小學高年級數學教學中學生建模能力培養研究

作者簡介：謝小英（1975～），女，漢族，福建建甌人，建甌市東峰鎮中心小學，研究方向：小學數學教學。

摘? 要：建模能力是小學數學核心素養的組成要素之一，也是學生解決問題的重要基礎。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程目標、知識與技能、綜合與實踐等多個板塊，都對學生的建模能力發展提出了明確的要求。高年級小學生的知識水平、思維水平較高，理解和建構數學模型的能力也相對較強，教師要從高年級小學生的認知特點和規律出發，合理選擇教學的方式方法，打造優質高效的數學課堂，以此來促進學生建模能力的發展。

關鍵詞：小學；高年級；數學；建模能力

中圖分類號：G424??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）18-0065-06

小學生正處于思維快速發展的時期，建模能力的培養應當從基礎教育階段抓起。文章中的高年級指的是小學五、六年級。相比之下，一至四年級的學生年齡較低，思維、心理、能力等方面還不夠成熟，在理解和構建數學模型的時候會比較吃力；而高年級學生正處于形象思維向抽象思維轉變的過程中，獨立思考能力、自我控制能力都有了較為顯著的提升。因此，在小學教育體系中，高年級階段更適合培養學生的建模能力。教師要深入解讀新課程標準，明確教學目標，促進學生建模能力的發展，為學生未來的學習與發展奠定基礎。

一、 建模能力的概念

建模能力指的是構建數學模型的能力，而數學模型是一種符號或者形式上的模型，以數學的形式來描述某種事物的特征和變化情況，有助于使學生更加直觀、準確地認識某種情境或問題中的數量關系，是用于觀察數量關系變化狀態的數學結構。構建數學模型就是從事物中提煉出抽象化的數量關系，去除一切與數量關系無關的屬性，只通過數字、符號及數學概念來表述。從廣義上來看，一切數學知識都可以看作數學模型，比如各種數學概念、公式、算法算理等，是蘊含數量關系的純理論化的數學結構。從狹義上來看，數學模型指的是從具體事物中提煉出的特定數學關系結構，能夠反應特定的系統事物和問題模式。簡而言之，數學模型可以看作用數學方式來表達數學規律的結構模型，是從現實生活和實際問題中抽象出的概念、定理、法則和公式。數學模型有兩個特征：第一，數學模型是純抽象的、除去一切非必要因素的數學關系結構；第二，數學模型是借助數學符號表示的，并且能夠通過推演進行證明。數學建模能力指的是從問題中提煉數學模型，然后借助數學模型來解決實際問題的能力，它通常包括閱讀、理解、抽象、建模、運算、驗證等過程。教師培養學生良好的數學建模能力，有助于鍛煉學生的抽象思維和邏輯思維，增強學生分析和解決問題的能力。

二、 建模能力的構成要素

（一）數學閱讀能力

數學閱讀能力是建模能力的重要構成因素。建模能力的發展需要以充足的數學理論知識為基礎，學生的閱讀能力會直接影響到獲取數學知識的效率和質量。同時，建模需要對形象的問題進行抽象與簡化，從中提煉出數量關系并轉化成數學模型。這一過程也十分考驗學生的閱讀理解能力，如果學生的閱讀能力不足，對數學問題的理解產生了偏差，構建的數學模型也會出錯。此外，學生在腦海中0構建了數學模型后，還需要用數學語言將其描繪出來，數學語言是一種專業、嚴謹的語言，學生需要通過大量閱讀來掌握相關的公式、符號、圖表等。可以說，個體數學閱讀能力的高低，決定了數學模型的構建質量。因此，教師要加強對學生閱讀能力的培養，幫助學生更好地理解問題、構建數學模型，提升建模的準確性和速度；反之，學生在參與數學建模實踐的過程中，也可以獲得閱讀能力的提升。

（二）抽象概括能力

抽象概括能力是數學思維的核心，也是構建數學模型的必要能力。數學建模的本質是對具體問題中數量關系的抽象化描述與理論性概括，是一種從具體問題到抽象理論的轉變過程。學生需要從復雜形象的問題中提煉出抽象模型，需要具有良好的抽象概括能力。抽象概括能力可以幫助學生更好地理解和使用數學模型，快速地發現題目的本質，理清問題中隱含的數量關系，并運用已經學過的定理、公式等解決問題，更加快速準確地分析和求解數學模型。數學建模是一個高度抽象化的思維過程，學生只有具備良好的抽象思維能力，才能對外部的感性資料進行深刻剖析，經過思維加工與建模，使其形成一個結構清晰的理論模型。

（三）邏輯推理能力

邏輯推理能力與建模能力既有所關聯，但并不屬于建模能力的一部分，而是與建模能力相輔相成，互相影響。邏輯推理能力指的是通過充分運用現有的信息，通過邏輯思維與推理進而得出結論、解答問題的能力。這種能力涉及對具體問題的分析、判斷、討論與推理，能夠為問題的解決提供有力支持。在解答數學題的過程中，學生通常需要對問題進行邏輯推理，深入把握題目中已知條件、未知條件之間的邏輯關系，才能將具體問題轉化成數學模型。從小學生大腦思維的發展規律來看，建模能力的提升需要以邏輯推理能力為基礎。與此同時，數學建模也是學生應用和鍛煉邏輯推理能力的過程。

（四）問題解決能力

新課程標準提出，要讓學生運用符號運算、形式推理等方法解決數學問題和實際問題。從小學數學教材和考卷的內容變化情況來看，純理論化的題目越來越多，生活類、綜合應用類的題目越來越多。由此可見，培養學生的問題解決能力已然成為數學課程的重要目標。問題解決能力指的是學生靈活運用所學知識和技能，有效解答問題的能力，是學生學習成果的證明，也在很大程度上體現了學生建模能力的發展水平。數學建模可以把陌生的實際問題轉化成熟悉的數學模型，把特殊問題轉化為一般問題，為解決問題提供必要的依據和前提。在數學教育中，建模能力的培養最終要落實到問題解決中去，學生的建模能力高低，需要通過解決實際的問題來檢驗。

三、 小學高年級數學教學中學生建模能力培養的現存問題

（一）不重視建模能力的培養

隨著課程改革的推進，核心素養在教育領域的地位也在不斷提升，建模能力的發展與學生幾何直觀、模型意識、空間觀念等方面的發展息息相關，是培養學生核心素養的基石。但目前來看，建模能力的受重視程度仍有所不足。部分教師對數學建模的概念不是很清楚，在建模能力培養方面的實踐經驗也比較少，沒有充分意識到建模能力對學生數學學習的重要意義，未將建模能力滲透到課堂目標中去。從考試評價體系來看，試卷內容往往比較注重對學生基礎知識的考查，建模能力雖然能影響學生解題的效率，但難以在考試中直接體現出來，這也導致部分教師對建模能力的培養不夠重視，側重于對理論知識的教授。有的教師對建模能力的理解存在偏差，只是讓學生記住一些現有的數學模型，而沒有培養學生自主建模的能力。在新課程改革的背景下，教師要將建模能力看作學生數學素養的重要構成要素，提高對建模能力的重視程度，將其融入課堂教學中去，以建模能力的提升，帶動學生其他素養的發展。

（二）沒有養成良好閱讀習慣

閱讀能力是建模能力形成與發展的重要基礎，通過對學生的日常觀察與交流，發現當前許多高年級小學生沒有養成良好的閱讀習慣，對數學閱讀的重要意義不夠了解，只有教師布置任務的時候才會進行數學閱讀。有的學生對“閱讀”的認識存在偏差，局限于語文、英語等學科。事實上，閱讀是數學學習的必要前提，學生只有具備良好的閱讀能力，才能正確地理解各種數學概念、公式，分析并解決問題。有的學生除了閱讀教材外，沒有讀過其他關于數學的圖書，認為考試只會考查課本上的數學知識，所以沒必要進行課外閱讀。同時，有些學生認為數學類書籍的文字性內容太多，晦澀難懂，難以提起學習的興趣，存在抵觸、抗拒的心理，在閱讀時缺乏充分的耐心。

（三）部分學生存在思維定式

培養學生的建模能力，是為了讓學生從形象問題中提煉出抽象模型，然后用熟悉的概念、定理、公式等來解決問題。在日常學習和考試中，題目的背景設定、提問方法、數量關系千變萬化，對學生思維的靈活性和開放性有著很高的要求。學生需要具有舉一反三的能力，能夠將一個數學模型應用到不同問題的解決過程中。但通過日常觀察和調查發現，不少學生在做數學題的時候存在思維定式，受已有知識和經驗的影響很深，習慣性地按照之前掌握的某種思路去分析問題，而沒有意識到每道問題的特殊性。如果題目的提問方法、背景設定、數量關系出現了變化，超出原有的認知范圍，學生便會感到困惑不已，難以從原有的思維模式中走出來。

（四）抽象概括能力有待提升

上文提到，抽象概括能力是數學建模的必要能力。但從認知發展規律來看，小學生的抽象能力仍處于初步形成與發展的階段。即便是在高年級，小學生的抽象思維也相對有限，比較喜歡具象化的事物，在高度抽象化事物的時候會感到吃力。數學建模是把具體的問題概括成抽象的數量關系，然后利用相關的公式、定理等進行解答。許多學生在解答生活類、實踐類的問題時，無法將其概括成抽象的數學模型，難以從數學的角度去看待問題，這也是學生感覺數學學習困難的一個重要原因。同時，抽象概括能力還包括表達能力，學生在腦海中構建數學模型后，需要運用準確、嚴謹的數學語言將其描述出來，這對學生的理論知識基礎和抽象思維能力都具有很高的要求。

（五）獨立解決問題能力較弱

從課堂教學情況來看，許多學生在遇到難題的時候，喜歡詢問同學，與其他學生討論，或者直接跳過，等老師講解。這部分學生在第一時間沒有想到自己去解決，而是尋求他人的幫助，獨立解決數學問題的意識和能力較弱。解題能力弱的原因有很多，如理論知識基礎不牢固，不熟悉算理算法，對數學規律理解不透徹等，歸根到底是理解、建構和應用數學模型的能力不足。因此，教師要加強對學生建模能力的培養，引導他們通過主動思考，從問題中提煉數學模型，并學會運用數學模型來解決各種各樣的問題。同時，教師也要鼓勵學生獨立地思考和探究，使學生擺脫依賴心理。

四、 小學高年級數學教學中學生建模能力培養的策略

（一）增強建模教學意識，明確培養目標

小學數學教師增強建模教學的意識，提高對數學建模的重視程度，在備課時要明確學生建模能力的發展目標，將模型意識滲透到課堂教學中去。在設定培養目標的時候，教師首先要深入了解高年級小學生的數學學習基礎和認知能力發展水平，根據真實學情來確定目標的高度和難度。建模教學目標旨在促進學生應用意識的發展，增強學生的建模意識和提高能力，不僅要求學生深入理解數學模型的概念，還要讓學生感受到數學模型在現實生活中的應用價值，在解決生活問題的過程中體會數學建模的過程，將數學建模思想和能力融入四維目標。

例如，在教學《多邊形的面積》的時候，教師可設定如下教學目標。“①知識技能：讓學生通過剪拼、平移、旋轉等方法推導出平行四邊形、三角形、梯形圖形的面積公式，能夠運用所學知識解決生活中的面積問題。②數學思考：通過觀察、操作，從生活物體中抽象出多邊形，實現空間觀念、建模能力的有效提升。③問題解決：通過觀察、操作、分析、討論、歸納等學習活動學會多角度思考和解決日常生活中的數學問題。④情感態度：理解抽象的數學模型與具體的生活事物之間的聯系，學會用數學的眼光來看待世界，激發學生思考與探索數學知識的積極性。”然后，教師以目標為導向，詳細設計每個課堂環節的教學內容和方法，推動教學目標的落實，以教材為依托，促進學生建模能力的發展。在正式教學前，教師可出示如上目標，引導學生閱讀和分析，使他們明白自己在本課學習中應當掌握的思想、獲得的能力，為學生指明學習的方向。

（二）深入解讀數學概念，閱讀理解模型

數學概念是數學學習的基石，是學生理解和構建數學模型的媒介。小學數學教師要抓好概念教學，培養學生良好的閱讀能力，幫助他們奠定堅實的知識基礎。對高年級小學生而言，閱讀理解能力是一種重要的基礎能力，對數學學習發揮著關鍵性的影響作用。學生只有具有良好的閱讀能力，才能正確地理解數學概念、數學問題，并構建出清晰準確的數學模型。

數學問題中經常會出現一些具有特定意義的概念詞，如同時、相向、相遇、相對等，這些概念詞是正確建模和解題的關鍵。但在解題過程中，學生有時會錯解詞義，如“相向”的意思是向著相反的方向行進，有的學生將其理解為從同一地點出發，向著相同的方向行進。學生對題目的理解出現了偏差，構建的數學模型也與原題完全不同，導致解題錯誤。因此，教師要引導學生深入解讀數學概念，提高他們的閱讀理解能力。只有閱讀能力提升了，學生才能正確地理解數學信息，進而構建出對應的數學模型。

例如：兩地相距900米，甲、乙二人同時、同地向同一方向行走，每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，當乙到達目標后，立即返回，與甲相向而行。二人從出發到相遇共經過多少分鐘？

這道題目中的數量關系并不復雜，但怎樣正確理解甲、乙二人的運動過程，是解題中的難點。教師要引導學生對題目中的概念逐步分析。首先，教師可提出問題：“同時是什么意思？誰能舉個例子？”學生討論交流，結合自己的生活進行舉例，如“我和李同學同時出發去學校。”接著，教師讓兩名學生走上講臺，背對著背，同時齊步走，并提問：“這叫作同時嗎？”學生經過交流，得出結論，只要在同一時間進行，就算同時，無論兩人從哪里出發，去往哪里。然后，教師讓兩名學生面對面站著：“兩個人現在的狀態是什么？是相距、相對，還是相向？”學生討論交流，教師引導學生進行總結，相距指的是彼此之間的距離，相對指的則是兩個人朝向彼此的方向，相向是在相對的基礎上互相靠近。教師再進行提問：“那么相遇是什么意思？”有的學生認為：“就是兩個人突然碰見了。”教師指導兩個學生分別站在教室前后，同時開始走，直到遇見時停下，然后提問：“兩名學生同時從兩地相對走來，在路上相遇，應該怎樣計算相遇的時間？”學生經過思考得出：路程除以兩個人速度的和，就是相遇的時間。

小學生經常會弄混相距、相對、相遇等概念。在本課教學中，教師設計了一系列的問題，引導學生進行觀察、討論和表達，著重剖析容易混淆的內容，還讓學生進行現場表演，使學生們對相關概念形成了清晰準確的認識，在腦海中構建了形象、動態的數學模型，為解題打下了堅實的基礎。對小學生而言，只在語文課堂上閱讀是不夠的，數學教師要在日常教學中加強對學生閱讀能力的培養，充分挖掘數學問題中的概念，使學生準確地理解詞匯的意思，進而正確地了解題意，解答問題。

（三）引導學生邏輯推理，提升思維水平

在高年級階段，小學生的邏輯思維正處于一個過渡的時期，逐漸由形象思維向著抽象邏輯思維轉變。高年級學生對自己感性的控制能力逐漸增強，也具有了一定的探究能力與合作能力。他們開始逐漸認識到學習的重要性，產生了較強的內在學習動力，能夠更加理性、客觀地去看待問題。因此，教師要把握好這一階段，促進學生邏輯推理思維的發展，以此來增強學生獲取、整合、判斷、推理信息的能力，使學生能夠充分利用題目中的信息，構建出更加清晰完整的數學模型。

在引導學生進行邏輯推理的過程中，教師要堅持將學生作為課堂活動的主體，避免采用灌輸的教育方式，不能直接把結論告訴學生，而是鼓勵學生自主思考和探究，通過恰當的方法去引導學生，讓學生通過自己的努力得出結論。這樣一來，學生不僅能牢固地記住知識結論，也會深刻地理解知識推導的過程，還能有效地鍛煉自身的思維能力。

例如，在教學《圓柱的表面積》時，教師可引導學生思考：“表面積是什么？我們學過哪些圖形的表面積？”和學生一起討論，回想長方體正方體表面積的定義就是求6個面面積的總和。接著，教師利用課件出示一個圓柱體，并提出問題：“如果我們用長方體的相關知識進行類比，那么圓柱的表面積指的是什么？”學生經過思考得出結論：“指的是組成圓柱的所有面的面積之和。根據圓柱的結構，可以看作兩個底面和一個側面的面積之和。”在此基礎上，教師布置任務：“探究圓柱體表面積的計算方法。”并出示問題：“一圓柱形鐵桶的高為30厘米，底面直徑為20厘米，做一個這樣的桶需要多大面積的鐵皮？”讓學生以小組為單位進行討論探究，教師適當地進行提示和引導：“根據已知條件，可以求出鐵桶上下底圓面的面積，但側面是曲面它的面積無法計算，是否能將其轉化為我們學過的圖形呢？”指導學生動手沿著圓柱的高剪一剪、滾一滾等操作，將圓柱的側面轉化為學過的長方形。有些學生在探究時陷入了困惑，還是無法推導出側面積的計算方法。這時候，教師不要急于給出答案，而是可以通過一系列的問題來啟迪學生：“圓柱側面展開后變成了什么圖形？變成的長方形的長相當于圓柱的什么，寬呢？現在你會求圓柱的側面積了嗎？”探究活動結束后，教師讓各個小組依次進行匯報，用自己的語言說明推理過程，找出圓柱體側面積的計算方法，并盡可能地簡化運算過程，把數字替換成字母，得出運算公式：“S側=ch=πdh=2πrh”，然后讓學生構建出圓柱表面積的運算公式的模型。最后，教師可出示幾道類似的習題，供學生練習，如“一種餅干的包裝盒為圓柱形，底面半徑為8厘米，高為底面直徑的2倍，求包裝盒的表面積。一個圓柱形水杯的底面直徑為3厘米，高為12厘米，水杯的表面積為多少？”讓學生在分析和解決問題的過程中，對圓柱體的幾何模型和表面積公式形成更深的理解。

（四）創設形象教學情境，感受直觀模型

數學建模是一個從形象情境中提煉出抽象數量關系的過程，體現了數學與生活之間的密切聯系。數學課程知識具有較強的抽象性和理論性，但小學生的抽象概括能力仍處于初步發展的階段，所以教師要結合教材內容，創設出貼近生活的形象教學情境，帶給學生直觀的視覺感受，使他們發現數學問題源于現實生活，感受生活情境中隱含的數學模型。這樣不僅能降低學生分析和解決問題的難度，也有利于提升學生對數學學科的興趣。

例如，在教學《百分數》的時候，教師可借助“逛商場”的話題導入：“同學們，你們和爸爸媽媽逛過商場嗎？你們喜歡逛商場嗎？”讓學生自由討論回答，然后引申出“打折商品”的話題，利用多媒體課件出示打折商品的標識牌，并提出問題：“請同學們認真觀察，這些圖片中的商品，有的打九五折，有的打八五折，是什么意思呢？”學生會說“打折就是用比原來低的價格出售”。這時，教師可進一步作出解釋：“打九五折就是以原價的95%出售，打八五折就是以原價的85%出售。”在具體形象的生活情境中，學生能夠較為輕松快速地理解百分數的概念的模型。接著，教師可設計問題：“假如一件商品原價240元，打八五折后是多少？”讓學生拿起筆來進行計算，鍛煉學生分析問題和解決問題的能力。最后，教師還可以引導學生開動腦筋利用百分數概念的模型，聯想其他包含百分數的生活事物，并在此基礎上設計數學問題，比如計算某種飲料中的含糖量、計算某件衣服中的棉含量等。

小學數學教師把課堂教學建立在具體的生活情境上，能夠使學生經歷真實、深度的認知體驗。與理論化的數字、符號、公式相比，情境化的教學方法更加符合小學生的認知發展規律，能夠使學生在大腦中構建清晰立體的數學模型，明確數學知識與生活問題之間的聯系，深入理解現實生活中包含的數學模型。

（五）鼓勵學生自主探究，解決實際問題

在數學學習中，小學生對教師有著一定的依賴性，在遇到困難的時候總想著向老師求助，缺乏獨立解決問題的意識和能力。從建構主義的角度來看，學習應當是學生自己主動建構知識的過程，學生才是學習的主體，教師、教材、教學設備等都應當為學生的自主學習而服務。在高年級階段，教師要加強對學生自主探究能力和解決問題能力的培養，引導學生自己去發現、探究和解決問題，使其養成良好的學習習慣，為他們未來的學習奠定基礎。

例如，在教學《圓的周長》時，教師提出問題：“小明和小華開展了一場跑步比賽，小明沿著正方形路線跑，小華沿著圓形路線跑，正方形路線的邊長為100米，與圓形路線的直徑相等，結果小華贏得了比賽，但小明很不服氣，認為小華跑的路程要短一些。你們認為這種說法對不對？”有的學生表示贊同，有的學生表示反對。教師引導學生思考：“兩人跑過的路程可能不一樣，但我們在分析問題的時候必須嚴謹認真，不能只靠眼睛來看，而是要經過精確的計算，請同學們分別計算小明和小華跑過的路程。”然后，為學生留出一段思考和探究的時間。在此過程中，教師要認真地進行巡視，了解學生的學習情況，之前已經學過了正方形的周長公式，所有的學生都能夠算出小明的路線長度，即：100×4=400（米），但不知道該怎樣計算圓形路線的長度。教師可鼓勵學生自主探究圓的周長的計算方法。有的學生嘗試對圓形進行切割、拼補；有的學生先在紙上畫出一個圓形，用軟尺來測量圓的周長，然后計算周長與半徑、直徑的關系；有的學生則嘗試把圓形轉化成已經學過的幾何圖形。學生們運用多種探究方法，發現圓的周長大約是直徑的三倍多一點。這時候，教師可提出“π”的概念，進而引導學生總結出圓的周長計算公式：C=πd或C=2πr。在此過程中，學生通過自己的智慧和努力，在腦海中構建了形象直觀的幾何模型，使學習能力、解題能力得到有效提升，對圓的周長公式形成了深刻的理解和記憶。

五、 結論

綜上所述，培養學生的建模能力是小學數學課程的重要目標，教師要明確建模能力對學生學習與成長的重要意義，深入理解建模能力的概念與構成要素，提高對建模能力培養的重視程度，將其融入日常教學過程中，樹立明確的建模能力培養目標，引導學生在具體的情境中閱讀分析、推理思考，從復雜的問題中提煉出抽象的數學模型，提升學生構建數學模型的能力，并讓學生學會運用數學模型去分析和解決實際問題。學生建模能力的培養是一個長期的過程，教師要密切關注學生的發展情況，根據學情不斷調整、優化教學方法，以此來推動學生建模能力的持續提升。

參考文獻：

［1］包艷明.小學高年級數學建模教學現狀調查研究［D］.長春：東北師范大學，2022.

［2］官愛萍.小學數學教學中建構數學模型的問題與對策［J］.亞太教育，2022（12）：94-96.

［3］邵玉鳳.運用建模思想，培養學生數學思維［J］.河南教育（教師教育），2022（6）：64.

［4］張守清，渠洪曉.淺析如何幫助小學生構建數學模型［J］.科學咨詢（教育科研），2022（5）：179-181.

［5］陳萬林.多元建模有技巧，教無定法講數學［J］.亞太教育，2022（1）：28-30.

［6］高杰.數學建模教學培養學生核心素養［J］.河南教育（教師教育），2021（9）：66-67.

［7］姜文，呂傳漢.引導學生在數學建模學習中“長見識、悟道理”的思考［J］.數學通報，2021，60（6）：26-29.

［8］陳修臻.數學建模思想在小學數學教學中的應用研究［D］.濟南：山東師范大學，2015.

［9］張欽.基于建模思想的小學數學教學設計研究［D］.淮北：淮北師范大學，2015.