領會基本解法，提高核心素養

謝應梅

【摘要】解一元二次方程是初中數學的重要內容，是方程里最重要的代數運算，也是學好后續內容的必備知識．對于剛接觸一元二次方程的學生來說，掌握一元二次方程的四種解法及根與系數的關系是解題的基礎，但要提高到“運用”層次并形成解題能力光有這些還遠遠不夠．我們還要精選典型例題，加以分析訓練，完成知識到素養的遷移．本文選擇若干例題進行分類解析，以培養學生的符號意識、抽象能力、運算能力、數據觀念、應用意識等核心素養．

【關鍵詞】初中數學；一元二次方程；解題技巧

1? 直接開平方法

將方程轉化為x2＝p的形式，當p＞0時，x1＝p，x2＝-p；當p＝0時，x1＝x2＝0；當p＜0時，原方程無實數根.

例1? 數學課上馬小虎同學解方程（x-4）2＝（5-2x）2時，直接得出x-4= 5-2x，老師指出來，說漏掉了一個方程，這個方程應該是．

解析? 開平方，得x-4＝±（5-2x），

所以x-4=5-2x或x-4＝-（5-2x），

所以漏掉的方程為x-4＝-（5-2x）．

點評? 本題根據學生平時出現的錯誤設置問題，重點考查學生的糾錯能力．雖然沒有直接解一元二次方程，但突出了直接開方法的關鍵步驟，屬創新試題．

2? 配方法

用配方法解一元二次方程時，要知道使用配方法的方程的特征：二次項的系數化為1，一次項的系數不變，兩邊同時加上一次項系數一半的平方．

例2? 若A＝x2-x+（3－k2），無論x取何實數，多項式A的值都不是負數，則k的取值范圍是．

解析? 因為A＝x2-x+（3－k2）

＝x2-x+14－14+（3－k2）

＝（x－12）2－14+（3－k2），

若x取任何實數，A的值都不是負數，

所以－14+（3－k2）≥0，

解得：k≤112．

點評? 此題同樣考查學生對配方法的靈活運用，涉及配方思想、完全平方式、建立不等式模型并解不等式等眾多知識與方法，突出對數學內部知識的綜合與聯系．

3? 公式法

當Δ≤0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實數根為x＝－b±b2－4ac2a．

例3? 已知關于x的一元二次方程（x-3）.（x-2）-p2=0，下列結論：

①方程總有兩個不相等的實數根；

②若兩個根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＞3，x2＜3；

③若兩個根為x1，x2，則（x1-2）（x2-2）=（x1-3）（x2-3）；

④若x＝5+p2+12（p為常數），則代數式（x-3）（x-2）的值為一個完全平方數．

其中正確的結論是 ．

解析? 由（x-3）（x-2）-p2＝0得x2-5x+6-p2＝0，

①Δ＝25-4×（6-p2）＝1+4p2＞0，

所以（x-3）（x-2）-p2＝0總有兩個不相等的實數根，故①正確；

②設p＝0，關于x的一元二次方程為（x-3）（x-2）＝0，

若兩個根為x1，x2，且x1＞x2，

則x1＝3，x2＝2，

這與x1＞3不符合，故②不正確；

③若x2-5x+6-p2＝0的兩個根為x1，x2，

則x1+x2＝5，x1·x2＝6-p2，

則（x1-2）（x2-2）＝x1·x2-2（x1+x2）+4＝6-p2-2×5+4＝-p2，

（x1-3）（x2-3）＝x1·x2-3（x1+x2）+9＝6-p2-3×5+9＝-p2，

所以（x1-2）（x2-2）＝（x1-3）（x2-3），

故③正確；

④因為x＝5+p2+12（p為常數），

所以（x-3）（x-2）＝x2-5x+6

＝（x－52）2－14

＝（5+p2+12－52）2－14

＝p24

＝（p2）2，

當p為奇數時，p2不是整數，此時（x-3）（x-2）不是完全平方數，故④不正確．

故答案為：①③．

點評? 本例題源于課本，是一道課本改編題，還涉及的知識點較多，如根的判別式、乘法公式、配方法、韋達定理等，涉及舉反例、兩邊推證等解題策略，有較大難度．

4? 因式分解法

將方程化成一邊為0，另一邊為一個多項式的形式，再運用因式分解法對多項式進行因式分解．

例4? 我們給“倍根方程”的定義是：若ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則此方程為“倍根方程”．例如，x2－6x+8=0就是倍根方程．

（1）若一元二次方程x2-3 x＋c＝0是“倍根方程”，則c=．

（2）判斷方程x2－x－2=0是不是倍根方程？并說明理由．

解析? （1）設方程x2-3 x＋c ＝0的兩根為m，

分別代入原方程得：

m2－3m ＋c＝0，4m2－6m ＋c＝0，

兩式相減，解得m＝1或0（0舍去），所以c＝2．

（2）因為x2－x－2=0，

因式分解得（x+1）（x－2）=0 ，

解得x1＝－1，x2＝2，

所以x2x1=2－1=－2 ，

所以方程x2－x－2=0不是倍根方程；

點評? 本題是典型的新定義問題，讀懂新定義，運用新定義，將原問題轉換為我們熟悉的問題是解題的根本，要注意分類討論求代數式的值．

5? 結語

解題教學是課堂教學的重要內容，如何發揮題目的作用是課堂成敗的關鍵．因此，精選典型好題，通過“做”題的過程，建立對某一個主題的系統學習，高屋建瓴地為學生建立知識框架，培養學生應用數學、建立數學模型的意識，發展學生的轉化思想和模型思想，提高學生的運算能力和推理能力.圍繞具有一定批判性的學科主題核心知識，積極參與，完成知識構建，回歸學科本質內容，體驗成功并獲得發展的有意義學習過程，獲得適應終身發展和社會發展的必備品格和關鍵能力.