基于思維發(fā)展的信息技術(shù)與數(shù)學教學融合實踐探索

胡連成　王國強

摘 要：數(shù)學教學是以數(shù)學思維發(fā)展為核心的教學，學生思維發(fā)展需要在積極的問題情境思考中得以實現(xiàn).基于思維發(fā)展的信息技術(shù)與數(shù)學教學的融合實踐，一方面重視學生通過主動思考完成知識和方法的初步建構(gòu)，實現(xiàn)思維的內(nèi)化；另一方面重視展示、交流、辨析等思維外顯過程，并注重借助幾何畫板等信息化圖示技術(shù)，在動態(tài)的問題思考中實現(xiàn)抽象知識直觀化、內(nèi)隱思維可視化，達成從感性認知到理性建構(gòu)再到思維自覺的育人目的.

關(guān)鍵詞：問題情境；思維發(fā)展；二次函數(shù)；幾何畫板

以核心素養(yǎng)發(fā)展為旨歸的數(shù)學教學，追尋用數(shù)學的方式觀察、思考和表達現(xiàn)實世界，其本質(zhì)是通過情境中的問題思考，發(fā)展學生的抽象、推理及模型等數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)理性思維和科學精神.為實現(xiàn)上述目的，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了5條教學建議，其一就是“注重信息技術(shù)與數(shù)學教學的融合”，提倡合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，豐富學習資源，創(chuàng)設(shè)生動的學習情境，在實際問題的思考中，激發(fā)學習興趣和探究欲望，開闊認知視野、發(fā)展數(shù)學思維，實現(xiàn)抽象知識直觀化、內(nèi)隱思維可視化、理性思維自覺化，促進學生對數(shù)學概念的理解、知識方法的建構(gòu)和數(shù)學思想的領(lǐng)悟^［1］.

數(shù)學學習是基于對情境問題的觀察、想象、猜想、推理、驗證、歸納而開展的思維活動，具有形式化、抽象性及自我建構(gòu)的特點.一般來說，學生在問題的思考中思維活動往往是內(nèi)隱的，對于抽象數(shù)學本質(zhì)刻畫是基于自我理解的圖式建構(gòu)，可能是膚淺或片面的.因此，在數(shù)學問題的思考中，一方面要重視自我建構(gòu)的思維內(nèi)化過程，另一方面要注重交流、展示、辨析等思維外顯活動，并合理利用幾何畫板等信息化圖示技術(shù)，變抽象為直觀、轉(zhuǎn)內(nèi)隱為外顯、化結(jié)果為過程，在多元表征中達成隱形思維顯性化、顯性思維策略化、高效思維自動化，實現(xiàn)學生對數(shù)學本質(zhì)的正確理解，進而發(fā)展自覺的理性思維和科學精神^［2］.

1 基于思維發(fā)展的融合教學的案例分析

本文結(jié)合蘇科版教科書九年級下冊“二次函數(shù)”中的三則教學案例，對信息技術(shù)與數(shù)學教學的融合實踐進行解讀與分析.二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后又一類重要的代數(shù)函數(shù)，是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系之間的重要數(shù)學模型，其內(nèi)涵豐富、知識抽象、綜合性強，學生理解有一定難度，以至于不少學生“望函生難”“遇函止步”.這就要求我們在教學中通過合適的教學媒介，化抽象為直觀，讓學生的思維方式實現(xiàn)從靜態(tài)到動態(tài)、從特殊到一般、從感性到理性的提升，進而促進理性思維的發(fā)展.

幾何畫板是美國Key Curriculum Press公司研制的一款數(shù)學軟件，具有繪圖操作簡便化、呈現(xiàn)方式直觀化、圖形構(gòu)造動態(tài)化、數(shù)量關(guān)系精確化的特點.在二次函數(shù)教習中有針對性地運用幾何畫板進行輔助，可以在直觀的圖形變化中幫助學生理解抽象的函數(shù)內(nèi)容，發(fā)展用數(shù)學的方式觀察、思考和表達現(xiàn)實問題的能力.

1.1 數(shù)形結(jié)合，理解函數(shù)圖象

二次函數(shù)圖象的學習需要在問題思考中，從數(shù)的角度理解變量間對應(yīng)關(guān)系，從形的角度感知“連點成線”“點動成線”的變化與關(guān)聯(lián).既要知道二次函數(shù)的圖象“是何物”，也要知道“為何是”，更需明確“如何用”，以在探究中掌握解決問題的“一般套路”，促進思維發(fā)展.

案例1：二次函數(shù)圖象畫法辨析

1.情境設(shè)計：類比畫一次函數(shù)y＝2x圖象過程，嘗試畫出二次函數(shù)y＝2x²的圖象.

2.問題思考：（1）畫函數(shù)圖象的步驟是什么？

（2）你畫的二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象有哪些異同？

（3）二次函數(shù)圖象上相鄰兩點如何連接？為什么？

3.探索分析：二次函數(shù)圖象是理解函數(shù)圖象性質(zhì)的基礎(chǔ).學好這部分內(nèi)容，需要在已有函數(shù)圖象知識的基礎(chǔ)上，注重方法類比，整體感知形態(tài)，具體分析變化.故本案例教學讓學生類比一次函數(shù)的圖象畫法嘗試畫二次函數(shù)的圖象，在經(jīng)歷列表、描點、連線的過程中，整體感知二次函數(shù)圖象不同于一次函數(shù)圖象，并以如何刻畫相鄰兩點間的連線為著力點，開展對問題“是何”“為何”的深度思考.學生往往類比一次函數(shù)圖象采用線段依次連接的方法畫二次函數(shù)圖象（如圖1），為了讓學生認識其不合理性，可借助幾何畫板進行可視化探索.

（1）增點辨析、連點成線

針對“相鄰兩點用線段連接”的現(xiàn)象，可以利用幾何畫板“繪制點”功能畫點辨析，通過“舉反例”的方法說明了“相鄰兩點不是用線段連接的”.如繪制符合函數(shù)關(guān)系的點（0.5，0.5），可以觀察到它并不在所連接的線段上（如圖1）.我們可以繼續(xù)在點（0，0）和點（1，2）之間繪制更多的點（如圖2），整體直觀感知這些點形成了曲線形狀.

（2）動點刻畫、點動成線

為了更直觀、形象地展現(xiàn)二次函數(shù)y＝2x²的圖象，可以利用幾何畫板“追蹤點”功能，拖動符合函數(shù)關(guān)系的動點P，則會形成無數(shù)個點，點動成線，構(gòu)成了“拋物線”狀平滑曲線

（如圖3）.對于成績較好的學生，也可以讓其閱讀“拋物線的焦點與準線”的相關(guān)內(nèi)容，了解“拋物線是平面內(nèi)到一定點和一定直線（不過定點）距離相等的點的軌跡”，并利用幾何畫板，根據(jù)焦點和準線繪制動態(tài)拋物線.課后結(jié)合本課探究方法，讓學生嘗試繪制y＝x³和y＝x²＋1x的圖象，借助幾何畫板驗證并歸納其圖象性質(zhì)，實現(xiàn)方法的遷移運用.

1.2 動態(tài)生成，明晰性質(zhì)關(guān)聯(lián)

二次函數(shù)圖象性質(zhì)是學生學習的又一難點，相對于一次函數(shù)和反比例函數(shù)而言，系數(shù)增多，圖形變化豐富，數(shù)形關(guān)聯(lián)復雜.因此，在圖象性質(zhì)探究中借助幾何畫板等可視化工具，化抽象為直觀，化靜態(tài)為動態(tài)，多維思考，融會貫通，實現(xiàn)數(shù)形融合與函數(shù)、方程、不等式知識關(guān)聯(lián)建構(gòu).

案例2：函數(shù)、方程與不等式的關(guān)聯(lián)建構(gòu)

2024年第1期教學研究教學研究2024年第1期1.情境設(shè)計：你能求出不等式x²－2x－3＞x＋1的解集嗎？

2.問題思考：（1）是否可以通過解不等式解決問題？

（2）是否可以通過解方程y₁＝x²－2x－3猜想結(jié)論？

（3）觀察函數(shù)y₁＝x²－2x－3與y₂＝x＋1的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.探索分析：一元二次不等式的解集確定問題對一般學生來說是學習的難點，其往往類比一元一次不等式的解法而出現(xiàn)方法困境.這類問題的解決策略是“由形析數(shù)”，結(jié)合函數(shù)圖象直觀解讀，其思維理解的關(guān)鍵點在于從符號語言到書面語言再到圖形語言的順利轉(zhuǎn)換（如圖4）.九年級學生的思維發(fā)展尚處在從形象思維到抽象思維的過渡階段，在圖形的信息解讀中可以借助幾何畫板，利用動點演示說明“y₁＞y₂”的圖象區(qū)間分布

（如圖5）.具體如下：過x軸上的點P作垂線，分別與兩函數(shù)圖象交于點A、點B，有序拖動點P，觀察點A和點B的位置和坐標變化，可直觀得到y(tǒng)₁與y₂的大小關(guān)系的區(qū)域分布.

圖4

圖5

1.3 圖形運動，助力素養(yǎng)發(fā)展

拋物線中由動點形成的特殊圖形存在性問題，其知識綜合性強、圖形變化多、空間想象思路難度大，在各類考試中往往作為壓軸題出現(xiàn).這類問題可借助幾何畫板，通過動態(tài)演示圖形運動過程，直觀展示一般與特殊的圖形變化，在變化中揭示不變的規(guī)律和關(guān)系，從而有效發(fā)展學生的幾何直觀和空間想象等數(shù)學素養(yǎng).

案例3：拋物線中直角三角形存在性問題

1.情境設(shè)計：如圖6，拋物線y＝－x²＋2x＋3與坐標軸交于A，B，C三點，E是x軸上一動點，過點E且平行于y軸的直線與拋物線交于點P，與直線AB交于點D.當點E在線段OA上運動時，想象△PBD的形狀變化.

2.問題思考：（1）當點E在線段OA上運動時，是否存在△PBD為直角三角形的情況？

（2）若存在，求出點E坐標；若不存在，請說明理由.

（3）是否存在△PBD為其他特殊三角形的情況？若存在，能否求出點E坐標？

3.探索分析：按照學生的思維發(fā)展的一般順序，進行如下探索過程.

（1）模擬變化.學生模擬圖形運動過程，嘗試畫出△PBD為直角三角形的圖形，并交流、展示、討論，以發(fā)展學生空間想象能力，嘗試知識和方法的初步建構(gòu).

（2）動態(tài)演示.教師運用幾何畫板演示點E在線段OA上運動時△PBD的變化過程，明確存在兩類符合條件的圖形

（如圖7、圖8），并讓學生解釋∠PDB不能為直角的原因.在圖形想象和直觀演示的碰撞中，激發(fā)學習興趣，引發(fā)深度思考，發(fā)展學生幾何直觀和抽象思維能力.

（3）思路探尋.結(jié)合圖形，由形解數(shù)、由數(shù)析形、數(shù)形結(jié)合，探尋圖7和圖8中點E的不同的坐標求法，理解“動態(tài)探尋變化、靜態(tài)分類思考、數(shù)形多維求解”的解題策略及特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想.

（4）變式拓展.當點E在直線OA上運動時，類比上述方法探尋△PBD為特殊三角形的其他情形，發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識.

（5）方法運用.當點E在直線OA上運動時，鼓勵學生提出不同的幾何圖形存在性問題，并運用上述問題解決策略嘗試解答，以實現(xiàn)在動態(tài)問題思考中發(fā)展思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性.

2 基于思維發(fā)展的融合教學的實踐思考

數(shù)學思維是以空間形式和數(shù)量關(guān)系為思維對象，以數(shù)學語言和符號為思維載體，以認識發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律為目的的思維方式，具有概括性、整體性、相似性和問題性的特點^［3］.數(shù)學教學是以數(shù)學思維發(fā)展為核心的教學，借助幾何畫板輔助教學的融合課堂教學應(yīng)注重學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，以主動的情境問題思考為前提，注重知識的建構(gòu)與思維的內(nèi)化.在此基礎(chǔ)上，借助幾何畫板，通過圖形運動和數(shù)量刻畫，從數(shù)形結(jié)合、動態(tài)感知、理性思考、數(shù)學表達的過程，實現(xiàn)思維的外顯，并通過知識方法的遷移運用，形成解決問題的基本套路和一般觀念.

2.1 主動思考為前提，關(guān)注思維內(nèi)化

學生的思考過程就是不斷進行知識重構(gòu)的過程，是基于已有知識結(jié)構(gòu)和方法體系進行順應(yīng)與同化的嘗試過程.這個過程存在諸多挑戰(zhàn)，可能無法探尋到有效思路或得到片面甚至錯誤結(jié)論，但每一次思考，都是自我的升華與完善.基于思維發(fā)展的信息技術(shù)與數(shù)學探索的融合教學，重視學生對問題的主動思考，這是問題探索的起點.通過創(chuàng)設(shè)積極的問題情境，引發(fā)學生認知沖突，形成探究氛圍，學生在經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、解釋與反思的思維活動，形成基于自我理解的知識和方法，實現(xiàn)用數(shù)學的眼光觀察問題、用數(shù)學的思維思考問題的過程，在積極的問題思考中完成“內(nèi)化于心”的自我建構(gòu)過程.

2.2 動態(tài)展示為關(guān)鍵，重視思維外顯

學生通過主動思考而嘗試建構(gòu)的知識與方法體系是否正確，需要在交流、展示與辨析的表征活動中接受檢驗.在運用數(shù)學語言表達問題的過程中，產(chǎn)生思維碰撞，使內(nèi)化的思維成果在外顯的過程中得以修正與重組，實現(xiàn)對知識結(jié)構(gòu)和方法體系的再加工.如上述案例中，在學生思考的基礎(chǔ)上，一方面讓學生通過圖形和語言等方式呈現(xiàn)思維成果，學生試圖在清晰而有序的表達中，發(fā)現(xiàn)新問題，引起新思考.另一方面通過幾何畫板等圖示技術(shù)，直觀演示圖形的變化過程，結(jié)合數(shù)據(jù)的精確刻畫，驗證學生的猜想和判斷，引發(fā)學生的深度思考.在自我理解的思維成果和直觀形象的動態(tài)展示碰撞中，激發(fā)學習興趣、優(yōu)化思維方式，經(jīng)歷系列的問題探索，學生在看到二次函數(shù)表達式時，頭腦中出現(xiàn)的不僅是“等式”“方程”的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，還會出現(xiàn)“連點成線”“點動成線”等形的有序運動，在數(shù)與形的動態(tài)融合中實現(xiàn)對函數(shù)圖象的本質(zhì)理解.

2.3 “三何”探究為根本，實現(xiàn)思維理性

基于思維發(fā)展的信息技術(shù)與數(shù)學教學的融合探究追尋的是學生深度學習，是對問題“是何、為何、如何”的追問與思辨.通過主動的思考，探尋問題所蘊含的數(shù)學規(guī)律，完成基于自我理解的知識和方法的初步建構(gòu)，達成“是什么”的感性認識；在對思維成果進行解讀、思辨時，結(jié)合辯思與推理，實現(xiàn)“為什么”的理性解讀；教師因勢利導，借助思維可視化方式，使學生思維方式實現(xiàn)從靜態(tài)到動態(tài)、從一維到多維的轉(zhuǎn)變，在動態(tài)思考中領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，掌握問題思考的一般套路，并能在問題探究中自覺遷移運用，實現(xiàn)“如何用”的目的.

通過情境問題的深度思考，從“是何”的感性認知到“為何”的理性建構(gòu)再到“如何”的思維自覺過程，借助幾何畫板等數(shù)字化技術(shù)，實現(xiàn)抽象知識直觀化、內(nèi)隱思維可視化、理性思維自動化，由具體的數(shù)學方法、策略的學習轉(zhuǎn)向一般性思維策略的發(fā)展，進而逐步培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神^［4］.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］左博文，周利君.我國思維可視化研究回顧與展望——基于中國知網(wǎng)2014—2019年論文分析［J］.中國教育信息化，2020（13）：14--20．

［3］孔凡哲.數(shù)學學習心理學［M］.北京：北京大學出版社，2021．

［4］胡連成，朱浩然.基于思維發(fā)展的單元復習課的實踐與思考——以銳角三角函數(shù)單元復習為例［J］.中小學教學研究，2023，24（1）：56--62．