證明一道全等三角形問題的五種方法

徐佳煜

【摘要】初中數學可以分為兩大板塊內容，即代數和幾何.在平面幾何板塊中三角形是最為基礎的一個圖形，其他圖形都是在三角形的基礎上進行改變.初中數學中，有兩種特殊的三角形，即全等三角形和相似三角形.全等三角形是相似比為1的相似三角形，許多平面幾何問題就是以全等三角形為背景.

【關鍵詞】初中數學；全等三角形；解題技巧

全等三角形是解決諸多幾何問題的重要工具，可以帶來角度和邊長大小相同的條件.除了利用題目中已知的全等三角形，還要能夠根據全等三角形的判定條件去尋找隱藏的全等三角形，從而解決問題.本文將以一道在全等三角形背景下的幾何證明題為典型例題，探討解答此題的五種方法，以供參考.

題目? 如圖1所示，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE相交于點F，求證：BF=2AE.

問題分析? 要證明一條線段是另一條線段的兩倍，有兩種思路：將短線段加倍，或者是取長線段的一半，此時只需要證明這兩種情況下的新線段與另一條線段相等即可.以下是以此思路為基礎的五種證法.

證法1? 如圖1所示，

因為AD⊥BC于點D，

所以∠BDA=∠ADC=90°，

所以∠CAD+∠C=90°，

因為∠BAD=45°，∠BDA=90°，

所以∠ABD=∠BAD=45°，

所以AD=BD.

又因為BE⊥AC于點E，

所以∠BEC=90°.

所以∠CBE+∠C=90°，

所以∠CAD=∠CBE.

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

DA=DB，∠DAC=∠DBF，

∠CDA=∠FDB，

所以Rt△ADC∽Rt△BDF（ASA），

所以AC=BF.

因為AB=BC，BE⊥AC，

所以AE=EC，即AC=2AE，

所以BF=2AE.

證法2? 如圖2所示，

因為BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，

所以點F為△ABC的垂心.

連接CF并延長交AB于點G，則CG⊥AB.

由已知得∠ADB=∠ADC=∠AGC=90°.

因為∠BAD=45°，

所以∠ABD=∠BAD=45°，

所以AD=BD.

因為∠BAD+∠3=90°，∠1+∠2=90°，

且∠2=∠3，

所以∠BAD=∠1=45°，

所以∠2=∠1=45°，

所以DC=DF，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

DC=DF，∠ADC=∠BDF，DA=DB，

所以Rt△ADC≌Rt△BDF（SAS），

所以AC=BF，

又因為AB=BC，BE⊥AC，

所以AE=EC，即AC=2AE，

所以BF=2AE.

證法3? 如圖3所示，延長AD到點G，使DG=AD，

易證Rt△BDA≌Rt△BDG，

所以BA=BG，∠2=∠G.

因為AD⊥BC，

所以∠ADB=90°，

所以∠ABD+∠2=90°，

因為∠2=45°，

所以∠2=∠G=∠ABD=45°.

由BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，

易得∠1=∠3.

在Rt△BDG中，因為∠G=45°，

所以∠4=45°，

所以∠2=∠4.

所以∠1+∠4=∠GBF=∠3+∠2=∠BAC.

所以△GBF≌△BAC，

所以BF=AC.

在△BAC中，BA=BC，BE⊥AC于點E，

即AC=2AE，

所以BF=2AE.

證法4? 如圖4所示，取BF的中點G，連接DE，DG，

在△BAC中，因為BA=BC，

BE⊥AC于點E，

所以AE=EC，

因為AD⊥BC于點D，

所以∠ADC=90°，

所以DE=12AC=AE.

同理，可證DG=12BF=BG.

易證∠3=∠1+∠2=2∠2=∠ABC=45°.

因為AD⊥BD，BE⊥AE，

所以∠AEB=∠ADB=90°，

所以A，E，D，B四點共圓.

所以∠4=∠BAD=45°，

所以∠3=∠4，

所以DG=DE，

所以BF=2DG=2DE=2AE.

證法5? 如圖5所示，取BF的中點G，連接DE，DG.

在△ABC中，

AB=BC，AD⊥BD，BE⊥AC，

由證法4得BG=GD，AE=ED，

所以∠1=∠2，∠3=∠4.

所以∠2+∠C=∠4+∠C=90°，

所以∠2=∠4，∠1=∠3.

因為AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，

所以DA=DB，所以△GDB≌△EDA.

所以GB=AE，

所以BF=2BG=2AE.

結語

此題運用到全等三角形的地方是要證明兩條線段相等.在初中數學中，常常需要證明兩條線段所在的三角形是全等三角形.一般來說，可以分為兩個步驟，第一步，合理選擇線段所在的三角形，除了題目圖中的三角形外，還可以通過構造輔助線的方式構造出其它三角形來證明，同時還要能夠以全等三角形的判定定理為方向去構造.第二步，則是通過題目中的已知條件和構造情況證明三角形全等，有時并不能直接證明，而是需要多個全等三角形進行條件傳遞，才能證明.在這一過程中，學生需要熟練運用全等三角形的判定方法及性質，直角三角形、等腰三角形的性質等內容，同時還要有構造輔助線的能力.