例談初中數(shù)學(xué)幾何最值問題的兩種解題思路

胥鳳霞

【摘要】初中數(shù)學(xué)的幾何最值問題屬于熱門考查問題，主要針對幾何圖形的線段、周長、面積的最值進(jìn)行提問，具有一定的難度.解答幾何最值問題主要有兩個不同角度，即幾何圖形角度和代數(shù)運(yùn)算角度，每個角度對應(yīng)的解題思路和知識點(diǎn)各不相同，都是學(xué)生需要關(guān)注和學(xué)習(xí)的內(nèi)容.本文結(jié)合具體例題分別對幾何定理解題思路和函數(shù)模型解題思路進(jìn)行分析，以此豐富學(xué)生的解題思路和方法，幫助學(xué)生開拓思路，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何最值；解題技巧

1? 幾何定理法

幾何圖形解題思路主要是指憑借常見的幾何定理得到最值情況對應(yīng)的具體幾何圖形，從而對問題做出解答.常見的幾何定理有：兩點(diǎn)之間，線段最短；直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等.靈活運(yùn)用這些幾何定理，能求得最值對應(yīng)的具體圖形，進(jìn)而能對問題做出具體的解答.

例1? 如圖1，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的一個動點(diǎn)，則EC+ED的最小值為.

剖析? 求兩線段之和的最小值，可借助兩點(diǎn)之間線段最短的幾何定理求解.由于△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，將C點(diǎn)等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于AB對稱的C′點(diǎn)，其次最小值對應(yīng)D、E、C′三點(diǎn)共線情況，運(yùn)用勾股定理即可求得具體最小值.

解? 作關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C′，

當(dāng)D、E、C′三點(diǎn)共線時，如圖2，

即EC+ED的最小值等于C′D，

因?yàn)椤螩BA=∠ABC′=45°，

所以∠DBC′=90°，

在△DBC′中，

DC′=DB2+C′B2=12+22=5，

所以EC+ED的最小值為5.

變式? 如圖3，△ABC和△ADE是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動，連接OE，則點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，線段OE的最小值為.

剖析? 求線段的最小值可考慮運(yùn)用垂線段定理解題，首先根據(jù)已知條件找出一對全等三角形，將OE線段長度轉(zhuǎn)化為便于求解的O′D線段長度，即求出垂直情況的O′E線段長度，即可得到問題所求最小值.

解? 取AB中點(diǎn)O′，連接DO′，

因?yàn)椤螪AO′=90°－∠DAC，

∠EAO=90°－∠DAC，

所以∠DAO′=∠EAO，

又因?yàn)镺和O′分別是AC和AB的中點(diǎn)，

所以AO′=AO，

在△ADO′和△EAO中，

AE=AD∠DAO′=∠EAOAO′=AO，

所以△ADO′≌△AEOSAS，

所以DO′=EO，

當(dāng)O′D⊥BC時，O′D最小，

因?yàn)椤鰾DO′是等腰直角三角形，

所以O(shè)′D=22BO′，BO′=12AB=1，

所以O(shè)′D=22，

所以O(shè)E最小值為22.

2? 函數(shù)模型法

代數(shù)運(yùn)算解題思路主要是將問題所求用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，以具體的函數(shù)解析式形式求解幾何最值問題.函數(shù)模型方法的運(yùn)用，在于假設(shè)動態(tài)值，建立問題所求與假設(shè)變量之間的關(guān)系，得到具體函數(shù)解析式，從而對問題做出具體解答.函數(shù)模型思路通過運(yùn)算進(jìn)行解題，也同樣是學(xué)生需要掌握的一種解題思路.

例2? 如圖5所示，已知AB=10，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB同側(cè)分別以AP、PB為邊長做等邊△APC和等邊△BPD，則CD的最小值為.

剖析? 借助問題所給條件構(gòu)造直角三角形，即假設(shè)變量動線段AP，再構(gòu)造與CD有關(guān)的函數(shù)解析式，根據(jù)勾股定理得到具體的解析式后，分析變量范圍求函數(shù)的最小值，即可求得CD的最小值.

解析? 如圖6所示，作CC′⊥AB于點(diǎn)C′，DD′⊥AB于點(diǎn)D′，DQ⊥CC′于點(diǎn)Q，

假設(shè)AP=x，BP=10－x，

因?yàn)椤鰽PC、△BPD是等邊三角形，

圖6

所以CC′AP=cos30°=32，

DD′BP=cos30°=32，

所以CC′=32x，DD′=3210－x，

因?yàn)镃′P=12AP，D′P=12PB，

所以QD=C′P+D′P=12AP+PB=5，

根據(jù)勾股定理，可得CD2=CQ2+DQ2，

因?yàn)镃Q=CC′－C′Q=CC′－DD′

=322x－10，QD=5，

所以CD=CQ2+DQ2=3x－52+25，

當(dāng)x=5時，CD有最小值，即最小值為5，

故CD的最小值為5.

3? 結(jié)語

上述例題分別對幾何圖形和代數(shù)運(yùn)算兩種解題角度與思路進(jìn)行分析與總結(jié)，一些常見的幾何定理和函數(shù)模型都是解題的基礎(chǔ)，需要學(xué)生熟悉與掌握.結(jié)合所給條件和幾何圖形選擇合適的思路與方法解答問題，才能真正提高解題效率，開拓解題思路，提升個人綜合素養(yǎng)與能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］丁力.初中數(shù)學(xué)幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（14）：79-80.

［2］蘭春燕.初中數(shù)學(xué)常見“幾何最值問題”探析［J］.福建基礎(chǔ)教育研究，2019（08）：65-67.