數形結合，助推兒童思維發展

王雪濤

數和形是數學研究的最基本對象，其中“數”指數學中的“數量關系”，一般為抽象的、符號化的數學對象，“形”指數學中的“空間形式”，一般為有形的、可視的數學內容。在數學教學上，數形結合是一種數學思想方法，在一定條件下，數和形可以相互轉化。數形結合的應用不外乎兩種——第一種是有效利用數的精確性來說明形狀的某些屬性，第二種是有效利用幾何形狀的直觀性來說明數與數之間的相互關系，也就是數形結合包括兩個方面：第一種情況是用數解形，第二種情況是以形助數。數形結合主要是指數量與形狀之間的相互對應，是高度抽象的數學數量關系與形象直觀的幾何圖形的結合。

小學生的思維是從以形象具體思維為主向以邏輯抽象思維為主過渡的。通過“以形助數”或“用數解形”，能夠引導學生從具體的、可以直接感知的數學學習基礎上，區分數學概念的本質和非本質屬性，能掌握一些抽象概念，能運用概念、判斷、推理進行思考，從而使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，促進思維能力發展。以下是筆者基于數形結合思想方法在教學實踐中的一些應用探索。

利用數形結合，培養初步量感

《義務教育數學課程標準（2022年版）》首次明確提出了“量感”的概念，其主要指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。如史寧中教授所說：“數是對數量的抽象，數量是度量的結果，數學的本質在于度量。”因此，“量感”與“數感”相輔相成、密不可分。以推導出長方形面積公式為例，如何在展開度量的過程中獲得度量的結果，并對結果進行抽象化表達？教師可出示一個長6厘米、寬4厘米的長方形，在出示時不標明長與寬的長度，與學生一起探索求解出該長方形的面積。具體步驟如下：教師呈現邊長為1厘米的正方形學具，全班以小組形式開展合作學習。合作學習之后，讓小組代表交流“這個長方形的面積是多少”并說出理由。學生1：邊長6厘米，我們沿著長可以擺放6個邊長是1厘米的小正方形，寬4厘米，我們沿著寬可以擺4個邊長是1厘米的小正方形，這樣我們一共擺了24個這樣的小正方形，因而我們得出這個長方形面積是24平方厘米。學生2：邊長6厘米，每排擺6個，寬4厘米，共擺放4排，一共可以擺6×4=24個這樣的小正方形，24個1平方厘米的小正方形，面積就是24平方厘米。學生通過擺一擺，計算出了長方形的面積。此時，教師可進一步啟發學生找出規律。學生發現1：“長×寬”的值正好是小正方形總共個數；學生發現2：有幾個1平方厘米，面積就是幾平方厘米；學生發現3：“長×寬”的結果就是面積。為了充分證明“長×寬”的結果就是面積，教師可讓學生繼續探索發現規律的普遍性，最終讓學生自己總結出長方形面積的計算方法。

在以形助數的教學過程中，教師可讓學生自主探究，深度展開學習，通過實踐操作，培養量感，提升歸納總結的能力；同時發展數感，加深對知識的理解。

利用數形結合，厘清概念本質

克勞斯梅爾等人把數學概念學習分為具體期、確認期、分類期、生產期、形式期五個階段，其中數學概念的確認期是個較長的過程。在新數學概念出現時，學生往往會將之與已知概念混淆，此時可以通過具體、直觀、形象的數形結合方法，幫助學生辨別概念本質屬性。

例如，平行四邊形面積教學需重點把握兩大問題：一是探索面積的推導過程，使學生能夠直觀感知轉化過程中各要素之間的對應關系；二是澄清學生常常會出現的平行四邊形面積為“鄰邊相乘”的錯誤認知，利用圖形結合，幫助學生辨析面積概念，提升概念理解水平。具體做法如下——

出示長為6厘米、高為4厘米的平行四邊形，這個平行四邊形帶有格子，教師可引導學生先沿著高剪下來，然后拼到另一邊，就變成了一個長方形，學生發現這個長方形的面積“長×寬”是24平方厘米，并且這兩個圖形移動前與移動后的面積是一樣的，因而平行四邊形面積是“底×高”。如何驗證“鄰邊相乘”結果是錯誤的？教師可用長6厘米、高4厘米的平行四邊形框架，放在一個11厘米×6厘米的格子里，把它壓一下，數一下格子，發現面積變小了，再往下壓，面積越來越小。通過直觀演示，學生們可以發現平行四邊形的邊長不變，面積卻是變化的。

利用數形結合，明晰數量關系

幫助學生認知數量關系是數學教學的一大基本任務，找準數量關系也是解決數學問題的關鍵。在較為復雜的問題情境中，由于小學生的抽象思維和邏輯思維能力較為薄弱，無法辨析數量之間的關系，容易在問題解決過程中出現思維障礙。對此，教師可利用數形結合的方法，將較為復雜的數量關系用圖像表示出來，并用數學語言進行解釋，化難為易，化繁為簡，以此幫助學生明晰數量關系，精準找到解決問題的方法，進而發展學生的抽象思維。

例如，在教學“分數乘法”時有這樣一道題：“商品原價是α元，先降價1/6，再提價1/6，問現價與原價相比是漲了還是降了？”這道題從字面上理解，許多同學會出現一種錯誤的直觀判斷：“現價與原價是一樣的”，解決這一問題的關鍵是單位“1”的量在發生變化，“商品原價是α元，先降價1/6”，這里單位“1”是“商品原價”，“再提價1/6”，單位“1”又發生了變化，變為“降價后的價格”。由于部分學生缺乏抽象邏輯思維能力，數學語言描述無法讓學生理解單位“1”的變化。此時，教師可通過畫線段圖的方式使學生直觀看到兩個量之間的變化關系。在圖示中，學生發現單位“1”發生了兩次變化，先降價與再提價的單位“1”是不同的，直觀感知到現價比原價降了。而學生只有真正明晰了錯誤認知的原因，才能更好地提升判斷分辨的能力，養成嚴謹的思維品質。

利用數形結合，優化解題策略

數學計算教學，不但要求學生能夠準確計算，而且要求學生能夠思考簡便運算的算理，在算理的理解基礎上合理簡算。數形結合思想方法在解決運算問題中也能起到重要的作用，可以幫助學生通過直觀的認識和嚴密的邏輯推導，揭示數與形之間的本質聯系，透過表面揭示問題實質。美國數學家斯蒂恩曾經說過：如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么，思維就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。

例如，在計算時，筆者設計了以下教學活動——

活動一：研究算式，找到特點。學生通過研究發現這道算式是4個分子都是1的四個分數連加，后面一個分數的分母是前面一個分數分母乘2。

活動二：自主思考，常規運算。學生運用原有的運算方法進行計算，主要有兩種：一種是先進行通分再進行同分母分數相加，另一種是把分數化為小數再進行相加。

活動三：將數化形，探索方法，引導學生探究更加簡便的算法，及時介入圖形，如果把正方形看作單位“1”，把算式中的加數填入圖中，? 學生通過填數，從圖形中發現問號部分是大正方形的，四個加數部分是大正方形的，最終想到這四個加數的和是。

活動四：拓展延伸，總結策略。教師進而啟發教學：“如果加上，再加上，你還能很快求出得數嗎？”學生都很自然得到了答案。

借助數與形的結合，學生變換了思考角度，由順向求和的常規方法想到了逆向求差的方法，使原本復雜問題的求解簡單化。在此過程中，學生學會了在解決問題時尋找多種策略，并從中選出最優策略。

總之，在小學數學教學中，教師應合理充分利用數形結合思想方法，創設問題解決的具體情境，引導學生在體驗中感悟，促進學生學習的深入，從而更好地發展學生的空間想象、觀察分析、合情推理等數學素養，使學生在對數學知識的深刻理解中提高思維能力。