如何解答中考數學最值問題

馬國華

最值問題是初中數學的重要內容，是一類綜合性較強的問題，無論是代數問題還是幾何問題都有最值問題，它貫穿初中數學的始終，是中考的熱點。在中考題中出現比較高的主要有利用配方法求最值，利用絕對值的幾何意義求最值，利用幾何結論（如兩點之間線段最短、垂線段最短、兩邊之差小于第三邊等）求最值，利用函數的性質（一次函數和二次函數）求最值。

一、代數最值問題

（一）二次式的最值問題——配方法

例1? 當x=_______，且y=_______時，代數式（-x2-2y2-2x+8y-5）有最大值，最大值是_______。

解? ?-x2-2y2-2x+8y-5=-（x2+2x+1）-2（y2-4y+4）+4

=-（x+1）2-2（y-2）2+4

當x=-1，且y=2時，原式有最大值4。

（二）兩個絕對值的和或差的最值問題——數軸法

例2 函數y=|x+4|-|x-3|的最小值是____， 最大值是____。

解? 在數軸上，如圖1所示，函數y=|x+4|-|x-3|的含義是，x到-4的距離與x到3的距離的差，可以分析，x到-4的距離與x到3的距離的差最小為-7，最大為7。

即-7≤|x+4|-|x-3|≤7

（三）生活中的最值問題——函數圖象法

例3? 俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀念冊，每本進價40元，規定銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%。在試銷售期間發現，當銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天銷售量減少10本，現商店決定提價銷售，設每天銷售量為y本，銷售單價為x元。

（1）請直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；

（2）當每本足球紀念冊銷售單價是多少元時，商店每天獲利2400元？

解? （1）y=300-10（x-44）

即y=-10x+740（44≤x≤52）

（2）根據題意得，（x-40）（-10x+740）=2400

解得，x1=50，x2=64（舍去）

答：當每本足球紀念冊銷售單價是50元時，商店每天獲利2400元。

二、幾何最值問題

（一）能建立函數關系式的最值問題——函數圖象（性質）法

例4? 如圖3所示，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C，且OC=OB。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形 BOCE 面積的最大值，并求出此時點E的坐標。

解 （1）∵ 拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），

∴ OB=3

∵ OC=OB

∴ OC=3

∴ c=3

∴ [a+b+3=09a-3b+3=0]

解得，[a=-1b=-2]

∴ 所求拋物線解析式為

y=-x2-2x+3

（2）如圖4所示，過點E作EF⊥x軸于點F，

設E（a，-a2-2a+3）

其中，-3＜a＜0

∴ EF=-a2-2a+3，BF=a+3，OF=-a

∴ S四邊形BOCE=[12]BF·EF+[12]（OC+EF）·OF

=[12]（a+3）·（-a2-2a+3）+[12]（-a2-2a+6）·（-a）

=[-32a2-92a+92]

=[-32a+322+638]? ? ?（-3＜a＜0）

由圖5可知，當a=[-32]時，S四邊形BOCE最大，且最大值為[638]。

[a][O][-3][S]

當a=[-32]時，-a2-2a+3=[154]

∴ 點E的坐標為（-[32]，[154]）

（二）不能建立函數關系式的最值問題——幾何性質（兩點之間線段最短）法

例5? 如圖6所示，在邊長為2的等邊△ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，求（BE+DE）的最小值。

解? 如圖7所示，作B關于AC的對稱點B′，連接BB′、B′D，B′D交AC于E，此時，BE+ED=B′E+ED=B′D

根據兩點之間線段最短可知，B′D就是（BE+DE）的最小值，

∵ B、B′關于AC對稱，

∴ AC、BB′互相垂直平分，

∴ 四邊形ABCB′是平行四邊形，

∵ 等邊三角形ABC邊長為2，D為BC的中點，

∴ AD⊥BC，AD=[3]，BD=CD=1，BB′=2AD=2[3]

作B′G⊥BC的延長線于G，

∴B′G=AD=[3]

在Rt△B′BG中，

BG=[BB′2-B′G2]=[232-32]=3

∴ DG=BG-BD=3-1=2

在Rt△B′DG中，BD=[DG2+B′G2]=[22+32]=[7]

故，（BE+DE）的最小值為[7]。