運用對稱美視角，尋求巧妙解題思路

楊娥

【摘要】對稱思想是一種重要的數學思想，若能巧妙運用其對稱性解題，便能化繁為簡，迅速求解.本文以幾何中形的對稱和代數中量的對稱為例，為解決數學問題提供新的思路和方向.教師應強化對稱美解題的思想方法，提高學生的解題能力.

【關鍵詞】初中數學；對稱；解題技巧

對稱思想不僅是數學體系七大數學思想中特殊與一般思想的具體應用，還具有很強的審美價值.這種形式美一則可以提升學生審美水平，豐富學生學習數學的情感體驗，二則可以啟發學生組織數學化信息，從而易于發現解決數學問題的思路［1］.本文從對稱美的視角出發，粗略探討其在解題中的運用.

1? 幾何圖形中的對稱美

1.1? 巧妙利用中心對稱

例1? 以下（如圖1所示）擺放著五個半徑相等的圓，下面一排最左邊圓的圓心是點O，如何作一條過點O的直線，將五個圓的面積平均分成兩部分？

圖1

圖2

解析? 方法1? 圓是軸對稱圖形，做這道題時要考慮它的對稱特點.可以在右上角補一個圓心為P的同樣大小的圓，六個圓就構成了一個中心對稱的圖形，如圖2所示.連接直線OP，就將這個圖形分成了同樣大小的兩部分.

方法2? 如果不另外補充圓，只在原有圖形的基礎上考慮，可以嘗試在本來的圖形中找到對稱點.左邊的圓形是軸對稱圖形，解題的關鍵就是找到右邊四個圓形的對稱中心：沿著四個圓相切的點，作兩條相交的線，交點為P，連接OP即可達到題目要求如圖3所示.

圖3

圖4

1.2? 掌握對稱思想方法

例2? “今有圓材，埋在壁中，不知其大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？［2］”這是《九章算術》中的問題，用數學語言可表述為：有一個直徑為CD的圓，CD垂直弦AB于點E.已知CE=1寸，AB=10寸，直徑CD的長是多少？

解析? “圓材埋璧”是我國古代著名數學著作《九章算術》中的一個問題.本題綜合考查了垂徑定理和勾股定理的性質和求法.因為圓是軸對稱圖形，教師可以指導學生根據垂徑定理來證明，解題中讓學生體會圓的對稱性質.根據垂徑定理可知AE的長度.在Rt△AOE中，運用勾股定理可將圓的半徑求出，進而可求出直徑CD的長.

因為弦AB⊥CD于點E，CE=1，AB=10，

所以AE=5，OE=OA－1，

在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，

即OA2=（OA－1）2+52，

解得OA=13，所以直徑CD=2OA=26寸.

解題的關鍵步驟就是關注問題中所體現出來的軸對稱，運用對稱思想來審題，尋找其中的對稱性，抓住數學問題的本質屬性，將復雜問題簡單化，便可得到較為巧妙的解題思想.

2? 數式結構中的對稱美

2.1? 以數列為載體

例3? 由數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成所有可能沒有重復的四位數，它們的和是多少？

解析? 本題容易讓人產生用列舉法解題的念頭，但是由于合乎要求的四位數多達（9×8×7×6）=3024個，顯然這種想法是行不通的.這列數從小到大依次是：1234，1235，1236，……1239，1243，……9874，9875，9876.觀察容易發現，此列數（非等差數列）具有一定的對稱性：1234+9876=1235+9875=……=1243+9876=11110.顯然，所有四位數的和就可以輕易求出來，即（3024÷2）×11110=16798320.

2.2? 以函數為載體

例4? 若拋物線M：y=x2+（3m－1）x－5與拋物線M′：y=x2－6x－n+1關于直線x=1對稱，則m，n的值分別為（? ）

（A）m=113，n=－2.? （B）m=－13，n=－2.

（C）m=13，n=－2.? ?（D）m=1，n=－2.

解析? 本題主要考查了二次函數的圖象和性質，坐標與圖形，軸對稱圖形的性質，熟練掌握和運用軸對稱圖形的性質是解決本題的關鍵.首先可分別求得拋物線M及M′的對稱軸，再根據軸對稱圖形的性質，即可求得m的值；根據拋物線M與y軸的交點坐標，即可求得交點關于直線x=1對稱的點的坐標，再根據該點在拋物線M′上，據此即可求解.

由拋物線M：y=x2+（3m－1）x－5可知，拋物線M的對稱軸為直線x=-3m－12，交軸于點（0，－5），

拋物線M′：y=x2－6x－n+1的對稱軸為直線x=-－62=3，

因為拋物線M：y=x2+（3m－1）x－5與拋物線M′：y=x2－6x－n+1關于直線x=1對稱，

所以12-3m－12+3=1，

解得m=1，

所以點（0，－5）關于直線x=1對稱的點（2，－5）

在拋物線M′：y=x2－6x－n+1上，

所以把點（2，－5）代入得－5=4－12-n+1，

解得n=-2，故（D）正確.

2.3? 以應用為載體

例5? 剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美，如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為（2m，－n），其關于y軸對稱的點F的坐標（3－n，－m+1），則（m－n）2022的值為（? ）

圖5

（A）32022.? ?（B）-1.? ?（C）1.? ?（D）0.

解析? 本題考查坐標與圖形變化——軸對稱，解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的性質.關于軸對稱的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數，由此求出m和n，再代入求值.

因為E（2m，－n）與F（3－n，－m+1）關于y軸對稱，

所以2m=－（3－n），－n=－m+1，

解得m=－4，n=-5.

所以（m－n）2022=－4－（－5）2022=12022=1.

故選（C）.

3? 結語

對稱美是美學的一個基本概念，是數學美最重要的特征.教師在引導學生欣賞對稱美的同時，也要使學生有意識地運用對稱思想去思考問題，幫助學生在解題時找到簡潔的解法，加深對數學的理解.

參考文獻：

［1］張昆.數學解題教學設計的創新實踐研究——基于“美學”的視點［J］.數學教育學報，2015，24（05）：41-45.

［2］肖燦，朱漢民.勾股新證——岳麓書院藏秦簡《數》的相關研究［J］.自然科學史研究，2010，29（03）：313-318.