例談同構法在高中數學解題中的應用

殷春玲

【摘要】本文以同構法在高中數學解題中的應用為研究對象，系統闡述同構法的基本原理和具體應用過程，重點討論其在比較大小、解方程或方程組以及解不等式等方面的應用.通過對案例的分析和解析，展示同構法在高中數學解題中的實際應用效果.同構法能夠提高學生的問題分析能力和解題思維水平，對于培養學生數學素養具有重要意義.

【關鍵詞】同構法；高中數學；解題技巧

由于數學知識的抽象性和復雜性，學生在解題過程中常常遇到困惑和難題.針對這一問題，研究者們不斷探索和開發各種解題方法和策略，其中同構法作為一種新穎且有效的解題方法備受關注.本研究旨在探討同構法在高中數學解題中的具體應用，并深入分析同構法的基本原理和解題步驟，從而為教學實踐提供參考和借鑒.

1? 同構法相關概述

1.1? 同構法的含義及基本原理

同構法是一種在數學解題中常用的方法，其基本原理是通過尋找數學對象之間的相似性和等價關系，將復雜的問題轉化為一個更簡單的同構問題進行求解.同構字面上意味著兩個或多個物體在某些方面具有相同的結構或特征.同構法的核心思想是將問題中的數學對象進行抽象，找到它們之間的相似性，并建立合適的映射關系.在解決同構問題時，可以利用已知的數學工具、公式和定理，將其得出的結論通過映射關系遷移到原問題上.

2? 同構法在高中數學解題中的應用研究

2.1? 同構法在不等式中的應用分析

同構法是高中數學中常用的一種解題方法，通過同構法，可以將不等式中的各項進行變形，使得原不等式與某個已知的不等式同構，從而簡化不等式的求解過程.

例1? 若當0＜x1＜x2＜a時，有不等式x2lnx1－x1lnx2x1－x2＞1成立，試求解a的最大值.

解析? 這類不等式題目的求解是高中數學常見的題型，核心思想是將不等式進行同構化處理.具體而言，若是直接通過不等式求解x2的取值再推算a的取值范圍，那么需要大量復雜的計算，可以通過同構化處理將不等式進行化簡，就上述例題而言，可以將其無關變量整理，得到如下不等式：

lnx1+1x1＜lnx2+1x2

觀察化簡后的不等式，便可以將其轉換為函數單調性的求解問題，即構造這樣的函數，f（x）=lnx+1x，為了使上述不等式恒成立，則根據題目已給條件可知，必須使函數f（x）保持單調遞增.由此便通過同構化處理將復雜的不等式問題轉變為求解函數單調性的問題，學生可以快速地得出f（x）=lnx+1x的單調遞增區間（0，1），在求解出x的取值后，便可以得出a的最大值為1的最終結果.

2.2? 同構法在函數導數中的應用分析

同構法在導數中的應用是高中數學學習中一個重要的話題，該方法幫助學生理解導數的性質和應用，并且可以簡化一些復雜的導數求解過程.下面結合高中數學的例題來詳細介紹同構法在導數中的應用，并分析其在教學中的意義.

例2? 現已知函數f（x）=aex－lnx－1.試證明該函數當a≥1/e時，f（x）≥0恒成立.

解析? 就該例題而言，式子中指數、對數同時存在，無法直接確定函數的單調性.在此情況下，便可以考慮同構化思想，將指數對數項進行合并，經簡化處理后再觀察函數.具體如下：

當有a≥1e時，則可知f（x）≥exe－lnx－1恒成立，

因而可將上述證明題轉變為證明exe－lnx－1≥0恒成立.

考慮到上式中指數、對數同時存在，通過同構化處理得到如下不等式：ex≥elnx+e，

將上述不等式兩邊同時乘以x，可知其等同于：

xex≥elnex+lnex等同于xex≥elnexlnex，

結合化簡后的不等式構造函數，即g（x）=xex，最終又將上述問題轉換為函數的單調性求解，即通過對該函數求導，研究其在題目限定區間內函數的單調性即可得出最終證明結果.

對g（x）進行求導，可知：

g′（x）=ex+xex=（x+1）ex，

由于ex大于0，所以函數g（x）在（-∞，-1］區間單調遞減，在［-1，+∞）單調遞增.

根據函數f（x）=aex－lnx－1可知x＞0，

所以g（x）在（0，+∞）為單調遞增，

又有x大于0時x＞lnex，所以上式成立，

因而當a≥1/e時，f（x）≥0恒成立.

由此可見，通過引入同構法，可以幫助學生更好地理解導數的性質和應用，提高他們的數學建模和問題求解能力.

2.3? 同構法在解析幾何中的應用分析

通過同構法，我們可以更好地理解和解決解析幾何中的問題，同時也有助于培養學生的邏輯推理能力和幾何建模能力.

例3? 已知雙曲線C的方程為x2－y23=1，其與橢圓x28+y24=1有相同的焦點，且直線y=? 3x為雙曲線C的一條漸近線.若是過點P（0，4）的直線l與雙曲線交于A、B兩點，并與x軸相較于點Q，問當PQ=λ1QA=λ2QB，且λ1+λ2=－83時，Q點的坐標為多少.

解析? 對于該例題而言，假設點A、B、Q坐標分別表示為A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，0）.結合題目已知條件可知，直線I過點P和點Q，那么根據P、Q坐標可以求出直線l的表達式：y=kx+4.

則點Q坐標為Q（－4k，0）.

因為PQ=λ1QA，

所以（－4k，-4）=λ1（x1+4k，y1），

所以－4k=λ1（x1+4k）－4=λ1y1，

解得：x1=－4kλ1－4ky1=－4λ1，

所以A（－4kλ1－4k，－4λ1），將點A坐標帶入到雙曲線方程中并進行整理，

得出：（3x20－3）λ21+6x20λ1+3x20－16=0，

按照同樣的思路可以得到：

（3x20－3）λ22+6x20λ2+3x20－16=0，

由此可知，λ1與λ2分別為一元二次方程（3x20－3）λ2+6x20λ+3x20－16=0的兩個根.

因此λ1+λ2=6x203－3x20=－83.

最終解出x0=±2，Q坐標即為（±2，0）.

3? 結語

同構法是一種在高中數學解題中常用的策略，可以幫助將復雜的問題轉化為簡單的同構問題，并通過解決同構問題來得到原問題的解答.同構法不僅有助于學生理解數學對象之間的關系，更能讓他們思維更加嚴謹和靈活，培養解決實際問題的能力.

參考文獻：

［1］夏繼平.例談“同構法”在高中數學解題中的應用［J］.中學數學研究，2023（08）：46-48.

［2］張連吉.例談構造法在高中數學解題中的應用［J］.福建中學數學，2017（05）：47-49.

［3］張利平.例談構造法在高中數學解題中的應用［J］.數理化學習（高中版），2015（07）：18-19.