直線與圓位置關系問題的解題技巧

王增榮

【摘要】判斷直線與圓的位置關系方法紛繁復雜，主要的有“幾何法”“代數法”“分類討論法”等，這些方法適合于不同的題目圖形，具體的模型和方法選擇需要結合直線與圓位置關系，找到問題的關鍵所在.本文著重分析高中數學中直線與圓位置關系問題的解題技巧和常用方法，結合實例具體探究.

【關鍵詞】直線與圓；高中數學；解題技巧

“直接與圓位置關系”是一個涉及幾何學的重要概念，主要探討了點、線和圓之間的相互作用，在幾何學中，我們常常需要研究點與圓的距離、線與圓的相交情況以及圓在平面上的位置關系.這種關系不僅在數學中具有重要意義，而且在實際應用中也具有廣泛的應用，通過深入研究直線與圓位置關系，我們可以更好地理解和解決與圓相關的問題，并為解決實際應用中的難題提供有效的方法和工具.

1? 解題技巧1——幾何法

“幾何法”是處理直線與圓的位置關系的重要方法，在條件復雜、問題情境不明確的直線與圓的題目中，“幾何法”的運用給解題帶來了明確的位置和數量關系，“幾何法”可以幫助我們確定直線與圓的相對位置.如，通過判斷直線是否與圓相交，我們可以確定它們的關系是相離、相切還是相交.“幾何法”的基本原理可以幫助我們理解直線和圓的交點情況，從而解決相關問題.

通常情況下，運用“幾何法”分成三個步驟：第一步，計算圓心到直線的距離d；第二步，比較距離d和半徑r的關系；第三步，結合基礎知識，得出結論，從而正確解題.

例1? 如圖1所示，請寫出一條與圓x2+y2=1和圓（x－3）2+（y－4）2=16都相切的直線方程.

解法1? 求解直線與圓的位置關系，可以借助圖形來推導，“幾何法”的優勢在圖形構造中顯而易見，可以很好地輔助解題.

因為圓O1：x2+y2=1與圓O2：x－32+y－42=16的圓心距為 | O1O2 |=1+4=5，所以兩圓外切，

又因為已知直線L1：x+1=0為兩圓的一條公切線，且公切線L1L2關于直線O1O2： 4x-3y=0對稱，所以直線L2過直線L1與直線O1O2的交點，

因為4x-3y=0，x+1=0，

解得交點坐標為－1，－43，

圖1

則可設直線L2的方程為：y+43=k（x+1），

又因為直線L2與圓O1相切，解得k=724，

所以直線L2的方程為7x-24y-25=0，

因為兩圓的公共點為35，45，公切線L3⊥O1O2，且公切線L3經過兩圓的公共點，

所以L3的方程為3x+4y-5=0，

綜上，公切線方程為x+1=0，

或7x-24y-25=0，

或3x+4y-5=0.

評析? 上述求直線與圓位置關系時，借助了圓的幾何性質，通過數形結合的方式，運用“幾何法”，從而找到了問題的突破口，解決了相切關系下的方程問題.

2? 解題技巧2——代數法

在直線與圓的位置關系解題中，“代數法”起著非常重要的作用，“代數法”是指利用代數方法和方程來描述和解決問題的方法，能夠提供一種精確的描述，并通過引入變量和方程，我們可以準確地描述直線和圓的性質及位置關系.如，我們可以用方程表示直線的斜率和截距，用方程表示圓的半徑和圓心坐標，從而準確地描述它們的位置和關系.通過代數方法，我們可以將問題轉化為方程求解的問題，通過求解方程組或方程，我們可以得到直線與圓的交點坐標、交點個數等信息，從而得出準確的結論.同時，“代數法”在直線和圓的位置關系中具有普適性，可以借助題目中的數值條件和位置關系，聯立方程組，通過不斷解方程組的方式，得到新的數據條件，它為我們解決直線與圓的位置關系問題提供了一種有效的數學工具和方法.仍以例1為例.

解法2? 由題意可知，

圓O1：x2+y2=1，

圓O2：（x-3）2+（y-4）2=16，

因此，兩圓的公切斜率均不為0，則可設公切方程為x=my+t（m≠0），

所以 | t | = | 3-4m-t | 4，

所以3-4m-t=±4t，

即t2=1+m2，

解得m=0，t=-1，

或m=247，t=257，

或m=-43，t=53.

綜上可得，圓的公切方程為：x+1=0，

或7x-24y-25=0，

或3x+4y-5=0.

評析? 上述方法是正面解題的寫照，從直線與圓的位置關系的問題入手，根據斜率狀況，直接設切線方程的公式，并利用“代數法”的特質，計算得出了公切線的數據，從而逐個擊破，解決了直線與圓位置關系的相關問題.

3? 解題技巧3——分類討論法

在直線與圓的位置關系解題中，分類討論起著非常重要的作用，通過分類討論，我們可以將復雜的問題簡化為更容易處理的幾個子問題，從而更好地理解和解決整個問題.以下是直線與圓的位置關系中常見的幾種情況：直線與圓相離，這種情況下，直線與圓沒有交點，我們可以通過計算直線到圓心的距離與圓的半徑的關系來判斷直線與圓是否相離.直線與圓相切，這種情況下，直線與圓僅有一個交點，這個交點是圓上的點，我們可以通過計算直線到圓心的距離與圓的半徑的關系來判斷直線與圓是否相切.直線穿過圓，這種情況下，直線與圓有兩個交點，直線穿過圓的內部，我們可以通過計算直線與圓的方程來求解交點的坐標.

例2? 試著就m的值討論直線：x-my+4=0與圓x2+y2=4的關系.

解? 由方程組x-my+4=0，x2+y2=4，

消去x可得， 1+m2y2-8my+12=0，

Δ=-8m2-41+m2×12=16m2－48，

根據m的取值范圍，可以分類得：

當Δ<0時，此時直線與圓相離；

當Δ>0時，此時直線與圓相交；

當Δ=0時，此時直線與圓相切；

評析? 通過對直線與圓位置關系的情況的分類討論，我們可以根據具體情況選擇合適的方法和策略來解決問題，在這道例題中，有關Δ的分類討論可以幫助我們更好地理解直線與圓的位置關系，并能夠更高效地解決相關問題.

4? 結語

通過學習直線與圓的位置關系技巧，我們可以更好地理解和解決幾何問題，包括直線與圓的交點、切點和相切關系等概念都可以幫助我們推導出更多有用的結論.在實際應用中，直線與圓的位置關系問題還可以用“待定系數法”“切線長定理”等方法解決，掌握這些技巧不僅能提高我們的問題解決能力，還可以培養我們的邏輯思維和創造力.因此，深入理解直線與圓的位置關系技巧對于我們的學習和成長都具有重要意義.