例談中學(xué)“有廣度”數(shù)學(xué)課堂的實(shí)施路徑

趙京波 宋婷婷 黃麗雨 袁瀅

【摘 要】構(gòu)建“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂是落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂的有效措施。在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師可以以大概念為視角，以大單元為載體，通過情境創(chuàng)設(shè)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)等方式進(jìn)行教學(xué)，構(gòu)建“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；有廣度；“三度”數(shù)學(xué)課堂；核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）11-0015-04

【作者簡介】1.趙京波，海南師范大學(xué)（海口，571158）數(shù)據(jù)科學(xué)與智慧教育教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室副教授，碩士生導(dǎo)師；2.宋婷婷，北京師范大學(xué)海口附屬學(xué)校（海口，571158）教師；3.黃麗雨，海南師范大學(xué)（海口，571158）教師教育學(xué)院碩士研究生；4.袁瀅，海南師范大學(xué)（海口，571158）教師教育學(xué)院碩士研究生。

“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂，是指以大概念為視角，以大單元為教學(xué)主導(dǎo)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行二次組織，使得數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有更為緊密的邏輯關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中正遷移的產(chǎn)生，便于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。［1］本文以核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學(xué)“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂建構(gòu)為研究對(duì)象，以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，進(jìn)一步研究實(shí)際課堂中如何有效地建構(gòu)“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂。

一、以大概念為視角，從宏觀、中觀、微觀三個(gè)層面分析課程內(nèi)容

現(xiàn)有研究表明，要實(shí)現(xiàn)“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂需要教師從整體的大框架上把握知識(shí)體系，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再次重構(gòu)，并以大單元教學(xué)為教學(xué)手段，從多種維度深層次理解課程內(nèi)容。這就需要教師將課程內(nèi)容分為宏觀、中觀、微觀三個(gè)層次，從部分到整體，進(jìn)一步厘清課程編排的體系，從而獲得更好的教學(xué)效果。［2］

以“幾何與代數(shù)”大概念為例，平面解析幾何作為其中的一個(gè)大單元，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將其劃分為“直線與方程”“圓與方程”“圓錐曲線與方程”和“平面解析幾何的形成與發(fā)展”四個(gè)部分。［3］宏觀上是運(yùn)用平面解析幾何的方法學(xué)習(xí)直線、圓、圓錐曲線等的幾何特征。中觀上分為“直線和圓的方程”“圓錐曲線的方程”兩部分。微觀上首先通過直線的方程引入，探索直線的性質(zhì)，接著學(xué)習(xí)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式，從而利用兩點(diǎn)間的距離公式引出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，繼而探究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。然后從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，以及通過類比探究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何圖形之間的關(guān)系的方法來探究雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何圖形之間的關(guān)系。根據(jù)上述分析，筆者設(shè)置了以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.通過觀察平面截圓錐，知道當(dāng)平面與圓錐的軸所成的角變化時(shí)，截口曲線可以分別是圓、橢圓、雙曲線和拋物線；

2.掌握橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；

3.通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識(shí)問題并利用規(guī)律解決問題的能力，提高邏輯推理能力。同時(shí)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)運(yùn)算中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；

4.熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠理解a，b，c的幾何意義，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。

二、以大單元為載體，創(chuàng)設(shè)具有“真實(shí)性”的問題情境

對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行大單元教學(xué)能夠讓學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的層次和邏輯有更深入的理解，而這需要在數(shù)學(xué)課堂的問題情境中體現(xiàn)“真實(shí)性”。

具有“真實(shí)性”的問題情境是從現(xiàn)實(shí)世界中“捕獲”的真實(shí)問題和這一問題的情境脈絡(luò)，源自人們的生產(chǎn)生活實(shí)踐或科學(xué)研究活動(dòng)。因其與學(xué)生的生活有著天然的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生往往會(huì)被這些“我的問題”所吸引。學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，關(guān)鍵在于通過在真實(shí)問題情境中的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其解決問題所需要的能力和個(gè)性品質(zhì)。此外，“真實(shí)性”也是課程內(nèi)容和現(xiàn)實(shí)世界連接的紐帶，能夠幫助學(xué)生理解課程內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用及作用。教師要善于創(chuàng)設(shè)真實(shí)的教學(xué)情境，將數(shù)學(xué)問題帶入真實(shí)的情境中幫助學(xué)生去理解知識(shí)，這樣可以達(dá)到事半功倍的效果。同時(shí)，真實(shí)的生活情境還可以拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生親切感，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，筆者以如下方式展開，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)引入：

【問題1】用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓。如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會(huì)得到怎樣的截口曲線呢？

師：用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線。我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。

然后教師再用信息技術(shù)展示行星繞太陽運(yùn)行的軌跡、衛(wèi)星接收天線、探照燈反射鏡面等，讓學(xué)生感受圓錐曲線在生產(chǎn)生活中的廣泛應(yīng)用。

【問題2】類比直線和圓的方程的研究過程，你認(rèn)為我們應(yīng)按怎樣的路徑研究圓錐曲線？

學(xué)生經(jīng)過自主思考和相互交流，類比直線和圓的方程的研究過程，得到圓錐曲線的研究路徑：現(xiàn)實(shí)背景（研究的必要性）—曲線的概念（建立曲線方程的依據(jù)）—曲線的方程（運(yùn)用坐標(biāo)法）—曲線的性質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用。

上述教學(xué)是基于幾何與代數(shù)大概念下的“圓錐曲線”大單元教學(xué)，教師通過對(duì)圓錐不同角度切割得到不同的曲線為導(dǎo)入，引入橢圓的概念，并讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓錐曲線的類型，從而對(duì)橢圓既有微觀層面上的了解，也有宏觀層面上的把握，將“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂落實(shí)到真實(shí)問題情境的創(chuàng)設(shè)中。

三、以問題為驅(qū)動(dòng)，設(shè)置主題式探索教學(xué)過程，實(shí)現(xiàn)任務(wù)驅(qū)動(dòng)

良好的問題情境可以獲得更好的教學(xué)效果，而對(duì)課程內(nèi)容的教學(xué)過程可以嘗試進(jìn)行主題式探索（創(chuàng)研式、對(duì)比式、挖井式、物聯(lián)式、穿越式、積淀式等），讓學(xué)生始終帶著“任務(wù)”去學(xué)習(xí)和思考，開展自主學(xué)習(xí)，確立任務(wù)驅(qū)動(dòng)下的學(xué)習(xí)模式。“任務(wù)性”能夠讓學(xué)生帶著“任務(wù)”來學(xué)習(xí)，不斷深入思考，形式上可以是貫穿本單元內(nèi)容的問題，也可以是貫穿幾個(gè)單元內(nèi)容的問題。

以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，在教授橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下主題式探索教學(xué)過程。

1.橢圓的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

【實(shí)驗(yàn)操作】取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是一個(gè)圓。如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)上，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

【問題3】在這一過程中，移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？

【問題4】應(yīng)該如何完善剛才對(duì)橢圓的定義？

教師給出橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于[F1F2]）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距。橢圓的焦距為2c，點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為2a。

【問題5】橢圓定義中我們應(yīng)該特別關(guān)注哪些要素？

【設(shè)計(jì)意圖】上述教學(xué)是基于核心素養(yǎng)下“問題串”設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在大概念視角下，感悟橢圓的幾何特征，這是對(duì)課程內(nèi)容微觀層面的把握，從而將“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂落實(shí)到具體動(dòng)手操作中。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生以確定筆尖（動(dòng)點(diǎn)）軌跡的幾何要素為基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷從不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)絿?yán)謹(jǐn)?shù)倪^程，逐步完善對(duì)橢圓幾何特征的理解，抽象出橢圓的概念，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

【問題6】在了解橢圓的概念后，我們下一步應(yīng)該研究什么？

【問題7】觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系能使所得的橢圓方程形式簡單？

師：從橢圓性質(zhì)看，它既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，而且過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸，所以我們可以以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為[x]軸，線段[F1F2]的垂直平分線為[y]軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy。（如圖1）

（圖1）

【問題8】如何用坐標(biāo)表示橢圓上點(diǎn)所滿足的條件？

學(xué)生活動(dòng)：設(shè)[Mx，y]是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為[2cc>0]，那么焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）。根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)[M]與焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為[2a]。由橢圓的定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集[P=MMF1+MF2=2a]。因?yàn)閇MF1=x+c2+y2]，[MF2=x-c2+y2]，所以[x+c2+y2 +x-c2+y2=2a]，化簡得：[x2a2+y2a2-c2=1]。

由橢圓的定義可知，[2a>2c>0]，即[a>c>0]，所以[a2-c2>0]。

【問題9】觀察圖2，你能從中找出表示a，c，[a2-c2]的線段嗎？

（圖2）

生：由圖可知，[PF1=PF2=a]，[OF1=OF2=c]，[OP=b=a2-c2]，則式子可化為[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）。它表示焦點(diǎn)在軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）的橢圓，這里[c2=a2-b2]。

【問題10】如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在[y]軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)為（0，-c），（0，c），a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？你能不做具體推導(dǎo)就得出結(jié)論嗎？

【問題11】在橢圓中怎么區(qū)分焦點(diǎn)坐標(biāo)在[x]軸還是[y]軸？

上述教學(xué)在探究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)利用挖井式的探究方法，通過不斷深入的問題一步步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究圓錐曲線的一般方法，并回憶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程：建系—設(shè)點(diǎn)—列式—化簡—證明，類比推理橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)生對(duì)方程中的a，b，c的幾何意義進(jìn)行自主探索，并推導(dǎo)出焦點(diǎn)在[y]軸時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。整個(gè)過程都是在研究圓錐曲線的一般方法下進(jìn)行的，這個(gè)研究方法同樣適用于雙曲線和拋物線，是在幾何與代數(shù)大概念視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)。

本文以橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例，展現(xiàn)了基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向下“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)過程。“有廣度”的數(shù)學(xué)課堂對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)要求較高，因此，作為數(shù)學(xué)教師需要不斷地鉆研數(shù)學(xué)教材，對(duì)教材進(jìn)行再次理解和重構(gòu)，在了解學(xué)生的基礎(chǔ)上選取最適宜的方式將知識(shí)教授給學(xué)生，達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

［1］嚴(yán)虹.核心素養(yǎng)視閾下中小學(xué)“三度”數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建的一些思考［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（9）：6-9.

［2］李龍梅，嚴(yán)虹.核心素養(yǎng)視閾下中小學(xué)“三度”數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建的再思考［J］.興義民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023（4）：64-69.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：43.