初中數學綜合性難題的解題方法分析

孫至斌

【摘要】初中學生在數學學習中，需要不斷提高解題能力，尤其是對于綜合性難題，降低解題失誤，糾正差錯，從而提升學生的綜合能力.掌握正確的解題技巧，能夠觸類旁通、舉一反三，并且可以培養學生的分析及解決問題的能力，發展學生的思維能力及數學素養，對學生學習有重要的意義.

【關鍵詞】初中數學；綜合性難題；解題技巧

綜合題的題型新穎，并且富于變化，集許多數學知識點為一體，對學生來說有一定的難度.但綜合題能夠考查學生的分析、觀察、概括能力，考查學生對數學知識的掌握程度，鼓勵學生探索.綜合運用數學知識的能力，也體現了學生的數學素養.因此，在新課程背景下，要關注和發掘學生的建構性、探索性、主體性，總結綜合性難題的解題方法，指導學生提高解題能力，實現素質教育的目標.

1? 方程思想

在初中數學綜合性難題的解題中，需要考慮方程思想的應用.方程思想，在研究函數性質、解析式、綜合解題中，都是不可或缺的.根據已知條件，通過列出方程組，或者有關方程，就可以解答出題目.在解決初中數學綜合性難題中，要有方程求解的思想，利用方程解題.

例1? A地區在募捐物資的過程中，共獲得糧食100噸，食品54噸.為了運輸所有的物資，租用了甲、乙兩種貨車共8輛，其中一輛甲貨車可以運輸糧食20噸、食品6噸.一輛乙貨車可以運輸糧食8噸、食品8噸.如果一次性運輸解決所有的貨物，租用方案有哪些？如果租用甲貨車和乙貨車的費用分別為1300元、1000元，采取哪種方式可使運輸總費用最低.

解題思路? 對于第一個問題，有多少種租用方案，有兩種解題方式.

其一，假設租用甲貨車x輛，列出不等式為（20+6）x+（8+8）（8-x）≥100+54，解不等式結果為x≥135.根據題目可知，總共選取8輛貨車，共有六種租用方案.租用甲貨車分別為3輛、4輛、5輛、6輛、7輛、8輛，由此可獲得相應的乙貨車數量.

其二，假設租用甲貨車x輛，乙貨車（8-x）輛，列出不等式組：20x+（88-x）≥1006x+（88-x）≥54，求解，獲得x的取值.

對于第二個問題，列出關于運費s的方程，1300x＋10008-x=300x＋8000.要使運費最少，取x值為3.

2? 數形結合思想

初中數學許多綜合性難題與坐標系密切相關，數形結合思想也是解決初中數學綜合性難題的一種思路.通過坐標系，建立數字和點的聯系.通過坐標之間的對應關系，利用幾何的直觀性，能夠獲得代數問題的答案.對于幾何圖形的性質，也可以采用代數的方法進行解決.數形結合思想可以應用于數學教學中，從而加深學生的理解，提高學生的認知.利用數形結合思想，解決綜合性難題，同時培養學生解決問題的能力和數學思維.

例2? 一次函數y=32x＋m與y=-12x＋n的圖象都經過點A（-2，0），且與y軸分別交于B，C兩點，求△ABC的面積.

解題思路? 函數圖象交點問題，借助圖形更加簡單，可以將題目轉化為方程組進行求解.

畫出圖象：

根據兩條直線的圖象都經過點A（-2，0），

代入y=32x＋m與y=-12x＋n，

可得m=3n=-1.

由此獲得函數的關系式：y=32x＋3與y=-12x-1，所以

點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（0，-1）.

可得△ABC的面積為12×OA×BC=4.

3? 分類討論思想

在初中數學綜合性難題的解題中，可以采用分類討論的思想.分類討論考查學生的數學思維和能力，通常這類綜合性問題結論具有不確定性，條件具有多變性.由此對學生的嚴密性、準確性進行考查，如果不注意分情況討論，容易出現漏解或者錯解的情況.隨著近年來中考題型的變化，分類討論在綜合題中的應用逐漸增多.對于綜合性難題的解決，通過分類討論，實現化繁為簡、化難為易，將大難題轉化為一個個小問題，從而有效解題.在分類討論解題的過程中，也可以培養學生的全面思維能力.

例3? 平面直角坐標系中，點C關于原點O的對稱點為點A（5，0），在第一象限內有點B，∠OBA=∠OAB.點B關于原點O的對稱點為點D.四邊形ABCD是矩形.現有從B點出發的一點P，沿著路線B-A-D向D點移動，速度為每秒1個單位長度.從A點出發的動點Q，沿著AC方向向C點運動，速度為每秒0.4個單位長度.其中一個點到達終點時，另一點也停止運動.假設P、Q的運動時間為t秒，AB=6在運動過程，當動點Q，在以PA為直徑的圓上時，求t的值.

解題思路? 畫圖進行分情況討論，解題更加容易，如圖所示.

因為四邊形ABCD為矩形，AB=6，所以∠ADC=∠CBA=90°，

AB=CD=6，

又因為A（5，0），所以AC=10.

根據勾股定理，有AD=BC=8.

則6＋81=14，

100.4=25.

由此0≤t≤14.分情況討論：

（1）當0≤t≤6時，點P在AB上，連接PQ，∠PQA=90°.

圖2

有△PAQ∽△CAB，可得6-t10=0.4t6，

解得t=3.6.

（2）當6＜t≤14時，點P在AD上，連接PQ，∠PQA=90°.

有△PAQ∽△CAD，可得t-610=0.4t8，

解得t=12.

因此，t值可能為12s或者3.6s.

4? 結語

綜合性難題是對學生數學思維和能力的考查，學生要掌握綜合性難題的閱讀技巧，總結解題方法和技巧，充分應用數形結合、分類討論等方式，學會解決常用題型，鍛煉和培養自己的解題能力，高效解答綜合性難題，提高初中數學的學習效果.

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