型等，學生掌握這些常見模型，能夠加強對相似三角形的理解，也能在一定程度上提高解題的準確度.本文主要結合例題分析不同模型對應的圖形特點和證明三角形相似的思路，幫助學生深刻理解，提高得分率.

【關鍵詞】初中數學；相似三角形；解題技巧

1? 旋轉相似模型

旋轉相似模型具體是指將一個三角形繞一個定點旋轉并放大或縮小，得到對應圖形，所得到的三角形被稱為旋轉相似三角形，且原三角形與旋轉得到的三角形相似.根據這一模型特點，可以解答一類旋轉相關的相似三角形問題，具體解題思路如下所示.

例1? 如圖1所示，已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連接AG、CE交于點H，若AB=3，DE=2，則CH的長為.

分析? 首先該題圖形屬于旋轉相似模型，唯一不同是旋轉的圖形是正方形.需要找出相似的一組三角形并判別，根據相似邊長比得到CH的長，即可對問題做出解答.

解析? 如圖2所示，連接EG，與DF交于點N，

設CD和AH交于點M，

所以∠GNA=90°，

DN=FN=EN=GN，

所以△ANG∽△ADM，

所以DMNG=ADAN，

因為DE=2，

所以DF=EG=2，DN=NG=1，

因為AD=AB=3，

所以DM1=33+1，

解得DM=34，

所以MC=94，

AM=AD2+DM2=3174，

因為∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，

所以∠ADG=∠EDC，

在△ADG和△CDE中，AD=CD∠ADG=∠CDEDG=DE，

所以△ADG≌△CDESAS，

所以∠DAG=∠DCE，

因為∠AMD=∠CMH，

所以∠ADM=∠CMH=90°，

所以△ADM∽△CHM，

所以ADCH=AMCM，即3CH=317494，

解得CH=91717.

2? 母子相似模型

母子相似模型具體是指兩個相似三角形具有一條公共邊和一個公共角的圖形，圖形特點主要是兩三角形互相依靠，是十分常見的一類相似模型.掌握該模型有助于學生靈活解題，具體解題思路為：①根據已知條件和圖形特點，找到相同比的一組三角形邊長，②根據相似三角形判定依據，找到相似三角形，解答問題.

例2? 如圖3，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，點P從點A開始沿邊AB邊運動，速度為2m/s，點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4m/s，如果P、Q兩動點同時運動，何時△QBP與△ABC相似？

分析? 該題圖形為母子相似模型，解題時需要從結論出發找到符合題意的條件，即相似三角形的邊長比，根據判別三角形的定理列出相關等式，解相關方程組即可求出具體答案.

解析? 設經過ts時，△QBP與△ABC相似，由題意可得AP=2t，

BP=8－2t，BQ=4t，

因為∠PBQ=∠ABC，

當BPAB=BQBC時，△BPQ∽△BAC，

即8－2t8=4t16，

解得t=2s，

當BPBC=BQBA時，△BPQ∽△BCA，

即8－2t16=4t8，解得t=0.8s，

所以經過2秒或經過0.8秒時，△QBP與△ABC相似.

3? 8字相似模型

8字相似模型具體是指圖形交叉特點形似“8”字，且通常認為對頂角所對應的一對三角形相似.判別8字相似模型中的相似三角形，需要具備平行邊，即對頂角所對的邊平行，即可找到一組相似的三角形.具體解題思路和特點如下例題所示.

例3? 如圖4，在平行四邊形ABCD中，E是邊長AD的中點，連接AC、BE交于點F，若△AEF面積為2，則△ABC的面積為（? ）

（A）8.? （B）10.? （C）12.? （D）14.

分析? 首先要找出△AEF和△ABC之間的聯系，△AEF和△ABC圖形與“8”字模型十分相似，故可按照8字相似模型解題.根據相似三角形判別定理判斷相似，其次根據邊長比得到對應面積比，即可得知具體面積值.

解析? 因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AD∥BC，AD=BC，

因為點E是邊長AD的中點，

所以BC=2AE，

因為AE∥BC，

所以∠EAC=∠BCA，

因為∠EFA=∠BFC，

所以△AEF∽△CBF，

如圖5所示，過點F做FH⊥AD于點H，FG⊥BC于點G，

則EFBF=AFCF=AEBC=HFFG=12，

所以S△AEFS△ABC=12AE·FH12BC·HG=12BC·FHBC·3HG=16，

因為S△AEF=2，

所以S△ABC=6S△AEF=12.

4? 結語

靈活應用并判別相似三角形模型，是學生在學習過程中需要掌握的內容.上述例題分別對不同相似模型做出分析和應用，各種模型都有各自的圖形特點，在解題中應引起學生的重視.掌握基礎知識和判別三角形相似的定理，是解答相似三角形的基礎，也是學生必須掌握的內容.

參考文獻：

［1］江田.相似三角形中的探索型問題例析［J］.語數外學習（初中版），2020（04）：24-25.

［2］陸志才.相似三角形探索題例析［J］.中學生數理化（初中版），2006（Z1）：26-29.