一道2023年全國(guó)高考試題的再探究

【摘要】本文對(duì)2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題主要進(jìn)行了解法探究和拓展探究，由于篇幅關(guān)系，沒(méi)有對(duì)結(jié)論2和結(jié)論3給出證明，文中運(yùn)用極坐標(biāo)法證明了結(jié)論1，以下對(duì)結(jié)論1進(jìn)行另證，并給出結(jié)論2和結(jié)論3的證明.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；最值；解題技巧

1? 拓展探究

結(jié)論1? 已知F為拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，M，N為拋物線C上兩點(diǎn)且滿足 MF·NF=0，則△MNF的面積的最小值為3－22p2［1］.

證明? 因?yàn)镕p2，0，

設(shè)直線MN的方程為x=my+n，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

因?yàn)镸F·NF=0，

所以x1－p2x2－p2+y1y2=0，

所以x1x2－p2x1+x2+y1y2+p24=0，

所以my1+nmy2+n－p2（my1+my2+2n）+y1y2+p24=0，

所以1+m2y1y2+mn－p2y1+y2+n－p22=0①，

聯(lián)立y2=2pxx=my+n，

整理可得y2－2pmy－2pn=0，

y1+y2=2pm，y1y2=－2pn②，

|MN|=1+m2y1+y22－4y1y2=1+m24p2m2+8pn=2p1+m2m2+2np，

焦點(diǎn)Fp2，0到直線MN的距離為

d=n－p21+m2，

SΔMNF=12|MN|d

=pn－p2m2+2np③，

由①②可得，n－p22p2=m2+2np，

代入③，整理可得S△MNF=n－p22，

由①②可得，n2－3pn+p24=p2m2，

所以n2－3pn+p24≥0，

解得n≤3－222p或n≥3+222p，

又因?yàn)閚≠p2，

所以S△MNF≥3－222p－p22

=3－22p2，

所以當(dāng)n=3－222p時(shí)，

S△MNFmin=3－22－12=3－22p2，

即△MNF面積的最小值為3－22p2.

結(jié)論2? 已知F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)，M，N為橢圓C上兩點(diǎn)且滿足MF·NF=0，則△MNF的面積的最小值為e2p2e+22，（其中e為橢圓C的離心率，p=b2c，c=a2－b2）［2］.

證明? 以橢圓C的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，射線Fx為極軸建立極坐標(biāo)系，

設(shè)∠x(chóng)FM=θ（0<θ<π），則∠x(chóng)FN=θ+π2，

所以|MF|=ep1－ecosθ，

|NF|=ep1－ecosθ+π2=ep1+esinθ，

S△MNF=12|MF‖NF|

=e2p221－ecosθ1+esinθ

=e2p22+2esinθ－cosθ－2e2sinθcosθ，

令t=sinθ－cosθ=2sinθ－π4，

則t∈（－1，2］，2sinθcosθ=1－t2，

所以S△MNF=e2p22+2et－e21－t2

=e2p2et+12+e2+1，

令f（t）=et+12+e2+1，

因?yàn)閒（t）在（－1，2］為增函數(shù)，

所以f（t）max=f（2）=e+22，

所以，△MNF的面積最小值為e2p2e+22.

結(jié)論3? 已知F為雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，M，N為雙曲線C上兩點(diǎn)且滿足MF·NF=0，則△MNF的面積的最大值為e2p2e2+1，面積最小值為e2p2e+22（其中e為雙曲線C的離心率，p=b2c，c=a2+b2） ［3］ .

證明? 以雙曲線C的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，射線Fx為極軸建立極坐標(biāo)系，

設(shè)∠x(chóng)FM=θ（0<θ<π），則∠x(chóng)FN=θ+π2，

所以|MF|=ep|1－ecosθ|，

|NF|=ep|1－ecosθ+π2|=ep|1+esinθ|，

SΔMNF=12|MF‖NF|

=e2p2|21－ecosθ1+esinθ|

=e2p2|2+2esinθ－cosθ－2e2sinθcosθ|，

令t=sinθ－cosθ=2sinθ－π4，

則t∈（－1，2］，2sinθcosθ=1－t2，

S△MNF=e2p2|2+2et－e21－t2|

=e2p2|et+12+e2+1|，

令f（t）=|et+12+e2+1|，

因?yàn)椋?<－1e<0，

所以f（t）在（－1，－1e］上為減函數(shù)，在（－1e，2］上為增函數(shù)，

所以f（t）min=f（－1e）=e2+1，f（t）max=f（2）=e+22，

所以△MNF的面積的最大值為e2p2e2+1，最小值為e2p2e+22.

參考文獻(xiàn)：

［1］羅文軍.一題多解彰顯素養(yǎng) 多題一解提高能力——2023年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題探究［J］.考試與招生，2023（12）：10—12.

［2］中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［M］.北京：人民教育出版社.

［3］數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程［M］.北京：人民教育出版社，2007.