不同類型絕對值不等式問題的解法

郭翠芳

【摘要】不等式在中職數學中一直是不容忽視的存在，可以結合不同知識點采用不同形式考查，如與導數有關的不等式恒成立問題、與函數有關的不等式求解集問題.其中與絕對值有關的不等式求解集問題屬于一類基礎性問題，是學生應該學習和掌握的題型.根據絕對值不等式解析式的不同形式，本文主要分為三種不同類型進行分析解答，以此幫助學生了解掌握解答絕對值不等式問題的思路，達到解題效率和準確率的提升.

【關鍵詞】高中數學；絕對值不等式；解題技巧

解絕對值不等式的基本思想是等價轉化，即采用正確的方法去掉絕對值符號，將絕對值不等式轉化為不含絕對值符號的不等式.現舉例談談解絕對值不等式的幾種常用方法.

1? fx≤≥a型

形如fx≤≥a的不等式求解集，求解時一般會根據絕對值的性質去掉絕對值符號，得到類似－a≤fx≤a的常規不等式后，運算求解即可得到具體解集.求解這類不等式，具體步驟為：①將不等式絕對值符號去除，得到形如－a≤fx≤a的不等式；②運算求解等價轉化的常規不等式，即可求得不等式的解集.

例1? 解不等式x－22x－12≤0.1.

剖析? 首先將絕對值符號里的不等式化簡，其次去掉絕對值符號得到等價轉化的常規不等式－110≤－1x≤110，求解該常規不等式得到的具體解集，即對應原不等式的解集.

解? 因為

x－22x－12=x－22x－x2x

=－1x，

所以解原式等價于解－1x≤110，

則有－110≤－1x≤110，

解不等式可得x≥10或x≤－10，

故不等式解集為xx≤－10或x≥10.

變式? 求不等式3x+2＜4的解集.

解? 去掉絕對值符號可得－4＜3x+2＜4，

解不等式得－2＜x＜23，

所以不等式解集為x－2＜x＜23.

2? fx≤≥gx型

當不等式形式與fx≤≥gx類似時，可以通過分類討論來求解相關解集，在不同范圍對應的fx的取值不同，可以將其不等式等價轉化為fx＞gx（fx＞0）和fx＜－gx（fx＜0）兩個常規不等式后，進而解答得到具體解集.解該類不等式的一般步驟為：①令絕對值解析式為0，得到變量具體值；②根據絕對值內容大于0或小于0的情況，將不等式看作兩個常規不等式并解答；③綜合所有解集，得到滿足題意的不等式解集即可.

例2? 求不等式x－1＞2x+3的解集.

剖析? 首先對絕對值內解析式進行分析，令x－1=0可知具體分界點，其次將絕對值內x－1分為兩種情況得到對應常規不等式，即x－1＞2x+3和1－x＞2x+3，分別求出對應解集，綜合分析即可得到滿足題意的不等式解集.

解? 令x－1=0可得x=1，

①當x＜1時，x－1＜0，

則不等式等價于1－x＞2x+3，

解得x＜－23，

故不等式解集為xx＜－23；

②當x＞1時，x－1＞0，

則不等式等價于x－1＞2x+3，

解得x＜－4與x＞1矛盾，故不等式解集為空集，

綜上，不等式解集為xx＜－23.

變式? 解不等式x2－2x＞2x－3.

解? 令x2－2x=0，

可得x=0或x=2，

①當x≤0或x＞2時，x2－2x＞0，

則不等式等價于x2－2x＞2x－3，

解得x＜1或x＞3，

②當0＜x＜2時，x2－2x＜0，

則不等式等價于2x－x2＞2x－3，

解得－3＜x＜3，

綜上不等式的解集為：

xx≤0或x＞3或0＜x＜3.

3? fx≤≥gx型

求解形如fx≤（≥）|g（x）|的絕對值不等式問題，一般有兩種求解思路：一種是考慮采取不等式兩邊同時平方，根據平方后得到的不等式運算求得解集，適用于解析式較為簡單的不等式；另一種則是根據解析式畫出對應圖象，結合圖象求解符合題意的解集，適用于平方后不等式復雜不能解答的一些絕對值不等式.根據絕對值不等式的具體結構特點，應采用不同思路求解對應解集.

例3? 解不等式x－2＞2x+1.

剖析? 采取不等式兩邊同時平方思路求其解集，兩邊平方后可去掉絕對值符號得到不等式x－22＞2x+12后，展開化簡，求得不等式解集，即對應原絕對值不等式的解集.

解? 兩邊平方可得x－22＞2x+12，

化簡可得x2+83x－1＜0，

配方可得x+432＜259，

解得－3＜x＜13，

故不等式解集為x－3＜x＜13.

變式? 求不等式x+2＜x2+4x的解集.

解? 分別畫出fx=x+2和gx=x2+4x的圖象，如圖1所示，

令x+2=x2+4x，

解得x=±17－32，

令－x－2=x2+4x，

解得x=±17－52，

結合圖象可得gx圖象要在fx圖象上方，

則有x＞17－32，

或x＜－17－52，

圖1

或－17－32＜x＜17－52，

故不等式解集為

xx＜－17－52或－17－32＜x

＜17－52或x＞17－32.

4? 結語

去掉絕對值符號是求解絕對值不等式解集的關鍵，不同類型的絕對值不等式去除絕對值符號方式不同.熟悉并掌握每一種絕對值不等式類型，有助于學生對絕對值不等式求解集問題的理解，同時能提高解題的效率，應引起學生的關注和重視.

參考文獻：

［1］侯有岐.絕對值不等式中求參數范圍問題常見題型分類解析［J］.高中數理化，2023（5）：1-4.