2023全國高中數學聯合競賽（預賽B卷）第7題的求解、變式與拓展探究

周秀玲 李加翔

【摘要】高中數學競賽不僅可以培養學生的邏輯思維能力和解決數學問題的能力，還可以激發學生對數學的興趣，以及拓寬數學視野.在高中數學競賽試題的解答過程中，解題思路和方法非常重要，學生需要培養靈活的思維方式，學會一題多角度思考，本文以2023全國高中數學聯合競賽（預賽B卷）第7題為例，對試題進行求解、變式以及推廣到一般結論，希望能夠拓寬學生的解題思路，提升數學思維能力.

【關鍵詞】高中數學；解題技巧；一題多解

競賽試題? 2023全國中學生數學奧林匹克競賽·預賽（B卷·第7題）設P－ABCD與Q－ABCD為兩個正四棱錐，且∠PAQ=90°，點M在線段AC上，且CM=3AM.將異面直線PM，QB所成的角記為θ，則cosθ可能的最大值為（? ）

1? 試題分析與求解，專注于一道題

分析? 試題以立體幾何（正四棱錐）為背景，結合邊長、夾角關系，考查了異面直線夾角余弦值問題，考查學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，檢驗了學生分析問題與解決問題的能力.試題構思巧妙，并且體現了數與形的結合，將幾何與代數緊密聯系起來，具有一定的深度與廣度.

圖1

求解? 如圖1所示，因為P－ABCD與Q－ABCD為兩個正四棱錐，所以四邊形ABCD為正方形，假設O為正方形ABCD的中心，依題意可知PQ垂直與平面ABCD，且經過點O，OA⊥OB，

以O為坐標原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，

假設正方形ABCD邊長為2，

則OA=OB=1，

設∠PAC=α，（0<α<90°），

因為∠PAQ=90°，

所以∠APO=90°－α，∠OAQ=90°－α，

在直角PAO中：

tan∠APO=tan（90°－α）=AOPOPO

=1tan（90°－α），

同理，在直角PAQ中，

tan∠OAQ=tan（90°－α）=OQOAOQ=OA·tan（90°－α）=tan（90°－α），

又因為A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1tan（90°－α）），Q（0，0，－tan（90°－α）），M（12，0，0），

所以PM=12，0，-1tan（90°-α），

QB=（0，1，tan（90°-α）），

所以cosθ=PM·QBPMQB

=-1tan（90°-α）·tan（90°-α）? 14+1tan2（90°-α）·? 1+tan2（90°-α）

=1? 14+tan2（90°-α）4+1tan2（90°-α）+1

對tan2（90°－α）4+1tan2（90°－α）進行分析，

因為∠PAC=α，（0<α<90°），

所以tan（90°－α）恒大于0，

所以tan2（90°－α）4>0，1tan2（90°－α）>0，

運用基本不等式：

tan2（90°－α）4+1tan2（90°－α）≥

2tan2（90°－α）4·1tan2（90°－α）=2·12=1.

當且僅當tan2（90°－α）4=1tan2（90°－α）時，取等號，

即tan4（90°－α）=4tan（90°－α）=2.

cosθ=114+tan2（90°－α）4+1tan2（90°－α）+1

≤114+1+1=23.

解法點評? 以上介紹的解法體現了數形結合的思想，結合正四棱錐的圖形特征，PQ⊥平面ABCD，以O為坐標原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，充分利用“坐標法”原理，將幾何問題代數化，解答過程中考查了平面向量、正切值定義、異面直線夾角公式以及基本不等式等知識點，這也體現了競賽試題知識點考查交匯融合的特點，這就要求學生在平時的學習過程中，注重知識的融合，學會靈活運用知識.

針對于此試題，可以改變題目部分條件，進行進一步的研究和拓展，以下從3個視角進行探究分析.

2? 試題變式推廣，由會解一道題到會解一類題

視角1? 推廣［變參數比值：CM=λAM.（λ>1）］

設P－ABCD與Q－ABCD為兩個正四棱錐，且∠PAQ=90°，點M在線段AC上，且CM=λAM（λ>1），將異面直線PM，QB所成的角記為θ，則cosθ可能的最大值為（? ）

求解? 因為P－ABCD與Q－ABCD為兩個正四棱錐，所以四邊形ABCD為正方形，假設O為正方形ABCD的中心，依題意可知PQ垂直于平面ABCD，且經過點O，

以O為坐標原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，假設正方形ABCD邊長為2，

設∠PAC=α，（0<α<90°），因為∠PAQ=90°，

所以∠APO=90°－α，∠OAQ=90°－α，在直角PAO中，

tan∠APO=tan（90°－α）=AOPOPO=1tan（90°－α），同理，在直角PAQ中，

tan∠OAQ=tan（90°－α）=OQOAOQ=OA·tan（90°－α）=tan（90°－α），

因為CM=λAM.所以λAM+AM=2（對角線長為2），AM=21+λ，

又因為A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1tan（90°－α）），Q（0，0，－tan（90°－α）），M（1－21+λ，0，0），

所以PM=1-21+λ，0，-1tan（90°-α），

QB=（0，1，tan（90°-α）），

所以cosθ=｜PM·QB｜PMQB

=-1tan（90°-α）·tan（90°-α） ?λ-11+λ2+1tan2（90°-α）·? 1+tan2（90°-α）

=1λ－11+λ2+1tan2（90°－α）+（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2+1

對（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2+1tan2（90°－α）進行分析，

因為∠PAC=α，（0<α<90°），（λ>1），

所以tan（90°－α）恒大于0，

所以（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2>0，

1tan2（90°－α）>0，

運用均值不等式：

（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2+1tan2（90°－α）≥2（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2·1tan2（90°－α）=2（λ－1）2（λ+1）2.當且僅當（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2=1tan2（90°－α）tan2（90°－α）=λ+1λ－1.時，取等號，

cosθ=1λ－11+λ2+tan2（90°－α）4+（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2+1

≤11+2（λ－1）2（λ+1）2+（λ－1）2（λ+1）2

≤1（1+λ－1λ+1）2=11+λ－1λ+1=λ+12λ.

點評? 通過推廣探究，我們初步得知：異面直線PM，QB所成的角cosθ可能的最大值與CM、AM的參數比值有關，當CM=λAM.（λ>1）時，cosθmax=λ+12λ.這是從邊長關系角度思考，那學生也可以從角度方向進行探究，異面直線PM，QB所成的角cosθ可能的最大值是否與∠PAQ的角度大小有關？

視角2? 推廣［變角度：∠PAQ=β，（0<β<90°），變參數比值CM=λAM（λ>1）］

.設P－ABCD與Q－ABCD為兩個正四棱錐，且∠PAQ=β，點M在線段AC上，且CM=λAM.將異面直線PM，QB所成的角記為θ，則cosθ可能的最大值為（? ）

求解? 因為P－ABCD與Q－ABCD為兩個正四棱錐，所以四邊形ABCD為正方形，假設O為正方形ABCD的中心，依題意可知PQ垂直于平面ABCD，且經過點O，

以O為坐標原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，假設正方形ABCD邊長為2，

設∠PAC=α，（0<α<β）因為∠PAQ=β，

所以∠APO=90°－α，∠OAQ=β－α，

在直角PAO中：

tan∠APO=tan（90°－α）=AOPOPO

=1tan（90°－α），

同理，在直角PAQ中，

tan∠OAQ=tan（β－α）=OQOAOQ=OA·tan（β－α）=tan（β－α），

因為CM=λAM.所以λAM+AM=2，

AM=21+λ，

又因為A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1tan（90°－α）），Q（0，0，－tan（β－α）），M（1－21+λ，0，0），

所以PM=1-21+λ，0，-1tan（90°-α），

QB=（0，1，tan（β-α）），

所以cosθ=｜PM·QB｜PMQB

=-1tan（90°-α）·tan（β-α）? λ-11+λ2+1tan2（90°-α）·? 1+tan2（β-α）

=tan（β－α）tan（90°－α）λ－11+λ2+1tan2（90°－α）+

tan（β－α）

（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2+tan2（β－α）tan2（90°－α）

=tan（β－α）（λ－1）2tan2（90°－α）1+λ2+1+

tan（β－α）

（λ－1）2tan2（90°－α）（λ+1）2+tan2（β－α）

因為tan（β－α）

所以cosθ≤tan（β－α）（λ－1）2tan2（β－α）1+λ2+1+

tan（β－α）

（λ－1）2tan4（β－α）（λ+1）2+tan2（β－α）

=1（λ－1）21+λ2+1tan2（β－α）+

1

（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2+1

對1tan2（β－α）+（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2進行分析，

因為∠PAC=α，（0<α<β），（λ>1），

所以tan（β－α）恒大于0，

所以（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2>0，

1tan2（β－α）>0，

運用均值不等式：

（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2+1tan2（β－α）≥2（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2·1tan2（β－α）

=2（λ－1）2（λ+1）2.當且僅當（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2=1tan2（β－α）tan2（β－α）=λ+1λ－1時，取等號，

cosθ≤1λ－11+λ2+1tan2（β－α）+（λ－1）2tan2（β－α）（λ+1）2+1

≤11+2（λ－1）2（λ+1）2+（λ－1）2（λ+1）2

≤1（1+λ－1λ+1）2=11+λ－1λ+1=λ+12λ.

結論? 改變原試題條件變角度：∠PAQ=β，（0<β<90°），變參數比值CM=λAM（λ>1），cosθ的最大值只與參數比值λ有關，與β的具體數值沒有關系，

并且cosθmax=λ+12λ.

延申拓展? （1）∠PAQ=β，（β>90°），CM=λAM（λ>1），cosθ的最大值是否存在？若存在，求出最大值，若不存在，說明理由.

（2）∠PAQ=β，（β>90°），CM=λAM.（0<λ<1），cosθ的最大值是否存在？若存在，求出最大值，若不存在，說明理由.

3? 結語

一題一世界，一思一成功，以上從5個視角，從不同的角度思考與分析問題，循序漸進，最終推廣到一般結論，這充分體現了競賽試題不拘一格，一道試題往往可以從不同角度進行改編，探索研究.思維方式不是唯一的，數學結論也不是唯一的，但數學的“本質”，數學的“味道”是相似的，萬變不離其宗，這給學生的思維訓練提供了很大的發展空間.學數學離不開解題，而解題離不開思考，學而不思則罔，當遇到一道經典試題，首先要對試題進行求解，其次需要從多角度，深層次探索問題的“本質”，這樣才能解一題會一類，做到觸類旁通，成為真正的數學學習者.

參考文獻：

［1］李勇.對2020年全國高中數學聯合競賽第4題的多視角探究［J］.高中數理化，2022（03）：3-5.

［2］鞠妍，劉施樑.對一道全國高中數學聯合競賽題的探究［J］.數學教學，2020（11）：42-43.

［3］張君.2023年全國高中數學聯賽（四川預賽）試題及解析［J］.數理化解題研究，2023（28）：88-92.