例析同構法在高中數學中的應用

白煒

【摘要】本文主要研究初中和高中數學中同構的相關知識.同構式指的是除了變量不同，其余結構形式均相同的表達式.同構法就是在解題中結合題目的條件特點，構造同構式來解決問題，同構法作為一種重要的方法能使問題化繁為簡，其運用過程也能有效培養學生的數學運算、數學抽象等核心素養.本文主要結合具體的實例分析同構法在解題中的應用.

【關鍵詞】高中數學；同構法；解題技巧

1? 函數同構

類型1? 利用同構比較大小

在比較數（式）的大小時，若能將數（式）化成相同的結構式，則可將該結構抽象出來構造函數，利用函數的單調性比較大小.

例1? 已知a=0.5ln2，b=0.4ln5－ln2，c=89ln3－ln2，則a，b，c的大小順序是（? ）

（A）a

（C）c

解析? 因為a=ln22，b=ln5252，c=ln9494，

令fx=lnxxx>0，

則f′x=1－lnxx2，

當x∈（0，e）時，f′x>0，

所以fx=lnxx在0，e上單遞增.

所以f2

即a

類型2? 利用同構解決恒成立問題

對于雙變量地位一致型代數式，通常的策略是分離變量，將不同的變量分開，相同的變量歸集到一起，構造出同構函數，利用同構函數的單調性將結構復雜的恒成立關系式轉化為結構簡單的恒成立關系式，達到解決問題的目的.

例2? （2020·新高考全國卷Ⅰ·21（2））已知函數f（x）=aex－1－lnx+lna，若不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

解析? 由f（x）≥1得aex－1－lnx+lna≥1，

即elna+x－1+lna+x－1≥lnx+x，

而lnx+x=elnx+lnx，

所以elna+x－1+lna+x－1≥elnx+lnx．

令h（m）=em+m，

則有h（lna+x－1）≥h（lnx），

因為h′（m）=em+1>0，

所以h（m）在R上單調遞增．

所以lna+x－1≥lnx，

所以只需lna≥（lnx－x+1）max．

令F（x）=lnx－x+1，

則F′（x）=1x－1=1－xx．

當x∈（0，1）時，F′（x）>0，F（x）單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，F′（x）<0，F（x）單調遞減．

所以F（x）max=F（1）=0，

則lna≥0，即a≥1．

所以a的取值范圍為［1，+∞）．

類型3? 利用同構求最值

利用同構求最值的基本思路是通過同構方程簡化變量間的等量關系，利用變量間的等量關系消元，通過構造函數研究給定表達式的最值.

例3? 已知函數f（x）=x+ln（x－1），g（x）=xlnx，若fx1=1+2lnt，gx2=t2，則x1x2－x2lnt2的最小值為（? ）

（A）－1e.? （B）－12e.? （C）1e2.? （D）2e.

解析? fx1=x1+lnx1－1=1+2lnt，

所以x1－1+lnx1－1=lnt2，

則ln［（x1－1）ex1－1］=lnt2，

于是x1－1ex1－1=t2，gx2=x2lnx2=t2．

所以x1－1ex1－1=x2lnx2=lnx2elnx2．

構造函數y=xex，

易知當x>0時，y=xex單調遞增．

所以，x1－1=lnx2．

于是x1x2－x2lnt2=x2x1－1lnt2=x2lnx2lnt2=t2lnt2，

令u=t2>0，

則h（u）=ulnu，h′（u）=lnu+1，h′1e=0．

h（u）在0，1e上單調遞減，在1e，+∞上單調遞增．

所以h（u）min=h1e=－1e，

即x1x2－x2lnt2min=－1e．故選（A）.

類型4? 利用同構證明不等式

對于一些指對跨階不等式的證明，若能通過等價變形得到同構式，則往往能將問題轉化為證明一個簡單的不等式.

例4? 求證：當x>0時，ln（x+1）>x2ex－1．

解析? ln（x+1）x>xex－1，

即ln（x+1）eln（x+1）－1>xex－1，

令f（x）=xex－1，

則原不等式等價于f［ln（x+1）］>f（x），

f′（x）=（1－x）ex－1（ex－1）2，

令g（x）=（1－x）ex－1，

則g′（x）=－xex<0，g（x）單調遞減，

故g（x）

又ln（x+1）f（x），原不等式成立．

2? 結語

同構作為一種代數運算變形技巧，能夠在一定程度上簡化運算，避免繁雜的運算、求導以及分類討論，將復雜的關系簡單化，為我們解決問題提供了一個很好的方向.同構法運用的關鍵是能夠構造出同構式，一些問題中，同構式不是顯而易見的，甚至需要配湊常數或變量，對學生的觀察能力、分析能力、運算能力要求較高.

參考文獻：

［1］李可進.例析集合與其他知識的融合［J］.中學生數理化（高一版），2008（Z1）：57-58.

［2］黃永生，楊丹.兩道全國卷壓軸題的別解與思考［J］.中學數學研究，2017（04）：38-39.

［3］李云杰.將高等數學知識融于教研中——以泰勒公式，洛必達法則為例［J］.福建中學數學，2016（06）：20-24.